Mt nghien cu thc nghim v cac kho kh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 16, Số (2019): 73-84 Vol 16, No (2019): 73-84 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ CÁC KHÓ KHĂN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC HỌC KHÁI NIỆM TẬP MỞ, TẬP ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC Nguyễn Ái Quốc, Lê Minh Tuấn Trường Đại học Sài Gòn Tác giả liên hệ: Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 14-5-2018; ngày nhận sửa: 12-7-2018; ngày duyệt đăng: 17-01-2019 TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi trình bày kết thực nghiệm khó khăn sinh viên ba trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Sài Gịn Đại học Đồng Nai giải kiểu nhiệm vụ xét tính đóng, mở tập khơng gian mêtric Các khó khăn sinh chướng ngại tri thức luận gắn liền với việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng q trình khái qt hóa khoảng mở, đóng ảnh hưởng mối quan hệ thể chế Toán đại học tập mở tập đóng Từ khóa: chướng ngại tri thức luận, khó khăn, khơng gian mêtric, tập đóng, tập mở Mở đầu 1.1 Định nghĩa tập mở, tập đóng ba thể chế Toán đại học Tập mở, tập đóng hai khái niệm khơng gian mêtric không gian tôpô Hai khái niệm tiếp cận ba cách khác thể chế Toán đại học ba trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSPTPHCM), Đại học Sài Gịn (ĐHSG) Đại học Đồng Nai (ĐHĐN)  Thể chế Tốn Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong thể chế Toán ĐHSPTPHCM, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình Tôpô đại cương định nghĩa theo lân cận: “Một tập hợp U gọi mở với x  U, tồn số thực dương  cho O (x)  U.” (Trần Tráng, 2005, tr 44) “Một tập hợp gọi đóng phần bù tập hợp mở ” (Trần Tráng, 2005, tr 48)  Thể chế Tốn Đại học Sài Gịn Trong thể chế Toán ĐHSG, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình “Giải tích hàm” định nghĩa theo hình cầu mở: “Cho không gian mêtric (X, d) Với tập A  X , ta nói A tập mở (trong X) ứng với x  A , tồn r > cho B ( x,r )  A Nếu X \ A tập mở, ta nói A tập đóng (trong X) (Đặng Đức Trọng, 2011, tr 10) 73 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84  Thể chế Toán Đại học Đồng Nai Trong thể chế Toán ĐHĐN, khái niệm tập mở tập đóng xuất giáo trình “Cơ sở lí thuyết hàm Giải tích hàm” định nghĩa theo phần trong: “ Cho A tập khơng gian mêtric X Ta nói A tập mở A  A Hay nói A mở chi A  A Ta nói tập A đóng X \ A mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr 18) 1.2 Một số ghi nhận giả thuyết nghiên cứu  Ghi nhận thực tế Việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng q trình khái quát hóa khoảng mở, khoảng đóng đường thẳng thực khơng gian mêtric dẫn đến số khó khăn việc hiểu hai khái niệm Thật vậy, hai tháng 10/2017, Nguyễn Ái Quốc (2018a) tiến hành thực nghiệm khảo sát dạng vấn trực tiếp 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Toán Trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN Đại học Khoa học Tự nhiên định nghĩa khái niệm tập mở Kết khảo sát cho thấy sinh viên có ba cách xác định tập mở không gian mêtric: định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, tập mở thể hợp cầu mở Các quan niệm sinh viên chênh lệch so với định nghĩa thức  Kết phân tích tri thức luận Mặt khác, qua phân tích tri thức luận lịch