Nghiên cứu trình bày xuất phát từ những vấn đề đơn giản, dễ hiểu, những khái niệm mới sẽ được định nghĩa luôn trong bài để có thể đọc tương đối độc lập. Và mỗi một chuỗi bài sẽ nêu ra những vấn đề nhất định, có thể là giải quyết một bài toán kinh điển hay nêu ra những giả thuyết mới, những vấn đề mới.
Tạp chí online cộng đồng người u Tốn CÁC VẤN ĐỀ CỔ ĐIỂN VÀ HIỆN ĐẠI Trần Nam Dũng (ĐHKHTN, ĐHQG Tp HCM) Chuyên mục dành cho vấn đề cổ điển đại trình bày dạng tốn xâu chuỗi Đó chuỗi để giải toán đẳng chu, chứng minh đẳng thức Euler kỳ hiệu + 212 + 312 + · · · = π6 , chuỗi toán vận trù Cách trình bày xuất phát từ vấn đề đơn giản, dễ hiểu, khái niệm định nghĩa ln để đọc tương đối độc lập Và chuỗi nêu vấn đề định, giải toán kinh điển hay nêu giả thuyết mới, vấn đề Phương trình Diophant Đề toán đề nghị cho Hội nghị mùa hè thi toán thành phố năm 2013, đề xuất S.Grigoriev, K.Kuyumzhiyan, A.Petukhov, A.Semchenkov Định lý (Gauss) Một số nguyên dương biểu diễn dạng tổng ba bình phương có khơng có dạng 4n (8m − 1) Bài tốn Chứng minh phương trình 2x2 + 2xy − y2 = 1, x2 − xy + y2 = khơng có nghiệm ngun Bài tốn Chứng minh phương trình: x2 + 1000xy + 1000y2 = 2001 có vơ số nghiệm ngun 139 (1) (2) Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Bài tốn Chứng minh phương trình: x2 − 2y2 = 1, x2 − 3y2 = 1, x2 − 6y2 = (1) (2) (3) có vơ số nghiệm nguyên Bài toán Cố định số nguyên tố lẻ p Chứng minh phương trình x2 − py2 = −1 có nghiệm nguyên p có số dư chia cho Bài toán Chứng minh với m, số nghiệm phương trình sau nhau: x2 − xy + y2 = m, 3x2 + 9xy + 7y2 = m (1) (2) Bài toán Chứng minh với n ∈ Z, phương trình: x2 + y2 = n có nghiệm nguyên có nghiệm hữu tỷ Bài tốn Hãy nêu ví dụ phương trình bậc hai với hệ số ngun, có nghiệm hữu tỷ khơng có nghiệm ngun Bài tốn Chứng minh với số nguyên dương a, b, tồn vô số số tự nhiên m cho phương trình ax2 + by2 = m khơng có nghiệm ngun Bài tốn Chứng minh với số nguyên m phương trình x2 + 2y2 − 3z2 = m khơng có nghiệm ngun Các dạng toàn phương Một đa thức bậc hai n biến số gọi dạng toàn phương Theo định nghĩa, dạng toàn phương f đại diện số m phương trình f = m có nghiệm nghun khác (tức nghiệm mà khơng phải tất biến 0, lưu ý, dạng toàn phương đại diện 0) Hai dạng toàn phương gọi tương đương chúng đại diện tập hợp số 140 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Bài toán 10 Hãy mô tả tất số nguyên, đại diện dạng x2 + y2 , x2 − y2 x2 + xy + y2 Bài tốn 11 Chứng minh dạng tồn phương: f(x, y), f(x−y, y), f(x, y−x), f(−x, y), f(x, −y) đôi tương đương Bài toán 12 d 1) Chứng minh dạng toàn phương x2 + y2 , x2 + xy + y2 không tương đương 2) Chứng minh dạng toàn phương 4x2 − 6xy + 5y2 khơng tương đương với dạng tồn phương ax2 + by2 với số nguyên a b Định nghĩa Dạng toàn phương gọi là: 1) Xác định dương đại diện cho số dương 2) Xác định khơng âm đại diện cho số 3) Xác định âm đại diện cho số âm 4) Không xác định đại diện số dương lẫn số âm Bài tốn 13 Hãy nêu ví dụ dạng xác định không âm mà xác định dương Số học mở rộng: số p-adic Định lý (Legendre) Mọi số nguyên dương biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên Bài toán 14 Cho m n số nguyên khơng phương Nếu phương trình: z2 − mx2 − ny2 = (1) có nghiệm hữu tỷ khác điều kiện sau thỏa mãn: 1) Ít hai số m, n dương 2) m thặng dư bình phương theo modulo n 3) n thặng dư bình phương theo modulo m 141 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Bài toán 15 Hãy đưa định lý tổng quát dạng tồn phương hai biến lời giải phương