Tài liệu Noisuy HK2 (Web) 0506 docx

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506 CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) NỘI DUNG 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU 3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY x k : mốc nội suy, y k : giá trò (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trò y bảng tại điểm x = α? Mốc nội suy x 0 x 1 … x = α ∉{ x k } … x n-1 x n Giá trò nội suy y 0 y 1 … y = ? … y n-1 y n Nội suy đa thức: Xác đònh đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(x k ) = y k , k = 0 … n ⇒ y bảng ≈ P(α) Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x k , y k ) }, k = 0 → n NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x k ,y k )} , k = 0 → n ∃! đa thức L(x), bậc ≤ n, thoả đ/kiện nội suy L(x k ) = y k , k = 0 … n Cách 1: 3 mốc ⇒ n = 2 ⇒ L(x) = ax 2 + bx + c (3 hệ số cần tìm) Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(x k ,y k )} , k=0→2 Tại x = 3, y bảng ≈? Mốc nội suy x k 2 2.5 4 Giá Trò nội suy y k 0.5 0.4 0.25 ( ) ( ) ( )      = = = 25.04 4.05.2 5.02 L L L      =++ =++ =++ ⇔ 25.0416 4.05.225.6 5.024 cba cba cba y bảng ≈ L(3) = 0.325 VÍ DỤ SAI SỐ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xn n ba xxxx n xf xLxf tại suy Nội ∆=−− + ≤− +  0 1 , !1 max )()( Sai số: Giải: ( ) [ ] [ ] 2 5 144,100 )3( , 8 3 max)(max − ==⇒= xxfMxxf ba ( ) ( ) ≤− 115115 Lf ( )( )( ) 144115121115100115 !3 1 M −−−⋅⋅ Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên! Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trò bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = xây dựng tại các mốc x 0 = 100, x 1 = 121, x 2 = 144. Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4 115 x NHIỀU MỐC → ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ Đa thức nội suy cơ sở tại x k : L k (x k ) = 1, L k (x i ) = 0 ∀ i ≠ k ( ) ( )( ) ( )( ) 45.225.2 42 1 −− −− = xx xL ( ) ( )( ) ( )( ) 5.2424 5.22 2 −− −− = xx xL Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L 0 (x) + 0.4L 1 (x) + 0.25L 2 (x) Mốc NS 2 2.5 4 Giá Trò NS 0.5 0.4 0.25 ĐTNSCS L 0 (x) 1 0 0 ĐTNSCS L 1 (x) 0 1 0 ĐTNSCS L 2 (x) 0 0 1 Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(x k , y k )}? 3 mốc ⇒ 3 ĐT NSCS ( ) xL 0 ( ) xL 1 ( ) xL 2 ( ) xL ( )( ) ( )( ) 425.22 45.2 )( 0 −− −− = xx xL CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (n+1) mốc ⇒ (n+1) đa thức nội suy cơ sở. Đa thức nội suy cơ sở L k (x) tại x k (k = 0 … n): L k (x k ) = 1, L k (x i ) = 0 ∀ i ≠ k: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    ======= = +− 0 1 1110 nkkkkkkk kk xLxLxLxLxL xL  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) nk xxxxxxxx xxxxxxxx xL nkkkkkk nkk k ≤≤ −−−− −−−− = +− +− 0,)( 110 110   )()()()( 1100 xLyxLyxLyxL nn +++=⇒  suy nội thức Đa Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x) Chỉ phụ thuộc bộ mốc {x k } (0 ≤ k ≤ n), không phụ thuộc y k VÍ DỤ Bảng 4 mốc 1, 2, 3, 4 ; 4 giá trò 5, 7, 8, 9. Viết ra biểu thức các đa thức nội suy cơ sở. Tính giá trò bảng tại x = 3.5? = )5.3( 2 L = )5.3( 3 L ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 413121 432 0 −−− −−− = xxx xL ( ) 0625.05.3 0 =⇒ L ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) = −−− −−− = 423212 45.335.315.3 5.3 1 L ( ) )(98)(7)(5)( 3210 xLxLxLxLxL +++= ( ) 4375.85.3 =⇒ L Viết biểu thức L k (x) (Không tính!) Thay x → Giá trò NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU Bảng {(x k ,y k )} , k = 0 → n, mốc nội suy cách đều: x 0 , x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h … x n = x n-1 + h. Lập bảng sai phân : Mốc NS Gtrò NS x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 k y ∆ k y 2 ∆ k y 3 ∆ 0 y ∆ 1 y ∆ 2 y ∆ 0 2 y ∆ 1 2 y ∆ 0 3 y ∆ ∆ 2 y k = ∆y k+1 – ∆y k … Cấp 1: ∆y k = y k+1 – y k Ví dụ: ∆y 0 = y 1 – y 0 2 3 x k y k ∆y ∆ 2 y 1 2 2 4 3 7 1 VD: Bảng sai phân 3 mốc (cách đều) ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON Đa thức nội suy Newton tiến: x ≈x 0 (đầu bảng) h xx t 0 − = ⇔ x = x 0 +th ⇒ Đa thức nội suy tiến: ( ) ( ) 00 2 00 ! )1()1( !2 1 y n nttt y tt ytyxN n ∆ +−− ++∆ − +∆+=   Đa thức nội suy Newton lùi: x ≈ x n (cuối bảng) h xx t n − = ⇔ x = x n + th ⇒ Đa thức nội suy lùi: ( ) ( ) 02 2 1 ! )1( !2 1 y n ntt y tt ytyxN n nnn ∆ −+ ++∆ + +∆+= −−   Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên) [...]... 1 [ x1 , x2 ] [ x2 , x3 ] XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 Tìm hàm bậc 3 trên từng đoạn, liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 nội suy bảng số liệu sau: x 1 2 3 y 2 3 –4 Hàm nội suy: S 0 ( x ) = a0 + b0 x + c0 x 2 + d 0 x 3 , x ∈ [1,2] S ( x) =  S1 ( x ) = a1 + b1 x + c1 x 2 + d1 x 3 , x ∈ [ 2,3]  Dạng thuận tiện hơn: S 0 ( x ) = a0 + b0... lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thò Tháng 1 2 3 4 5 6 7 Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570 8 … PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) Nhiều dữ liệu & yk có sai số: p đặt L(xk) = yk: vô nghóa! Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghóa BPCT n F = ∑ [ h( xk ) − yk ] 2 → min k =1 y = h(x) h ( xk ) − y k TRƯỜNG HP TUYẾN TÍNH . Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x k , y k ) }, k = 0 → n NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x k ,y k )} , k = 0 → n ∃!. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506 CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)