sử, Nguyễn Ái Quốc (2018a) xác định đặc trưng quan trọng trình xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng: Đặc trưng cấp độ thể khái niệm: Cấp độ cụ thể đường thẳng thực, cấp độ khái quát không gian Euclide n chiều, cấp độ trừu tượng hóa khơng gian Lesbesgue, khơng gian mêtric khơng gian tơpơ, tiên đề hóa khơng gian lân cận khơng gian tơpơ Từ đó, Nguyễn Ái Quốc (2018) xác định chướng ngại tri thức luận SV lần đầu tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng: khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng thực vào không gian Euclide n chiều, từ không gian Euclide n chiều sang không gian tôpô trừu tượng không gian mêtric tổng quát  Kết phân tích thể chế Tốn Phân tích thể chế Toán ba trường cho thấy tồn năm kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến tập mở, tập đóng sau: + TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa; + TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa; + TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa; + TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan; 74 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk + TCMĐL: Chứng minh định lí hệ Kết phân tích mối quan hệ thể chế Toán ba trường tập mở, tập đóng cho thấy ba thể chế quan tâm nhiều đến KNV TCMĐL, không quan tâm đến KNV TXTĐM-ĐN Hơn nữa, giáo trình ba trường, KNV TXTĐM-ĐN trình bày liên quan đến tập tập cụ thể Trong thể chế Tốn Trường ĐHSPTPHCM, kết phân tích cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) tổng số 26 ví dụ (VD) tập (BT), KNV TXTĐM-ĐN TXĐM-KNLQ xuất ít, 3,8% ĐHSPTPHCM, 36,4% ĐHSG, 30,8% ĐHĐN Hơn nữa, hai KNV hầu hết khảo sát tính đóng, mở tập trừu tượng không gian mêtric tổng quát Bảng Các KNV liên quan tập mở, tập đóng thể chế Tốn ĐHSPTPHCM KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ VD 0 0 BT 3 10 Tổng (%) 3/26 (11,5%) 3/26 (11,5%) 0/26 (0%) 1/26 (3,8%) 19/26 (73,2%) Trong thể chế Toán Trường ĐHSG, kết phân tích giáo trình cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (31,8%) tổng số 22 VD BT, KNV TXTĐM-ĐN xuất không đáng kể (9,1%) (Bảng 2) Bảng Các KNV liên quan tập đóng, tập mở thể chế Tốn ĐHSG KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ VD 2 BT 3 Tổng (%) 4/22 (18,2%) 3/22 (13,6%) 2/22 (9,1%) 6/22 (27,3%) 7/22 (31,8%) Trong thể chế Toán Trường ĐHĐN, kết phân tích giáo trình cho thấy KNV TCMĐL chiếm số đa số (73,2%) tổng số 26 VD BT, KNV TXTĐM-ĐN hồn tồn vắng bóng (0%) (Bảng 3) Bảng Các KNV liên quan tập đóng, tập mở thể chế Tốn ĐHĐN KNV TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa định nghĩa TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa định nghĩa TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở tập định nghĩa TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa khái niệm liên quan TCMĐL: Chứng minh định lí hệ 75 VD 0 BT 1 Tổng (%) 2/13 (15,4%) 1/13 (7,7%) 0/13 (0%) 4/13 (30,8%) 6/13 (41,6%) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84  Giả thuyết nghiên cứu Từ ghi nhận thực tế, phân tích tri thức luận phân tích mối quan hệ thể chế Toán ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG ĐHĐN cho phép rút hai giả thuyết nghiên cứu H1 H2 sau: H1: Việc xây dựng khái niệm tập mở, đóng q trình khái quát hóa khoảng mở, khoảng đóng