trình dạng (1) Định nghĩa Biểu thức dạng: a−k p−k + a−k+1 p−k+1 + · · · + an pn + · · · (k số nguyên bất kỳ, ∈ Z) gọi số p-adic Nếu k ta gọi (2) số nguyên p-adic (2) 0, Bài tốn 16 Chứng minh phương trình với hệ số nguyên f = có nghiệm Zp có nghiệm hệ thặng dư modulo pn với n ∈ Z Bài toán 17 Khi số p-adic dạng (2) 0? Bài tốn 18 Chứng minh tích hai số p-adic khác khơng Bài tốn 19 Chứng minh Q ⊂ Qp với số nguyên tố p (chứng minh với cặp số nguyên (m, n) khác 0, tồn số p-adic x cho nx = m) Bài toán 20 Chứng minh −1 số phương tập hợp số p-adic p đồng dư theo modulo Bài tốn 21 Hãy mơ tả số p-adic số phương Bài tốn 22 Chứng minh số 3-adic khác có dạng x2 , hay 2x2 , hay 3x2 , hay 6x2 với số 3-adic x Bài tốn 23 Cho p số nguyên tố lẻ, x1 , , x5 số p-adic khác Chứng minh xxij số phương tập số p-adic với i, j (1 i < j 5) Bài toán 24 Chứng minh với số nguyên tố lẻ p tồn số p-adic khác x1 , x2 , x3 , , xp−1 cho: x21 + x22 + · · · + x2p−1 + = Bài toán 25 Chứng minh phương trình x2 + x + = có hai nghiệm tập số ngun 7-adic Bài tốn 26 Chứng minh phương trình x2 + y2 = −1 có nghiệm số p-adic với số nguyên tố lẻ p 142 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Định lý (Nguyên lý Minkowsky-Hasse) Phương trình bậc hai f = số biến có nghiệm hữu tỷ đồng thời có nghiệm trong: • Tập hợp số thực • Tập hợp số p-adic (:= Qp ) với số nguyên tố p Bài toán 27 Chứng minh nguyên lý Minkowsky-Hasse cho phương trình ẩn số Định nghĩa Đặt (a, b)p = 1, z2 − ax2 − by2 = có nghiệm padic, đặt (a, b)p = −1 trường hợp ngược lại Giá trị (a, b)p gọi ký hiệu Hilbert cặp (a, b) số nguyên tố p Bài toán 28 Chứng minh với ký hiệu Hilbert, ta có: 1) (a, b)p = (b, a)p 2) (a, c2 )p = 1, 3) (a, −a)p = 1, (a, − a)p = 4) (a, b)p = (a, −ab)p = a, (1 − a)b p Bài toán 29 Giả sử (a, b)p = Chứng minh với a , ta có (a , b)p = (aa , b)p Định nghĩa Để viết gọn công thức tường minh cho ký hiệu Hilbert, ta cần đến ký hiệu Legendre ( px ) xác định với số nguyên x số nguyên tố p Nó 1, −1 hay tùy thuộc vào x có phải thặng dư bình phương, khơng thặng dư bình phương hay theo môđun p Với số nguyên tố lẻ p, ký hiệu Legendre p−1 tính theo cơng thức px = x (mod p) Bài toán 30 Cho p số nguyên tố lẻ, a = pα u, b = pβ v, α, β, u, v số nguyên cho u v nguyên tố với p Chứng minh (a, b)p = (−1) αβ(p−1) u p β v p α Bài tốn 31 Tìm cơng thức tường minh cho (a, b)2 với cặp số nguyên a, b 143 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Bài toán 32 Chứng minh (a, b)p · (a, b )p = (a, bb )p với số nguyên a, b, b Bài toán 33 Chứng minh phương trình ax2 + by2 = c (a, b, c tham số, x, y ẩn số) có nghiệm tập hợp số p-adic (c, −ab)p = (a, b)p Bài toán 34 Cố định đa thức nhất: f = a1 x21 + a2 x22 + · · · + an x2n (n 2), a1 , , an = Đặt d = a1 a2 · · · an (3) (ai , aj )p ε= i (điều có nghĩa f phụ thuộc vào hay nhiều biến số phương trình f = a có nghiệm khác Qp với p) Bài toán 36 Chứng minh nguyên lý Minkowsky-Hasse Bài toán 37 Sử dụng toán 35 nguyên lý MinkowskyHasse, chứng minh số nguyên n biểu diễn dạng tổng bình phương ba số hữu tỷ khơng có dạng 4a (8b − 1), tức −n khơng phải số phương Q2 Bài toán 38 Cố định số nguyên n Chứng minh tồn số hữu tỷ x, y, z cho x2 + y2 + z2 = n, tồn số nguyên x , y , z cho (x )2 + (y )2 + (z )2 = n Từ suy kết luận định lý Gauss Bài toán 39 Từ định lý Gauss suy định lý Legendre 145 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán d 146 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn BÀI TOÁN CHUYẾN XE BUS Lê Tạ Đăng Khoa (Đại học