Tài liệu Giáo án đại số đại cương docx

 Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A là một nửa nhóm.. X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a c Nếu với mỗi cặp a, b cho

Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập

1.1.Phép toán hai ngôi:

Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường Ta thấy:  a, b 

N luôn có: a+b = c  N Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không? Hãy lập ánh xạ đó ( +: NxN  N

(a,b)  c )

2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân

trong N ?

T: NxN  N (a,b)  c= ab )các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi

 Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên

A là một nửa nhóm Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.

Trong một nửa nhóm X:

Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.Tổng quát : x1x2… xn-1xn = (x1x2… xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ tự đó

 Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi

là bội của n Ký hiệu là: na Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:

( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )

Định lý 3: tr41

 Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42

 Bài tập: 1  5 tr 42-43

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Trang 42:

Bài 1: X là nửa nhóm a  X ; b  Xsao cho: ab = ba

a) CMR: (ab)n = anbn  n > 1 ; n  Nb) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra được ab = ba không ?Bài giải:

a).Quy nạp theo n:

 Với n = 1 ta có ab = ba

 Giả sử với m = n-1 có: (ab)n-1 = an-1bn-1

 Ta CM đúng với m = n

Có (ab)n = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an-1(bn-1b)a =an-1bna (1)

Như vậy nếu có bna = abn thì từ (1) suy được ra điều phải CM Ta đi CM điều đó:

b) Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử Chẳng hạn  a, b  X : a  b

Xét nửa nhóm X với phép toán ab = a  a,b  X Ta có :

a) CM R có một ánh xạ từ X2 đến X

b) X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)

c) Nếu với mỗi cặp ( a, b) cho tương ứng với lớp ab Thì X cũng là một vị nhóm giao hoán

Bài giải:

a).Ta CM tương ứng ( a, b)  a  b Không phụ thuộc vào các đại diện a, b của các lớp tương đương a, b

Nếu a = a' thì: a - a’ chia hết cho n

Nếu b= b' thì: b-b’ chia hết cho n

Suy ra: (a+b)-(a’+b’) cũng chia hết cho n hay a  b = a ' b' Vậy ta có ĐPCM

b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X2  X

( a, b)  a  b= 

Kiểm tra t/c kết hợp:  a, b, c :

Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử  x, y  X, x  y ta có

xTy = x  yTx =y nên X không giao hoán

Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e  x  x  X

b) CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a)

c) Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tương ứng với lớp tương đương ac/bd CMR lúc

đó X cũng là một vị nhóm giao hoán

Bài giải::

2 NHÓM(Số tiết: 18 = 9 + 9)MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:

Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm biết chứng minh các tính chất về nhóm

Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm

 X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn Số phần tử của X còn gọi là cấp của nhóm X

 Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )

Ví dụ: SGK tr 44

2.1.2 Các tính chất:

1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối.

CM:  x  X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b

Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b

 Phép toán ký hiệu bằng dấu phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch đảo Viết x-1

 Phép toán ký hiệu bằng dấu + phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử đối Viết - x

 Vậy (x-1)-1 = x ; (- (-x) = x

 Nếu X là aben thì : (.): xy-1 = y-1x nên còn viết x/y gọi là thương của x trên y

(+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y

2 (Luật giản ước)

Trong một nhóm X :  x , y , z  X Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z

CM: nếu :xy = xz

Ta có: x-1(xy) = x-1(xz) hay (x-1x)y = (x-1x)z hay ey = ez hay y = z

3 trong một nhóm X phương trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất

x= a-1b ( y = ba-1)CM:

Ta có: ax = a(a-1b) = (aa-1) b = eb =b hay x = a-1b là nghiệm Nghiệm này là duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật giản ước ta được: x = c

4 X là nhóm:  x , y  X ta có (xy)-1 = y-1x-1

i) x  X , ex = x ( X có đơn vị trái)

ii)  x  X, có một x’  X Sao cho: x’x = e

 Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải

6 Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:

các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong XCM:

 : đã cm trong t/c 3

Đủ: Do X   nên  a  X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình

ya = a có nghiệm Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.Thật vậy:  b  X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c

Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b hay e là đơn vị trái

 b  X xét phương trình yb = e theo (gt) phương trình này có nghiệm trong X nên  b’ sao cho : b’b = e

Theo đ/ lý 5 ta có đpcm

Bài tập 3,5,7,10 tr 70.