đường thẳng thực không gian n chướng ngại tri thức luận ảnh hưởng đến chiến lược giải KNV xét tính đóng, mở tập n SV H2: Mối quan hệ thể chế Toán ba trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN khái niệm tập mở, tập đóng ảnh hưởng đến việc giải KNV xét tính đóng, mở tập cụ thể không gian với mêtric thông thường SV Hai giả thuyết nghiên cứu kiểm chứng thực nghiệm trình bày phần Thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào tháng 11/2017 121 SV, gồm 44 SV lớp Toán Ứng dụng (SGU) 23 SV lớp sư phạm Toán (SGS) ĐHSG, 17 SV Sư phạm Toán ĐHSP TPHCM, 37 SV sư phạm Toán ĐHĐN Tất 121 SV SV năm hai, học xong học phần “Mêtric Tôpô” “Giải tích hàm” (ĐHSG ĐHĐN) hay “Tơpơ đại cương” (ĐHSP TPHCM) Mục đích thực nghiệm khơng nhằm tìm hiểu ảnh hưởng ba cách tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng lên chiến lược giải SV việc xét tính đóng, mở tập, mà nhằm kiểm chứng hai giả thuyết H1 H2 2.1 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm bao gồm ba câu hỏi điều tra dạng viết, thời gian làm 45 phút Trong câu, SV chọn câu trả lời thỏa đáng theo lựa chọn họ giải thích cho lựa chọn câu trả lời Cả ba câu hỏi thuộc KVN TXTĐM : Xét tính đóng, mở tập số cụ thể , thiết kế cho SV sử dụng định lí hệ liên quan đến tập đóng, tập mở để giải KNV Bộ câu hỏi điều tra gồm câu hỏi sau: Câu hỏi Xét không gian mêtric ( , d) với d mêtric Euclide thông thường Trong tập sau đây, xác định tập tập đóng tập khơng phải tập đóng? Giải thích sao?   1 B =    ;  , n n 1  n n Mục đích Câu hỏi nhằm kiểm tra xem SV có xác định A tập khơng đóng, B tập đóng khơng gian mêtric ( , d) A  (0,1] ; 76 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Câu hỏi Cho (2; 4) khoảng mở không gian mêtric ( Ta đặt C  (2; 4)  0 gọi  mêtric Euclide thông thường Euclide thông thường trên , d) với d mêtric Trong khơng gian mêtric a) Mở, khơng đóng, c) Khơng mở, khơng đóng, Hãy giải thích sao?  ,   , tập C tập: b) Đóng, khơng mở, d) Vừa mở, vừa đóng Mục đích Câu hỏi nhằm xác định ảnh hưởng tính mở khoảng , d) lên việc xét tính mở tập C khơng gian (2; 4) không gian (  ,  Đáp án xác C khơng đóng, không mở Câu hỏi Trong không gian mêtric , tập D  ( x, y )  a) Mở, khơng đóng, b) Vừa đóng, vừa mở, Hãy giải thích sao?  ,   với  mêtric Euclide thông thường : x  y  5 tập: b) Đóng, khơng mở, d) Đáp án khác Mục đích Câu hỏi nhằm xác định ảnh hưởng tính vừa mở, vừa đóng đường thẳng thực lên việc xét tính đóng, mở đường thẳng biểu diễn tập D không gian  ,   Đáp án xác tập D đóng, khơng mở  ,  2.2 Dự kiến chiến lược giải (CLG) sinh viên trả lời câu hỏi Đối với Câu hỏi 1, CLG KNV xét tính đóng tập A B trình bày Bảng Bảng Các CLG KNV xét tính đóng tập A Tập Chiến lược Nội dung SCS: định nghĩa Xét \ A   ; 0  1;   Vì khơng tồn cầu tâm 0, bán tập đóng kính r  đủ nhỏ để B (0 ,r )  \ A , nên \ A khơng mở Do đó, A khơng đóng Vì  A  {0,1} A khơng chứa tất điểm biên nên A SB: biên khơng đóng A SCL: bao đóng SSL: dãy SINV: giới hạn Vì A  [0,1] A  A , nên A khơng đóng 1 n Chọn dãy ( xn )    với n  Vì xn  A lim xn   A , nên A khơng đóng khoảng Vì tập A = (0; 1] nửa khoảng khơng đóng bên trái nên A khơng đóng 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Bảng Các CLG KNV xét tính đóng tập B Tập Chiến lược Nội dung SCS: định Xét \ B   ;0    0;   Vì tập \ B hợp hai tập mở nên nghĩa tập \ B tập mở Do đó, B đóng đóng Vì B  {0} \ B   ;    0;   tập mở, nên B đóng B SB: biên Vì B = 0 B chứa tất điểm biên nên B đóng SCL: bao đóng Vì B  0 B  B , nên B đóng SOI : giao Vì B giao tập mở nên B mở, B khơng đóng tập mở SINV: khoảng Vì B giao khoảng mở nên tập mở Đối với Câu hỏi 2, CLG KNV xét tính đóng xét tính mở tập C trình bày Bảng Bảng Các CLG KNV xét tính đóng, mở tập C Tập Chiến lược Nội dung SOB: cầu mở khơng tìm cầu mở tâm x = (3; 0) , bán kính r  chứa C nên C không mở SIn: phần Vì C có phần C rỗng, nên C  C , suy C không mở Xét SCS: định nghĩa tập đóng \ C =  x1 ; x2  | x1  (2, 4)  x2  0 Vì x  (2; 0)  không tồn r dương đủ nhỏ cho B( x,r )  C 2 \C \ C , nên \ C không mở, C khơng đóng SB: biên Vì  C   2; 4  0  C  C nên C khơng đóng SCL: bao đóng Vì C  [2, 4] 0 C  C , nên C khơng đóng SSL: giới hạn dãy Chọn dãy   ( xn )    ;0  n   với n Vì xn  C lim xn  (2; 0)  C , nên C khơng đóng Đối với Câu hỏi 3, CLG KNV xét tính đóng xét tính mở tập D trình bày Bảng 7, () đường thẳng có phương trình x + 3y = 78 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Bảng Các CLG KNV xét tính đóng, mở tập D Tập Chiến lược SCS: định nghĩa tập đóng Nội dung Biểu diễn D đường thẳng chia mặt phẳng hai tập mở, \ D mở, suy D đóng Với điểm I tùy ý thuộc D r SB: biên SOB: cầu mở SR: đường thẳng thực d ( I ,  ) chứa 2 thành hai miền \ D , tồn cầu mở với bán kính \ D , \ D mở, suy D đóng Đường thẳng biểu diễn D khơng có biên nên khơng đóng Với điểm I tùy ý thuộc đường thẳng x + 3y = 5, không tồn cầu mở tâm I chứa đường thẳng đó, nên D khơng mở Biểu diễn D đường thẳng đường thẳng thực nên vừa mở vừa đóng 2.3 Phân tích hậu nghiệm  Phân tích kết Câu Đối với tập A, CLG huy động nhiều SB với 27/121 trường hợp tất trả lời xác CLG huy động nhiều SCS sử dụng định nghĩa tập đóng Tuy nhiên, số 21/121 trường hợp có trường hợp trả lời khơng xác Chẳng hạn, có SV suy luận “tập \ A   ;0   1;   hợp tập không mở (; 0] tập mở (1; +) nên khơng mở, A khơng đóng” Tiếp theo, có 8/121 trường hợp chứng tỏ A chứa cầu tâm với bán kính nhỏ tùy ý nên A khơng đóng Có 7/121 trường hợp huy động SSL, có trường hợp khơng xác chọn dãy A hội tụ kết luận A đóng Đặc biệt, có 8/121 trường hợp huy động CLG SINV suy luận “A khoảng khơng đóng bên trái, hay A nửa khoảng mở nên A khơng đóng” Sau cùng, có đến 48/121 trường hợp khơng trả lời câu hỏi Như vậy, có tổng cộng 58/121 trường hợp trả lời giải thích hợp lí Bảng Các CLG huy động cho KVN xét tính đóng tập A Chiến lược Tập A SCS SB SCL SSL SINV Skhac Trả lời Đúng 16/121 27/121 2/121 5/121 8/121 0/121 79 Sai 5/121 0/121 0/121 2/121 0/121 8/121 Tổng 21/121 (17,4%) 27/121 (22,3%) 2/121 (1,7%) 7/121 (5,8%) 8/121 (6,6%) 8/121 (6,6%) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Đối với tập B, CLG chiếm đa số SCS với 24/121 trường hợp, có   1 \ B =    ;  CLG chiếm số lượng nhiều SOI với n 1  n n  19/121 trường hợp tất trả lời khơng xác SV cho “giao vô hạn tập mở mở” Có 8/121 trường hợp huy động CLG SINV cho “giao khoảng mở tập mở” Có SV huy động CLG S B, suy luận khơng xác,  1 chẳng hạn có SV xác định B =   ;   \ B , suy B mở Có SV huy động CLG    trường hợp hiểu sai   1  1 khác, SV thứ chọn dãy  xn      B có lim xn      ;   