FPT, Tp HCM) Mở đầu Xe buýt phương tiện giao thông huyết mạch thành phố, xấp xỉ lên đến 33 nghìn chuyến ngày Vì vậy, lập tuyến xe buýt tối ưu tuyến xe buýt cũ ưu tiên hàng đầu thành phố Mỗi tuyến xe buýt thường biểu diễn đoạn thẳng có độ dài cố định số trạm xe buýt nằm hai đầu mút Người dân muốn trạm nằm để tối ưu thời gian di chuyển họ Vì vậy, đối tượng cần tối ưu thời gian di chuyển trung bình tất người dân Mơ hình Chúng ta xét mơ hình sau: Giả sử có đường dài L km Dân số phân bố suốt đường Chúng ta cần tìm số trạm xe buýt vị trí tối ưu chúng để giảm thiểu thời gian di chuyển trung bình mà hành khách phải bỏ ra, để từ điểm đường đến điểm khác Để từ P đến Q, hành khách phải đến trạm xe buýt gần P nhất, sau lên xe dừng lại trạm xe buýt gần Q nhất, đến Q Nếu có hai trạm xe buýt cách P khoảng nhau, hành khách chọn trạm để giảm thiểu số trạm phải (tương tự có hai trạm cách Q khoảng nhau) Tốc độ W km/h, tốc độ xe buýt B km/h, xe buýt phải dành khoảng S để nhận thêm bỏ 147 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán hành khách trạm Chúng ta ký hiệu T (P, Q) thời gian mà hành khách phải bỏ để từ P đến Q Chẳng hạn ta xét đồ sau với độ dài quãng đường L = 20 km: Có trạm xe buýt vị trí ngẫu nhiên đồ, ta tính thời gian di chuyển vị trí này: Để từ P đến R, hành khách cần km đến trạm 2, sau qua trạm với độ dài 14 km xuống trạm 4, km đến R Tổng thời gian là: T (P, R) = 14 14 + + 2S + = + + 2S W B W W B Tương tự, để từ Q đến R, ta cần thời gian: T (Q, R) = T (P, R) + 14 = + + 2S W W B Để từ P đến Q, hành khách km đến trạm 2, xe buýt km đến trạm (nghĩa khơng làm cả), km đến Q Tổng thời gian là: T (P, Q) = + + 0S + = W B W W (Trường hợp dùng để minh họa thuật Tốn đi, khơng có ý nghĩa thực tế.) Chúng ta thống vài điều kiện ký hiệu: • Ln có trạm xe bt đầu mút đoạn đường • Giả sử vị trí trạm = x1 < · · · < xn−1 < xn = L, ta biểu diễn tuyến xe buýt A qua xếp trạm A = (x1 , x2 , , xn−1 , xn ) 148 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn • Tuyến xe buýt A biểu diễn thông qua A = (d1 , d2 , , dn−1 , dn ), với di = xi − xi−1 i = 1, 2, , n • Ký hiệu E (A) thời gian trung bình để từ điểm đến điểm khác tuyến xe buýt A, xếp trạm tuyến cố định Câu hỏi Bài toán d 1) Cố định n bỏ qua thời gian đón thả hành khách trạm Chứng minh xếp tối ưu xảy trạm xe buýt cách Nghĩa E(A) đạt giá trị tối thiểu d1 = d2 = = dn−1 = dn 2) Xét trường hợp L = 20, W = 5, B = 20, S = 0.05 Tìm giá trị n để tối ưu hóa E(A), biết A có n + trạm xe buýt cách (Do S khác nên không đảm bảo cách xếp tối ưu với giá trị n bất kỳ.) Bài toán Mơ hình cịn nhiều khuyết điểm: 1) Hành khách hồn tồn trực tiếp điểm đến gần 2) Hành khách thường xuyên đến số nơi siêu thị, quan, nhà riêng, v.v số điểm trung gian khác 3) Dân số phân bố chưa hẳn đồng toàn tuyến Dựa câu 1.1) 1.2), đưa mơ hình giải ba vấn đề Để đơn giản, bạn giả sử tuyến xe buýt đường thẳng 149 ... Dạng toàn phương gọi là: 1) Xác định dương đại diện cho số dương 2) Xác định khơng âm đại diện cho số 3) Xác định âm đại diện cho số âm 4) Khơng xác định đại diện số dương lẫn số âm Bài tốn 13 Hãy... phải dạng tồn phương đại diện 0) Hai dạng toàn phương gọi tương đương chúng đại diện tập hợp số 140 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Bài tốn 10 Hãy mơ tả tất số ngun, đại diện dạng x2 + y2... trình x2 + 2y2 − 3z2 = m khơng có nghiệm ngun Các dạng toàn phương Một đa thức bậc hai n biến số gọi dạng toàn phương Theo định nghĩa, dạng toàn phương f đại diện số m phương trình f = m có nghiệm