Bài tập 2 sinh viên làm tại lớp.

2.2.Nhóm con:

Nhóm cộng các số thực R, tập Z các số nguyên Z  R, Z cùng phép cộng cũng là một nhóm Ta còn gọi đó là một nhóm con của nhóm cộng các số thực R

 Định nghĩa 2:

X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X A cùng với phép toán cảm sinh

là một nhóm Thì A gọi là một nhóm con của nhóm X

Nếu A là nhóm con của X thì liệu phần tử trung lập của A có phải là phần tử trung lập trong nhóm X không? Phần tử nghịch đảo của một phần tử x trong A có trùng với phần tử nghịch đảo của x trong X không? Sinh viên tự CM

A nhóm con X hiển nhiên có:

1  x, y  A, xy  A

2 Giả sử b là phần tử trung lập của A thì  x  A bx = x;

mặt khác do x  X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật giản ước trong nhóm ta có: b = e

3  x  A giả sử có x’  A mà x’x = e ta cũng có x-1x = e nên x’x = x-1x hay: x’= x-1

Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X

b)  c) : do x, y  A nên theo b) y-1  A, và cũng theo b) xy-1  A

c)  a): vì A   nên  x  A theo c): xx-1 = e  A

CM:

Gọi A =  Ai , trong đó Ai  I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X

- A  vì e  Ai  i  I nên e  A

-  x, y  A, nên x , y  Ai  i  I suy ra xy-1  Ai  i  I ( do Ai là các nhóm con ) từ đó xy-1  A (theo hệ quả đ/l 1) cho đpcm

* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một

nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U Đó là nhóm con bé nhất của X chứa U

định nghĩa 3:

U  X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U Khi ấy A gọi

là nhóm con sinh ra bởi U

 Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U

 Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a  X Nếu không có một

số nguyên dương n nào sao cho an = e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là

vô hạn, vì ak  al  k  l

 Trong trường hợp ngược lại gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

am = e thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a0, a1, a2,….am-1

 Định nghĩa5:

X là một nhóm;  a  X; A là nhóm con sinh ra bởi a

a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn Khi ấy: ∄ n: an = e

a gọi là có cấp m nếu A có cấp m

Khi ấy  m là số nguyên dương bé nhất sao cho: am = e

2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thương:

X là một nhóm; A là nhóm con của X Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như sau:  x, y  A, x~y  x-1y  A

Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tương đương.

 Tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập thương của nhóm

X trên nhóm con A, Kí hiệu: X/A các phần tử của X/A là các lớp trái xA

 Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ)

Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó

CM:

Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m

A =  x1, x2,….,xm  khi ấy  x  X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng: xx1, xx2,…., xxm các phần tử này là phân biệt vì nếu xx1 = xx2 thì  x1 = x2 Do X

là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn gọi số các lớp trái là l và do các lớp trái là rời nhau nên n = ml

 Hệ quả 1:

Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của X

 Hệ quả 2:

Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh ra bởi

một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm (sinh viên tự CM)

( Số nguyên tố p chỉ có ước là 1 và chính nó Nên một nhóm hh có cấp

nguyên tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p loại

trừ e thì các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho được sinh bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic)

X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì:

i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A  X/A

(xA, yA) ↦ xyAii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X/A

+ Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có:

eA.xA = exA = xA,  xA  X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/A+ xA  X/A ta có: x-1A.xA = x-1xA = eA = A Vậy xA nhận x-1A là phần tử nghịch đảo trái

Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X Khi ấy:

A là chuẩn tắc  xA = Ax ,  x  X

CM:  :  xa  xA ( a  A) do A là chuẩn tắc nên: y-1ay  A ,  y  X, lấy y = x

-1 thì: xax-1  A, đặt xax-1 = a’  xa = a’x  Ax Vậy xA  Ax

 ax  Ax, ( a  A) do A là chuẩn tắc nên: x-1ax  A, đặt x-1ax = a’  A ,

ta có: ax = xa’  xA, vậy Ax  xA Do đó: Ax = xA

+ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X

+ Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu

+ Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu

+ Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu Ký hiệu: f: X :  Y

+ Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu

Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng cấu, tự đẳng cấu:

1).A là nhóm con của nhóm X Đơn ánh chính tắc: f: A  X

a  a2) f: X  X ( tự động cấu đồng nhất)

f: X  Y

x  e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thường)6) f: X  Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Hỏi f-1: Y  X có là đẳng cấukhông ? (f-1 là song ánh Mặt khác:  y, y1  Y , đặt x = f-1(y) ; x1 = f-1(y1) Ta có: f(x) = y; f(x1) = y1 vì f là một đồng cấu nên: f(xx1) = f(x).f(x1) = y.y1 ;

do đó: f-1(y.y1) = xx1 = f-1(y)f-1(y1) Vậy f-1 là một đẳng cấu

Định nghĩa 9:

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, ex,, ey tương ứng là các phần tử trung lập của nhóm X, nhóm Y Ta ký hiệu:

Imf = f(X)Kerf =  x  X { f(x) = ey  = f-1( ey) Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f

Định lý 5:

X,Y, Z là các nhóm f: X  Y; g: Y  Z là các đồng cấu Thế thì ánh xạ tíchgf: X  Z là một đồng cấu

CM:  a, b  X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b) Định lý 6:

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì:

i) f(ex) = eyii) f(x-1) = [f(x)]-1 ,  x  X

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X, B

là một nhóm con chuẩn tắc của Y Thế thì:

i) f(A) là một nhóm con của Y

ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

CM:

i).f(A)   , vì ex  A, f(ex) = ey  f(A)

 y, y1  f(A)   x, x1  A sao cho: y = f(x), y1 = f(x1);

xét yy1-1 = f(x).[f(x1)]-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1)  f(A) ( vì A là nhóm con nên xx1-1  A ),  f(A) là nhóm con của nhóm Y

ii) f-1(B)   , vì f(ex) = ey  B nên ex  f-1(B)

 x, x1  f-1(B) , ta có: f(xx1-1) = f(x).f(x1-1) = f(x)[.f(x1)]-1 Do B là nhóm connên từ f(x), f(x1)  B  f(x).f(x1-1)  B vậy: f(xx1-1)  B  xx1-1  f-1(B)

do đó f-1(B) là một nhóm con của X Hơn thế f-1(B) còn là chuẩn tắc, vì:  a  f-1(B) ( có: f(a)  B ),  x  X

xét: f(x-1ax) = f(x-1)f(a)f(x) = f(x)-1f(a)f(x)  B ( do B là chuẩn tắc trong Y)  x-1ax

i) theo định nghĩa toàn ánh

ii) giả sử f là đơn ánh khi ấy  y  Y , ! x  X sao cho: f(x) = y vậy với

ey ,  ! ex X sao cho: f(ex) = ey, hay kerf =  ex 

Ngược lại: giả sử Kerf =  ex  ,  x, y  X, f(x) = f(y) ta có : f(x).f(y)-1 = ey

Nên: f(x)f(y)-1 = f(x).f(y-1) = f(xy-1) = ey suy ra: xy-1  Kerf =  ex , hay: xy-1 = ex 

( sinh viên đọc trước lời CM - sẽ CM trên lớp vào tiết tiếp theo)

Ta đặt f : X/A  Y

xA ↦ f (xA) = f(x) f là một đồng cấu Thật vậy:

 xA, yA  X/A, f (xAyA) = f (xyA) = f(xy) = f(x)f(y) = f (xA) f (yA)

(Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y))