B , n   n  n n B đóng SV khơng nhận  xn n    B , trường hợp  1 dãy Hai SV lại chứng minh B mở cách chứng tỏ B    ;  với  n n x thuộc B có cầu B ( x ,  )  B Sau cùng, có 63 trường hợp không trả lời Vậy, tập B, có 20 trường hợp trả lời B tập đóng Bảng Các CLG huy động cho KVN xét tính đóng tập B Chiến lược Tập B SCS SB SCL SOI SINV Skhac Trả lời Đúng 20/121 0/121 0/121 0/121 0/121 0/121 Sai 4/121 4/121 0/121 19/121 8/121 3/121 Tổng 24/121 (19,8%) 4/121 (3,3%) 0/121 (0%) 19/121 (15,7%) 8/121 (6,6%) 3/121 (2,5%) Kết phân tích cho thấy SV gặp nhiều khó khăn xét tính đóng, mở tập hợp số cụ thể không gian R Tỉ lệ SV không trả lời trả lời khơng xác chiếm 52,1% 83,5% KNV xét tính đóng tập A B Sự chênh lệch lớn hai tỉ lệ tập A có dạng quen thuộc (a; b] tập khơng đóng, khơng mở, so với dạng giao vô hạn tập mở B Đặc biệt có xuất CLG sử dụng tính chất khoảng mở, khoảng đóng, khoảng nửa mở vào giải KNV xét tính đóng hai tập A B  Phân tích kết Câu CLG huy động nhiều S B với 11/121 trường hợp để vừa xét tính đóng, vừa xét tính mở C Tuy nhiên, tất 11 trường hợp trả lời khơng xác Chẳng hạn, có SV lí luận “ 2, 4  C , nghĩa C khơng chứa biên nó, nên C khơng đóng C mở” 80 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Bảng 10 Các CLG huy động cho KVN xét tính đóng, mở tập C Chiến lược Tập C SOB + SCS SCS SOB + SB SIn SB SSL Skhac Trả lời Sai 3/121 1/121 2/121 0/121 11/121 1/121 16/121 Đúng 4/121 0/121 0/121 0/121 0/121 0/121 0/121 Tổng 7/121 (5,8%) 1/121 (0,8%) 2/121 (1,7%) 0/121 (0%) 11/121 (9,1%) 1/121 (0,8%) 16/121 (13,2%) CLG khác sử dụng nhiều SOB + S CS với trường hợp, S OB để xét tính mở S CS để xét tính đóng C Tuy nhiên, có 3/7 trường hợp trả lời khơng xác Chẳng hạn, để xét tính mở C, SV giả sử “có cầu mở B tâm (3; 0),  r  r bán kính r  nằm C, khoảng cách  3;  (3; 0) nhỏ r, nên  3;   2  2 r thuộc C dẫn đến = trái giả thiết r  , C khơng mở” Để xét tính đóng C, SV giả sử “có cầu B tâm (2; 0) nằm \ C m   đặt m  r , 2 điểm   ;0  thuộc \ C , dẫn đến m  trái giả thiết m”   Có hai SV huy động CLG SOB+SB, S OB để xét tính mở SB để xét tính đóng C, hai trả lời khơng xác Một hai SV lí luận “quả cầu mở B(0, 1) không nằm C nên C không mở, C  0, 2, 4  C nên C khơng đóng” Có SV huy động CLG SCS trả lời khơng xác, cho “C khơng đóng (2; 0) \ C , C khơng đóng nên C tập mở” Có SV huy động CLG S SL trả lời khơng xác, lấy dãy  xn    yn   C cho  xn  hội tụ  y n  hội tụ 0, 2C yC nên C tập khơng mở, khơng đóng Có 16 SV huy động CLG khác trả lời khơng xác Chẳng hạn, SV thứ cho “C mở C =  ( x; 0) (2; 4) mở ” SV áp dụng tính chất x( 2,4) hợp vô hạn tập mở mở cho tập SV thứ hai cho “C giao hai tập mở  ;   0  2;    0 nên tập mở” SV áp dụng tính chất giao hai tập mở mở SV thứ ba lí luận “ C  ( x; 0) : x  (2;4), x  , tập phần tử C thực chất đoạn thẳng bỏ hai đầu mút , C mở” SV thứ tư lí luận “(2; 4) tập mở , {0} tập đóng \ {0}   ;    0;   mở hợp hai khoảng mở , suy C vừa đóng vừa mở” 81 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Sau cùng, khơng có trường hợp huy động chiến lược phần S In để xét tính mở C, có đến 83/121 không trả lời Câu hỏi Kết phân tích cho thấy SV gặp nhiều khó khăn phạm nhiều sai lầm giải KNV xét tính đóng, mở tập khơng gian so với khơng gian Các khó khăn SV gắn liền với quan niệm khơng xác biên, tập tích, quan hệ bao hàm, quan hệ thuộc… Mặc dù, CLG đa dạng, vận dụng nhiều định lí hệ việc xét tính đóng, mở tập C, tỉ lệ thành công thấp Đặc biệt, xuất số CLG sử dụng tính chất liên quan đến khoảng mở, đóng tập mở, tập đóng vào  Phân tích kết Câu Hai CLG huy động nhiều S OB+SCS S OB với 9/121 trường hợp cho CLG Với CLG SOB+S CS, có trường hợp trả lời giải thích xác Trường hợp trả lời xác D đóng khơng mở, giải thích sai Để chứng minh D không mở, SV suy luận “với điểm thuộc đường thẳng (): x + 3y = 5, có cầu mở có tâm điểm khơng chứa đường thẳng ()” Với CLG SOB, tất trường hợp trả lời không xác Chẳng hạn, có SV lí luận “với điểm thuộc đường thẳng (), không tồn cầu mở có tâm điểm chứa D, D khơng mở từ suy D đóng” Hai CLG S CS SB có trường hợp huy động cho CLG, hai trường hợp trả lời khơng xác SV huy động S B cho D chứa điểm biên {0, 1, 2} (điều sai) nên D tập đóng suy D khơng mở SV huy động SCS chứng tỏ “mọi điểm thuộc phần bù D có cầu mở có tâm điểm chứa phần bù D, D đóng từ suy D khơng mở” SV suy luận D đóng đúng, từ suy D khơng mở sai Bảng 11 Các CLG huy động cho KVN xét tính đóng, mở tập D Chiến lược Tập D SOB + SCS SCS SOB SB Skhac Trả lời Sai 1/121 1/121 9/121 1/121 22/121 Đúng 8/121 0/121 0/121 0/121 0/121 Tổng 9/121 (7,4%) 1/121 (0,8%) 9/121 (7,4%) 1/121 (0,8%) 22/121 (18,2%) Có 22/121 trường hợp huy động CLG khác trả lời giải thích khơng xác Trong đó, có 15 trường hợp huy động SR trả lời tập D vừa mở vừa đóng giải thích “đường biểu diễn tập D đường thẳng đường thẳng thực” Sau cùng, có đến 79/121 trường hợp không trả lời Câu hỏi Kết phân tích SV biết sử dụng định nghĩa tập đóng, tập mở để xét tính đóng mở D, số lượng khơng nhiều có 8/20 trường hợp trả lời xác Tồn 82 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk quan niệm khơng xác SV như: “tập đóng khơng mở, tập mở khơng đóng” Đặc biệt, số 22/121 trường hợp sử dụng CLG khác, có 17 trường hợp xem đường biểu diễn tập D đường thẳng thực nên vừa mở vừa đóng Kết luận Kết thực nghiệm cho phép rút kết luận sau: Tồn số quan niệm tính đóng, mở SV: Một tập đóng khơng mở, tập mở khơng đóng Các quan niệm có nguồn gốc từ định nghĩa tập đóng: “nếu phần bù tập mở tập đóng”, từ tính nhị nguyên “đóng-mở” số tượng sống, ví dụ: “cửa khơng mở đóng, cửa khơng đóng mở” SV gặp nhiều khó khăn giải KNV xét tính đóng, mở tập số cụ thể Những khó khăn thể quan niệm khơng xác biên tập, khái niệm tập tích , quan hệ bao hàm quan hệ thuộc , phép lấy phần bù giao tập hợp… Những sai lầm sinh từ ràng buộc thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân SV lên việc giải KNV xét tính đóng, mở tập cụ thể Từ đó, cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H2 Khơng có SV sử dụng định nghĩa tập mở phần để xét tính mở tập C Điều chứng tỏ SV gặp nhiều khó khăn quan niệm phần tập số cụ thể Tỉ lệ trường hợp không trả lời hay trả lời khơng xác chênh lệch lớn KNV xét tính đóng tập A B câu hỏi cho thấy tồn SV quan niệm: “giao họ tập mở mở”, giao họ hữu hạn tập mở hay giao họ vô hạn tập mở Số lượng trường hợp không trả lời hay trả lời không xác tăng từ 50% lên 80% chuyển từ Câu hỏi sang Câu hỏi 3, với xuất quan niệm đoạn thẳng tập đóng, đường thẳng tập vừa mở, vừa đóng tương tự đường thẳng thực Từ đó, cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H1  