Hệ thống kiến thức về căn bậc hai lớp 9

Hệ thống kiến thức về căn bậc hai lớp 9 và hằng đẳng thức giúp các em củng cố kiến thức để giải các bài toán vận dụng. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.

H  TH NG KI N TH C V  CĂN B C HAI L P 9Ệ Ố Ế Ứ Ề Ậ Ớ



A ­ Căn b c haiậ

1. Đ nh nghĩa:  ị Căn b c hai c a s  a không âm là s  x sao cho x ậ ủ ố ố 2  = a.

2. Ký hi u:  ệ  a > 0:  a : Căn b c hai c a s  a ậ ủ ố

 − a : Căn b c hai âm c a s  a ậ ủ ố   a = 0:  0 0=

3. Chú ý: V i a  ớ  0:  ( a ) 2= −( a ) 2=a

4. Căn b c hai s  h c: ậ ố ọ  

 V i a  ớ  0: s   ố a  đ ượ c g i là CBHSH c a a ọ ủ

 Phép khi ph ươ ng là phép toán tìm CBHSH c a s  a không âm ủ ố

16 6 , g) 0 , 36 0 , 491.4 Trong các s  sau, s  nào có căn b c hai:ố ố ậ

1.8 Gi i các ph ng trình sau:ả ươ

a) x2 = 25 b) x2 = 30,25 c) x2 = 5

d) x2 –  3 =  2 e) x2   5 = 0 f) x2 + 5=  2

g) x2 =   3 h) 2x2+3 2=2 3 i) (x – 1)2 = 1 9

16 j) x2 = (1 –  3)2 k) x2 = 27 – 10 2 l) x2 + 2x =3 –2 3 

1.9 Gi i ph ng trình:ả ươ

a) x =  3 b) x =  5  c) x =  0 d) x =   2

1.10 Trong các s : ố ( 7) 2,  ( 7) 2,  7 2,  ( 7) 2 thì s  nào là căn b c hai s  h c c aố ậ ố ọ ủ  

49 ?

1.11 Cho hai s  d ng a và b. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ

a) N u a > b thì ế a b b) N u ế a b thì a > b

1.12 Cho s  d ng a. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ

a) N u a > 1 thìế   a > 1 b) N u a < 1 thì ế a< 1

1.13 Cho s  d ng a. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ

a) N u a > 1 thì  a > ế a b) N u a < 1 thì a < ế a

a)Đi u ki n có nghĩa c a m t s  bi u th c   ề ệ ủ ộ ố ể ứ  :

 A(x) là m t đa th c  ộ ứ  A(x) luôn có nghĩa.

 A( x )

B( x )  có nghĩa  B(x)   0

 (c ng 2 v  v i c) ộ ế ớ

 (c ng 2 v  v i – c) ộ ế ớ  (c ng 2 v  v i – b) ộ ế ớ  (c ng 2 v  v i – b) ộ ế ớ

 (n u c > 0: gi  nguyên chi u) ế ữ ề

 (n u c < 0: đ i chi u) ế ổ ề

M t s  tính ch t b t đ ng th cộ ố ấ ấ ẳ ứ

x 2

k)

x 1

3 x 4

o) x2 x 1 P) − − x 2 2x 1 −

2 a) x 2 x 5 b) x 2 + 2x 2 +

c) 2 1

1 x x

1 2

e)

15 x x

1

20 x x

1 2

3 a) x 3 x 2 9 b)

5 x

1 2 x

x 4

f) x2 4 2 x 2

4 a) ( x 1 )( x 3 ) b)

3 x 4

c) 

x 5

x

x 2

− +

2 6 11 2

h)

5 3

5 3 5 3

5 3

g)

5 5 2 6

2 6 11 2

h)

5 3

5 3 5 3

5 3

4 a) 6 2 4 2 3 b) 6 2 3 13 4 3

c) 3 48 10 7 4 3 d) 23 6 10 4 3 2 2− + −

5 a)

5 x

5

x 2

b)

2 x

2 x 2 x 2 2

1.18 Rút g n bi u th c sau ọ ể ứ (lo i b  d u căn và d u tr  tuy t đ i) ạ ỏ ấ ấ ị ệ ố :

x 5

1 x 2 x

1 x 1

x

2 2 ) (

e) E = 

3 x

9 x

1 2

2  ? b) a 2 ( b 2 b 1 ) a ( 1 b ) ?

2 n n 1 n 1

(

Vi t đ ng th c trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.ế ẳ ứ

1.27 Cho ba s  a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Ch ng minh r ng:ố ứ ằ

1 xy

1 z

1 y

1 x 1

C ­ Khai phương m t tích. Nhân các căn th c b c hai.ộ ứ ậ

D ­ Khai phương m t thộ ương. C hia các căn th c b c haiứ ậ

7 a) 0 01

9

4 5 16

2

b)

2

8 50 32

1.31 Tính:

) (  a, b > 0

e)  4 ( x 3 ) 2 v i x ớ  3 f)  9 ( x 2 ) 2v i x < 2ớ

g)  x 2 ( x 1 ) 2v i x > 0ớ h)  x 2 ( x 1 ) 2v i x < 0ớ

i)

8

x 3 3

mn

45 2

 v i m > 0, n > 0ớ d) 4666

y x 128

y x 16

 v i x < 0 và y ớ  0

e) 42

y

x y

x  v i x > 0, y ớ  0 f) 2 42

y 4

x y

2  v i y < 0ớ

g) 62

y

x 25 xy

5  v i x < 0, y > 0ớ h) 4 8

3 3

y x

16 y

x 2

0,  v i x ớ  0, y   0

i) 2 4

2

y x

3

xy  v i x < 0, y ớ  0 j)

48

3 x

27 ( ) 2  v i x > 3ớ

k) x y 2

xy y

x

) ( ) (  v i x < y, y < 0ớ

y

x x 12

2

14

4 3 2

16 8 6 3 2

2 a)

1 x 2 x

1 x 2

1 x

1 y 2 y 1 y

1 x

) (

) ( ,x 1,y 1,y>0

1.36 Rút g n r i tính giá tr  c a các bi u th c sau:ọ ồ ị ủ ể ứ

1 a) 4 ( 1 x x 2 ) 2  t i x = ạ 2

b) 9 a 2 ( b 2 4 b )  t i a = 2, b = ạ 3

2 a)

2 x

x x 8

x 3 2   t i x = ạ 2

b)

3 x

1 x x 3

2

2

4 ) (

) (  (v i x < 3) ớ t i x = 0,5ạ

1.37 So sánh hai s  sau (không dùng máy tính):ố

a) 2+ 3và  10 b) 3 + 2và  2 6

1 x

3

1 x

3 x

1 x

3 x

3 x A

3 x

3 x

a) Tìm x đ  A có nghĩa. Tìm x đ  B có nghĩa.ể ể

b) V i giá tr  nào c a x thì B cĩ nghĩa cịn A khơng cĩ nghĩa.ớ ị ủc) V i giá tr  nào c a x thì A = B.ớ ị ủ

1.43 Cho 

2

5 1 b và 2

5 1

a  Tính a2 + b2 và a5 + a5

n 2 n

1

Vi t đ ng th c trên khi n là 1; 2; 3; 4.ế ẳ ứ

1.50 Cho hai s  a ố  0, b   0. Ch ng minh:ứ

b a

1.51 Ch ng minh:ứ

a) 3 là s  vô t ố ỉ b) 5 2 và 3 +  2 đ u là s  vô t ề ố ỉ

1.52 Gi i các b t ph ng trình sau và bi u di n nghi m trên tr c s :ả ấ ươ ể ễ ệ ụ ố

E ­ Bi n đ i đ n gi n căn th c b c haiế ổ ơ ả ứ ậ

1. Đ a th a s  ra ngoài d u căn: ư ừ ố ấ

= >

A A C ( B 0;C 0 ) B.C

B C

 N u m u là m t bi u th c d ng t ng có ch a căn, nhân ế ẫ ộ ể ứ ạ ổ ứ  

t  và m u v i bi u th c liên h p c a m u: ử ẫ ớ ể ứ ợ ủ ẫ

1

d) 6 2

1

 và 

2 1 6

2 5 7

2

y x 3 y x

2 2

) (  v i x, y > 0 và x ớ  y

1.57 Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ

5,13aa75a

2

1.59 Th c hi n các phép tính sau:ự ệ

1 a)

3 4 24

6 4 2

13

b)

2 12 17

2 2 3

c)

3 3 6 3

3 12 6 9

d)

2 5

2 45

e)

2 3 5 3

2 5

f)

5 2 6

3 4 3

2 a)

2

3 2

2

35 6

2 30

15 8 C

3 a)

4 5 2

5 2 5 1 3

5

1 3

1 3 1 3 1 3

2 30

27 5 48 18

12 8

1 3 2

3 3 1 3 2

3 3

e)

1 3

2 1 3

2

f)

1 1 3

3 1

1 3 3

g)

3 2

6 1 1 2

1 2 2 1 3

4 3

) (

)

5 2

3 5 2 12 5

4 a)

7 10 32

6 7

4 11

1

b)

84 10

1 60

8

1 140

12

1

c)

21 2 10

4 10

2 7

3 5

7

2 2

6 6 2 3

2 2 3 3

6 3

12 2 6

4 1 6

15 B

1 3

2 2 3 2 3 2 3 2

5 ;

27

3

1 ) 2 (

b

1 b

b 36

a 3

;

xy

2 xy 3

2 ; 3 xy xy2

1.67 Tr c căn th c   m u c a các bi u th c sau (gi  thi t r ng các bi u th c đã choụ ứ ở ẫ ủ ể ứ ả ế ằ ể ứ  

1

;

5 2

5

;2 5

2 2

y b

y b y

b) 33 1; 32 1;

3 2

3 2

; 3 b b; 2 pp 1

c)

1 3

3

;

7 10

3

; x1 y;

b a

ab 2

d)

2

3 5

; 5 262 3;

10 4

5 10 2

;

2 2 6 3

3 2 9

e)

1 2 3

1

;

2 3 5

1.1.68 Phân tích thành nhân t :ử

1 n

1 n

Áp d ng tính:  ụ 21 1 31 2 41 3

1.72 Cho các bi u th c :ể ứ

25 24

1 4

3

1 3

2

1 2

1

1

a) Tính giá tr  c a A.ị ủ b) Ch ng minh r ng B > 8.  ứ ằ

1.73 Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ

a)

n 1 n

1 4

3

1 3

2

1 2

1

1

b) B 11 2 21 3 31 4  241 25

F ­ Rút g n bi u th c có ch a căn th c b c haiọ ể ứ ứ ứ ậ

Cho x   0, y   0. Ta có các công th c bi n đ i sau: ứ ế ổ

(

 v i x, y > 0ớ1.75 Rút g n:ọ

a  v i a > 0 và b > 0ớ

b)

81

mx4mx8m4x

x21

2  v i m > 0 và x > 1ớ1.78 Rút g n r i so sánh giá tr  c a bi u th c sau v i 1:ọ ồ ị ủ ể ứ ớ

1 a 2 a

1 a : 1 a

1 a a

1

M  v i a > 0 và a ớ  11.79 Gi i các ph ng trình sau:ả ươ

3

4x5320x

9

1x2

1525x

25

3

120x

d) 16x 16 x 9 x 4 16 x 1

2 a) 1 x2 x 1 b) x2 x 4 x 2c) x2 7 2 x d) x2 4x 3 x 2e) x2 4 2 x 0 f) x2 4x 4 2x 1g) (2x 4)(x 1) x 1 h) 2x2 x 1 x 2.

3 a) 2x 9 5 x b) x 1 x 1

e) x2 x 1 x 1 f) 2x2 3 4x 3g) x2 x 6 x 3 h) 9x2 4x 2x 3

xx

6

a 1

a 1 a a 1

a a

1 2  v i a > 0 và a ớ  1

bab2a

bab

b

a

2 2

4 2

2  v i a + b > 0 và b ớ  0

1.81 Cho bi u th c:ể ứ

x4

x522x

x22x

1xPa)Rút g n P n u x ọ ế  0 và x   4

b) Tìm x đ  P = 2. ể

1.82 Cho bi u th c:ể ứ

1a

2a2a

1a:a

11a

1Q

a)Ch ng t  r ng Q xác đ nh v i a > 0, a ứ ỏ ằ ị ớ  4 và a   1

b) Tìm giá tr  c a a đ  Q dị ủ ể ương. 

1.83 Cho bi u th c: ể ứ

6x5x

1x32x

1x3x

2xQ

a) Tìm đi u ki n xác đ nh và rút g n Q.ề ệ ị ọ

b)Tìm các giá tr  c a x đ  Q < ị ủ ể  1

c)Tìm các giá tr  c a x ị ủ  Z sao cho 2Q   Z. 

1.84 V i 3 s  a, b, c không âm. Ch ng minh:ớ ố ứ

cabcabcba

Hãy m  r ng k t qu  trên cho trở ộ ế ả ường h p 4 s , 5 s  không âm.ợ ố ố

81 49 9� � b) 3 1 214 234

16�25�81c) 640 34,3

8:5

45

43

12

32

12

1

d) 2 ( 2 3 ) 2 2 ( 3 ) 2 5 ( 1 ) 4

e) ( 2 3 ) 2 2 4 2 3

f) 15 6 6 33 12 6

g) 5 200 3 450 2 50: 10

h) 6 2 2 12 18 128

i)

26

481333

2

210

210

27

1

k)

2 3 2

2 3 2 : ) 1 6 (

5

l)

13

2:2

2102

62230102

m)

2 11 3 9

6 2 5 ) 6 20 49 )(

6 2 5 (

a) a 9 12a a2 v i a = ớ  9

2m

m3

x

yyxx

3

111x15x

1x3

2262

32

343

2262

1.98 a) Ch ng t : ứ ỏ x 4 x 4 ( x 4 2)2

b) Tìm đi u ki n xác đ nh và rút g n: ề ệ ị ọ

4 x 4 x 4 x 4 x A

1

b) B =  4x x2 21c) C = 1 9x2 x d) D =  x 2 4 x

1.101 Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ

a) A = x2 4x 2 b) B =  2x2 4x 5

c) P = 

2 1 x

3 x

d) Q = x – 2 x 2

1.102Cho bi u th c: ể ứ

2x

1x4x4

A 2  Ch ng t  ứ ỏ A  = 0,5 v i x ớ  0,5

baa

b:

ba

a1

ba

a

ab4)ba(

a) Tìm đi u ki n đ  A có nghĩa.ề ệ ể

b) Khi A có nghĩa, ch ng t  giá tr  A không ph  thu c vào a. ứ ỏ ị ụ ộ

1.105 Cho bi u th c:ể ứ

xx1

x11xx

x1

x

1x

1x3:x9

9xx3

3 x

xx6

a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a C.ề ệ ị ủ

b) Rút g n B.ọ

c) Tìm giá tr  l n nh t c a C. ị ớ ấ ủ

1.110Cho bi u th c: ể ứ

1 x

x x x 1 x

1 x

1 x

x21

x

1:1x

x1

aa

3:a1a1

3B

2 a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a B.ề ệ ị ủ

b) Rút g n B.ọ

c) Tính giá tr  c a B khi ị ủ

32

b:

1ba

ab

aa

a) Rút g n M.ọ

b) Tìm giá tr  c a M n u ị ủ ế

2

3ba

c) Tìm đi u ki n c a a, b đ  M < 1.ề ệ ủ ể  

1.115Cho bi u th c: ể ứ

2

x11x2x

2x1

x

2xP

2.a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a P.ề ệ ị ủ

1x22x

3x6x5x

9x2

xyy

x:xy

yxyx

yxQ

2 3

3

.a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a Q.ề ệ ị ủ b) Rút g n Q.ọ

c) So sánh Q v i ớ Q     d) Ch ng minh  Q ứ  0. 

1.118Cho bi u th c: ể ứ

x1

2x2x

1x2

xx

3x9x

a) Tìm ĐKXĐ và rút g n M ọ b) Tìm x   Z sao cho M   Z. 

1.119Cho bi u th c: ể ứ

x3

3x2x1

2x33x2x

11x15

a) Tìm đi u ki n xác đ nh c a Pề ệ ị ủ b) Rút g n P.ọ

3x22x

3x6xx

x9:19x

x3x

a) Tìm ĐKXĐ và rút g n Q ọ b) Tìm x đ  Q < 1. ể

1.121Cho bi u th c: ể ứ

1 x x

2 1

x x

3 1

xx1xx

xxN

2 2

. Hãy rút g n A = 1 – ọ N x 1. 

169

256

225

256

289

324

361

400

1.2 Tìm căn b c hai s  h c r i suy ra căn b c hai c a các s  sau:ậ ố ọ ồ ậ ủ ốa) 121 b) 144 c) 169 d) 225

p) 37 14 và 6– 15  q) 17 26 1 và  99

Hướng d n gi i:ẫ ả

a) 1 và  2

a) x2 = 25 b) x2 = 30,25 c) x2 = 5

d) x2 –  3 =  2 e) x2   5 = 0 f) x2 + 5=  2g) x2 =   3 h) 2x2+3 2=2 3 i) (x – 1)2 = 1 9

16 j) x2 = (1 –  3)2 k) x2 = 27 – 10 2 l) x2 + 2x =3 –2 3 

Căn b c hai s  h c c a 49 = ậ ố ọ ủ ( 7) 2

1.11 Cho hai s  d ng a và b. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ

a) N u a > b thì ế a b b) N u ế a b thì a > b

x 2

k)

x 1

3 x 4

x x

x x

33

3 0

x x

x

> −

�

++

m)Bi u th c đã cho có nghĩa khiể ứ 4 +x2 ��� 0 x R

n) Bi u th c đã cho có nghĩa khiể ứ − 3x2 �� 0 x= 0

1 2

e)

15 x

1 2

1 2 x

3 0

x x

x x

Gi i ả

2 6 11

2

h)

5 3

5 3 5 3

5 3

5 5 2

6

2 6 11

5 3

5 3 5 3 5 3

( ) ( ) ( ( ) )

x 2

b)

2 x

2 x 2 x 2 2

2 2

x 5

1 x 2 x

1 x 1

x

2 2 ) (

e) E = 

3 x

9 x

55

1

2 11

11