Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
392,5 KB
Nội dung
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506
CHƯƠNG 3
NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)
NỘI DUNG
1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE
5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)
4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY
x
k
: mốc nội suy, y
k
: giá trò (hàm) nội suy
Từ bảng này, nội suy giá trò y
bảng
tại điểm x = α?
Mốc nội suy x
0
x
1
… x = α ∉{ x
k
} … x
n-1
x
n
Giá trò nội suy y
0
y
1
… y = ? … y
n-1
y
n
Nội suy đa thức: Xác đònh đa thức y = P(x) thoả điều kiện
nội suy P(x
k
) = y
k
, k = 0 … n ⇒ y
bảng
≈ P(α)
Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x
k
, y
k
) }, k = 0 → n
NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x
k
,y
k
)} , k = 0 → n
∃! đa thức L(x), bậc ≤ n, thoả đ/kiện nội suy L(x
k
) = y
k
, k = 0 … n
Cách 1: 3 mốc ⇒ n = 2 ⇒ L(x) = ax
2
+ bx + c (3 hệ số cần tìm)
Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(x
k
,y
k
)} , k=0→2
Tại x = 3, y
bảng
≈?
Mốc nội suy x
k
2 2.5 4
Giá Trò nội suy y
k
0.5 0.4 0.25
( )
( )
( )
=
=
=
25.04
4.05.2
5.02
L
L
L
=++
=++
=++
⇔
25.0416
4.05.225.6
5.024
cba
cba
cba
y
bảng
≈ L(3) = 0.325
VÍ DỤ SAI SỐ
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
xn
n
ba
xxxx
n
xf
xLxf
tại suy Nội
∆=−−
+
≤−
+
0
1
,
!1
max
)()(
Sai số:
Giải:
( )
[ ] [ ]
2
5
144,100
)3(
,
8
3
max)(max
−
==⇒= xxfMxxf
ba
( ) ( )
≤− 115115 Lf
( )( )( )
144115121115100115
!3
1
M −−−⋅⋅
Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên!
Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trò
bằng đa thức
nội suy Lagrange bậc hai hàm y =
xây dựng tại các
mốc x
0
= 100, x
1
= 121, x
2
= 144. Yêu cầu: Làm tròn kết quả
(sai số) đến chữ số lẻ thứ 4
115
x
NHIỀU MỐC → ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ
Đa thức nội suy cơ sở tại x
k
: L
k
(x
k
) = 1, L
k
(x
i
) = 0 ∀ i ≠ k
( )
( )( )
( )( )
45.225.2
42
1
−−
−−
=
xx
xL
( )
( )( )
( )( )
5.2424
5.22
2
−−
−−
=
xx
xL
Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L
0
(x) + 0.4L
1
(x) + 0.25L
2
(x)
Mốc NS 2 2.5 4
Giá Trò NS 0.5 0.4 0.25
ĐTNSCS L
0
(x) 1 0 0
ĐTNSCS L
1
(x) 0 1 0
ĐTNSCS L
2
(x) 0 0 1
Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(x
k
, y
k
)}?
3 mốc ⇒ 3 ĐT NSCS
( )
xL
0
( )
xL
1
( )
xL
2
( )
xL
( )( )
( )( )
425.22
45.2
)(
0
−−
−−
=
xx
xL
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
(n+1) mốc ⇒ (n+1) đa thức nội suy cơ sở. Đa thức nội suy
cơ sở L
k
(x) tại x
k
(k = 0 … n): L
k
(x
k
) = 1, L
k
(x
i
) = 0 ∀ i ≠ k:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=======
=
+−
0
1
1110 nkkkkkkk
kk
xLxLxLxLxL
xL
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
nk
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
nkkkkkk
nkk
k
≤≤
−−−−
−−−−
=
+−
+−
0,)(
110
110
)()()()(
1100
xLyxLyxLyxL
nn
+++=⇒
suy nội thức Đa
Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x)
Chỉ phụ thuộc bộ mốc {x
k
} (0 ≤ k ≤ n), không phụ thuộc y
k
VÍ DỤ
Bảng 4 mốc 1, 2, 3, 4 ; 4 giá trò 5, 7, 8, 9. Viết ra biểu thức
các đa thức nội suy cơ sở. Tính giá trò bảng tại x = 3.5?
=
)5.3(
2
L
=
)5.3(
3
L
( )
( )( )( )
( )( )( )
413121
432
0
−−−
−−−
=
xxx
xL
( )
0625.05.3
0
=⇒
L
( )
( )( )( )
( )( )( )
=
−−−
−−−
=
423212
45.335.315.3
5.3
1
L
( )
)(98)(7)(5)(
3210
xLxLxLxLxL
+++=
( )
4375.85.3
=⇒
L
Viết biểu thức L
k
(x) (Không tính!) Thay x → Giá trò
NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU
Bảng {(x
k
,y
k
)} , k = 0 → n, mốc nội suy cách đều: x
0
, x
1
=
x
0
+ h, x
2
= x
1
+ h … x
n
= x
n-1
+ h. Lập bảng sai phân :
Mốc NS Gtrò NS
x
0
y
0
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
k
y
∆
k
y
2
∆
k
y
3
∆
0
y
∆
1
y
∆
2
y
∆
0
2
y
∆
1
2
y
∆
0
3
y
∆
∆
2
y
k
= ∆y
k+1
– ∆y
k
…
Cấp 1: ∆y
k
= y
k+1
– y
k
Ví dụ: ∆y
0
= y
1
– y
0
2
3
x
k
y
k
∆y ∆
2
y
1 2
2 4
3 7
1
VD: Bảng sai
phân 3 mốc
(cách đều)
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
Đa thức nội suy Newton tiến: x ≈x
0
(đầu bảng)
h
xx
t
0
−
=
⇔ x = x
0
+th ⇒ Đa thức nội suy tiến:
( )
( )
00
2
00
!
)1()1(
!2
1
y
n
nttt
y
tt
ytyxN
n
∆
+−−
++∆
−
+∆+=
Đa thức nội suy Newton lùi: x ≈ x
n
(cuối bảng)
h
xx
t
n
−
=
⇔ x = x
n
+ th ⇒ Đa thức nội suy lùi:
( )
( )
02
2
1
!
)1(
!2
1
y
n
ntt
y
tt
ytyxN
n
nnn
∆
−+
++∆
+
+∆+=
−−
Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến
Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)
[...]... 1 [ x1 , x2 ] [ x2 , x3 ] XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 Tìm hàm bậc 3 trên từng đoạn, liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 nội suy bảng số liệu sau: x 1 2 3 y 2 3 –4 Hàm nội suy: S 0 ( x ) = a0 + b0 x + c0 x 2 + d 0 x 3 , x ∈ [1,2] S ( x) = S1 ( x ) = a1 + b1 x + c1 x 2 + d1 x 3 , x ∈ [ 2,3] Dạng thuận tiện hơn: S 0 ( x ) = a0 + b0... lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thò Tháng 1 2 3 4 5 6 7 Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570 8 … PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) Nhiều dữ liệu & yk có sai số: p đặt L(xk) = yk: vô nghóa! Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghóa BPCT n F = ∑ [ h( xk ) − yk ] 2 → min k =1 y = h(x) h ( xk ) − y k TRƯỜNG HP TUYẾN TÍNH .
Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x
k
, y
k
) }, k = 0 → n
NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x
k
,y
k
)} , k = 0 → n
∃!.
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506
CHƯƠNG 3
NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)