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu Lê Văn Tiến (2009) Những yếu tố didactic Tốn TP Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia Lê Thị Hoài Châu (2017) Sự cần thiết phân tích tri thức luận nghiên cứu hoạt động dạy học đào tạo giáo viên Hội thảo quốc tế Didactic Toán lần thứ Actes du sixième colloque international en didactique des mathématiques, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc Đỗ Đức Thái (2001) Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm Hà Nội: NXB Giáo dục 83 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 73-84 Nguyễn Ái Quốc (2018a) Một phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng giải tích tơpơ học Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 15(10), 130-144 Trần Tráng (2005) Giáo trình Tơpơ đại cương TP Hồ Chí Minh: Đại học Sư phạm TPHCM Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hồng Tâm Đinh Ngọc Thanh (2011) Giải tích hàm TP Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Đồng Nai (2013) Chương trình khung trình độ Đại học kế hoạch đào tạo ngành: Sư phạm Toán học Trường Đại học Sài Gịn (2016) Chương trình đào tạo trình độ đại học, ngành: Sư phạm Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (2016) Chương trình giáo dục đại học, ngành đào tạo: Sư phạm Toán học Sutherland, W A (2009) Introduction to Metric and Topological Spaces Second Edition, Oxford University Press Artigue, M (1991) Epistémologie et Didactique Recherche en Didactique des Mathematiques, 10(3), 241-286 Brousseau, G (1983) Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198 AN EXPERIMENTAL STUDY OF THE DIFFICULTIES INVOLVED IN LEARNING THE CONCEPT OF OPEN SET AND CLOSED SET IN METRIC SPACES Nguyen Ai Quoc, Le MinhTuan Saigon University Corresponding author: Email: nguyenaq2014@gmail.com Received: 14/5/2018; Revised: 12/7/2018; Accepted: 17/01/2019 ABSTRACT In this paper, we present the experimental research’s results about the student’s difficulties in three universities: Ho Chi Minh city University of education, Sai Gon University and Dong Nai University when solving the task of considering the closedness, the openness of a set in metric space These difficulties are generated by the epistemological obstacle associated with the development of open-set and closed-set concepts such as the generalizing of the open and closed interavls of and by the influence of institutional relations of university mathematics to open and closed sets Keywords: epistemological obstacles, difficulties, metric spaces, closed sets, open sets 84 ... 83/121 kh? ?ng trả lời Câu hỏi Kết phân tích cho thấy SV gặp nhiều kh? ? kh? ?n phạm nhiều sai lầm giải KNV xét tính đóng, mở tập kh? ?ng gian so v? ??i kh? ?ng gian Các kh? ? kh? ?n SV gắn liền v? ??i quan niệm kh? ?ng... 1 n Chọn dãy ( xn )    v? ??i n  V? ? xn  A lim xn   A , nên A kh? ?ng đóng kho? ??ng V? ? tập A = (0; 1] nửa kho? ??ng kh? ?ng đóng bên trái nên A kh? ?ng đóng 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM... dạng quen thuộc (a; b] tập kh? ?ng đóng, kh? ?ng mở, so v? ??i dạng giao v? ? hạn tập mở B Đặc biệt có xuất CLG sử dụng tính chất kho? ??ng mở, kho? ??ng đóng, kho? ??ng nửa mở v? ?o giải KNV xét tính đóng hai tập