Từ f (xA) = f(x)  x  X ta cố: f(x) = f (xA) = f (p(x)) = f p(x),  x  X

Vậy: f = f p

f là duy nhất, vì giả sử có đồng cấu h: X/A  Y sao cho: f = hp

Khi âý  xA  X/A ta có :h(xA) = h(p(x)) =hp(x) = f(x) = f (xA) Hay f = h

ii) Giả sử  xA  X/A sao cho f (xA) = ey Ta có f (xA) = f(x) = ey  x 

A = Kerf  nên x-1  A (vì A = Kerf là nhóm con cuả X)  x-1ex  A  xA = exA

Vậy Ker f = {exA}. f là một đơn cấu ( đ/l 8)

Vì p là toàn cấu và f = f p nên  p(X) = X/Y  (im f = f (X/Y) = f (p(X)

= f p(X) = f(X)

Hệ quả:

 đồng cấu f: X  Y từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có f(X) ~ X/Kerf

Bài tập về nhà : 41,42,43,44,47 tr 75:76

CHỮA BÀI TẬP Bài 5 tr70: X là nhóm, với e là đơn vị.CMR:  a  X, a2 = e thì X là aben.

Bài giải:

X là nhóm , ta biết rằng phương trình ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X

 a, b  X, nên: X  aX, X  Xa; hiển nhiên aX  X, Xa  X Vậy aX = X = Xa.Ngược lại : theo giả thiết X  , aX = X = Xa,  a  X, nên các phương trình:

ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X,  a,b  X Do đó X là một nhóm

xiX= { xix1, xix2, ,xixn}  X, xiX gồm n phần tử phân biệt vì nếu xixk = xi xl

 xk = xl ( do có luật giản ước) mâu thuẫn với X gồm n phần tử, hiển nhiên X  xiX do vậy xiX = X Tương tự ta có: Xxi = X Khi ấy các phương trình ax = b, ya

= b luôn có nghiệm trong X  a, b  X  X là một nhóm

Nếu A  {0}   0 a  A gọi m là số nguyên  0  A sao cho : /m/ < /a/

 a  A, a  0 ( m là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất trong A)

*  mZ  A ( vì m  A, nên A chứa mọi bội của m)

* A  mZ: thật vậy:  a  A ta có: a = mq + r (1) với 0  / r / </ m/

Từ (1)  r = a – mq  A ( do a  A, mq  A)  r = 0 (vì /m/ là nhỏ nhất trong A)Hay a = mq  mZ Tóm lai A = mZ

Bài tập về nhà: 13-14-15-18-19-20-21-22-25-28-35 Tr (71:73)

Bài 13 tr 71:

X là một nhóm, A  X, B  X ta định nghĩa:

AB = { ab : a  A, b  B }

A-1 = { a-1 : a  A }CMR: a) (AB)C = A(BC)

b) (A-1)-1 = Ad) (AB)-1 = B-1A-1

e) Nếu A là một nhóm con của X, thì: A-1 = A

 : aA = A (vì:phương trình ax = b luôn có nghiệm trong A,  a,b nên  b  A 

b = ax  aA  A  aA; do a  A nên hiển nhiên aA  A), mà A là nhóm con của

X, nên aA là nhóm con của X

Nếu n  0, vì A 





X nên a-1 = x-n  A , khi ấy hoặc n,hoặc -n là một số dương.do

đó  các luỹ thừa nguyên dương của X trong A

Gọi xm là luỹ thừa nguyên dương bé nhất của x trong A

Khi đó A = < xm> thật vậy:

+ xm  A nên <xm>  A ( do A là nhóm)

+  xk  A , chia k cho m: k = mq + r, với 0  r < m ,

do đó xk = xmq + r = xmq xr  xr = (xm)-q xk  A vậy r = 0 hay: xk = (xm)q  <xm> hay: A  <xm>

Giả sử ab có cấp hữu hạn là n  (ab)n = e  (ab) (ab)(ab)… (ab) = a(ba)n-1b

= e hay: (ba)n-1 = a-1b-1 = (ba)-1  (ba)n = e  ba có cấp hữu hạn giả sử là m 

Bài 22:

X là một nhóm,  a, b  X: a có cấp r, b có cấp s và ab = ba , (r, s) = 1CMR: ab có cấp rs

Bài giải: