Tài liệu PTDHR HK2 0506 Web ppt

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006) NỘI DUNG 1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN 2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE 3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN Phương trình elliptic (tónh – static): ( ) yxf y u x u , 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ Phương trình parabolic (truyền nhiệt): 0 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x u a t u Xấp xỉ đạo hàm riêng: ( ) ( ) ( ) t txuttxu tx t u ∆ −∆+ ≈ ∂ ∂ ,, , ( ) tx, ( ) ttx ∆+, t∆ Phương trình hyperbolic (truyền sóng): 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x u a t u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ,,2, , x yxxuyxuyxxu yx x u ∆ ∆−+−∆+ ≈ ∂ ∂ xx ∆+ xx ∆− x x∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4321 2 2 2 2 4 x PuPuPuPuPu y u x u ∆ −+++ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ P 1 P 2 P 3 P 4 P BÀI TOÁN ELLIPTIC Toán tử Laplace: Ptrình Poisson (f ≡ 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet ( )      Ω∂=Γ∈= ⊂Ω∈= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ),(),,(),( ,),,(),(),( 2 2 2 2 2 yxyxgyxu Ryxyxfyx y u yx x u u ( ) 2 2 2 2 , y u x u uyxuu ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆⇒= Giải bằng sai phân hữu hạn: Chia nhỏ Ω. Tính xấp xỉ giá trò nghiệm u tại các điểm chia ( ) yxfu ,: =∆Ω ( ) yxgu ,: =Γ MINH HỌA Ý TƯỞNG Tính giá trò nghiệm u(x, y) của bài toán sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 31,2,1 41,1833, 31,168,4 41,21, : 31,41,42 2 2 2 2 2 2 2 2            ≤≤+= ≤≤+= ≤≤+= ≤≤+= <<<<+= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ yyyyu xxxxu yyyyu xxxxu yxxy y u x u u BiênKiệnĐiều tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều ∆x = ∆y = 1 GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC Phân hoạch Ω: Chia nhỏ Ω bởi các đường thẳng // Ox, Oy ( ) * )(4)()()()( )( 2 4321 h PuPuPuPuPu Pu −+++ ≈∆ ∆x = ∆y = h: Tạo lưới bước chia cách đều h. Ký hiệu: P 1 , P 2 , P 3 , P 4 − 4 điểm kề P Công thức xấp xỉ Laplacian ∆u (công thức đạo hàm hướng tâm!) Lần lượt thay P k (x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trò u trên biên) ⇒ Hệ phương trình ẩn u k = u(P k ) x∆ y∆ P 1 P 2 P 3 P 4 P VÍ DỤ Giải bài toán      ≤≤== ≤≤== <<<<=∂∂+∂∂ 10,),1(,0),0( 10)1,(,0)0,( 10,10,0 2222 yyyuyu xxxuxu yxyuxu bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy Lưới 4 nút ẩn ⇒ 4 giá trò cần tìm. Đánh số, tính giá trò biên: Nút 1: 0431 123 =−++ uuu Nút 2: 043232 214 =−+++ uuu Nút 3: 04 341 =−+ uuu Nút 4: 0431 432 =−++ uuu 1 P 2 P 3 P 4 P 0=u 0=u 31 32 31 32 0 0 KẾT QUẢ Hệ phương trình Au = b với             =⇒ 2208.0 1104.0 4429.0 2208.0 u Chú ý: Phương trình Poisson ∆u = f(x, y) (≠ Laplace: ∆u = 0) [ ]       − −       −− − − −− = 33.0 0 33.1 33.0 4 1 1 0 110 401 041 114 bA 1 P 2 P 3 P 4 P 0=u 0=u 31 32 31 32 0 0 yx y u x u u += ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ 2 2 2 2 ( ) ( ) 11 PfPu =∆⇒ 1 3 2 , 3 1 9 1 4 3 1 0 132 =       = −+++ ⇒ f uuu PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu) Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ dài ∆x, theo t độ dài ∆t ⇒ Các đường thẳng x = i ∆x, t = k ∆t 10),()0,( 0 ≤≤= xxuxu 0,10),,(),(),( 2 2 2 ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ txtxftx x u atx t u 0,0),1(),0( >== ttutu Miền Ω = { (x,t) | 0 ≤ x ≤ 1 , t ≥ 0 } x t 1 Ω 0=u0=u ( ) xu 0 t∆ x∆ Xấp xỉ ∂u/∂t, ∂u/ ∂x & ĐK biên, đầu ⇒ Giá trò u tại điểm chia MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN Xây dựng công thức tính u (1) (mức thời gian 1) theo u (0) với ∆t = 0.2, ∆x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0 ( )        ≤≤−=>== ><<= ∂ ∂ − ∂ ∂ ===      05.1&0: 2 2 5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0( 0,5.10,),(),( txx xxxxuttutu txxttx x u tx t u :ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều Tiến: ( ) 2.0 5.0 0,5.0 1 1 − ≈ ∂ ∂ u t u ( ) ( ) 2 2 2 5.0 05.025.0 0,5.0 +×− ≈ ∂ ∂ x u 5.0=x 0.1=x 2.0 5.1=x t 0 5.0 0 ( ) 0 u 0 1 1 u 1 2 u 0 0=x 5.0 05.0)0,5.0()0,5.0( 2 2 ×= ∂ ∂ − ∂ ∂ x u t u 0 5.0 5.0 2.0 5.0 2 1 1 = − − − ⇒ u 1.0 1 1 =⇒ u