Phương trình lượng giác nâng cao ôn thi đại học

Phương trình lượng giác nâng cao ôn thi đại học

Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn MỤC LỤC Trang Cơng thức lượng giác cần nắm vững A – Phương trình lượng giác Bài tập áp dụng Hướng dẫn giải tập áp dụng - Bài tập rèn luyện - 29 B – Phương trình bậc hai bậc cao hàm lượng giác 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 35 Bài tập rèn luyện - 56 C – Phương trình bậc theo sin cos 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 62 Bài tập rèn luyện - 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp - 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 87 Bài tập rèn luyện - 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng - 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện - 96 F – Phương trình lượng giác chứa thức trị tuyệt đối - 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện - 99 G – Phương trình lượng giác khơng mẫu mực - 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện - 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương - 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện - 112 I – Hệ phương trình lượng giác - 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng tam giác – Nhận dạng tam giác - 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện - 125 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com -1- Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG Công thức ● sin2 x + cos2 x = ● cot x = ● tan x.cot x = cos x sin x ● + tan2 x = ● tan x = cos2 x sin x cos x ● + cot2 x = sin2 x Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba   cos x − sin x ● cos 2x =  2 2 cos x − = − sin x ● sin 2x = sin x.cos x − cos2x ● sin 3x = sin x − sin x ● sin2 x = + cos2x ● cos 3x = cos x − cos x ● cos2 x = Công thức cộng cung ● sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b tan a + tan b − tan a tan b  + tan x  + x =  − tan x   ● tan (a + b) = π ● tan   4  ● cos (a ± b) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b tan a − tan b + tan a tan b π  − tan x  ● tan  − x =   + tan x 4    ● tan (a − b) = Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b ● sin a + sin b = sin cos 2 sin (a + b) ● tan a + tan b = cos a.cos b ● cos a + cos b = cos a+b a−b sin 2 a+b a−b ● sin a − sin b = cos sin 2 sin (a − b) ● tan a − tan b = cos a.cos b ● cos a − cos b = −2 sin Cơng thức biến đổi tích thành tổng ● cos a.cos b = ● sin a.sin b = cos (a + b) + cos (a − b) cos (a − b) − cos (a + b) ● sin a.cos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2 Một số công thức thông dụng khác     π π π π       ● sinx + cos x = sinx +  = cos x −  ● sinx − cos x = sinx −  = cosx +            4 4 4 4         + cos 4x ● cos4 x + sin4 x = − sin2 2x = -2- + cos 4x ● cos6 x + sin6 x = − sin2 2x = www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Để giải phương trình lượng giác ứng dụng nó, bạn học sinh cần nắm vững tất cơng thức lượng giác Đó hành trang, công cụ cần thiết để chinh phục giới mang tên: "Phương trình lượng giác" Một số lưu ý:  sin x = α Điều kiện có nghiệm phương trình  là: −1 ≤ α ≤  cos x = α Khi giải phương trình có chứa hàm số tan cot , có mẫu số bậc chẵn thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định π  Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ (k ∈ ℤ)  Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (k ∈ ℤ) π (k ∈ ℤ ) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Nếu vào, giá trị làm đẳng thức nhận nghiệm, sai loại nghiệm  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa biểu diễn cung điều kiện cung nghiệm Nếu cung trùng ta loại nghiệm, khơng trùng ta nhận nghiệm  Phương trình chứa tan x cot x , điều kiện: x ≠ k Cách biểu diễn cung – góc lượng giác đường trịn: " Nếu cung góc lượng giác AM có 0 k2π  hay a + k.360  với k ∈ ℤ, n ∈ ℕ + có n điểm M đường trịn  số đo α +     n  n   lượng giác cách nhau" π π Ví dụ 1: Nếu sđ AM = + k2π có điểm M vị trí (ta chọn k = ) 3 π π 7π Ví dụ 2: Nếu sđ AM = + kπ có điểm M vị trí (ta chọn k = 0, k = ) 6 π 2π π 11π 19π Ví dụ 3: Nếu sđ AM = + k có điểm M vị trí ; , (k = 0;1;2) 4 12 12 π π π k2π π 3π 5π 7π Ví dụ 4: Nếu sđ AM = + k = + có điểm M vị trí , , ; 4 4 4 (ứng với vị trí k = 0,1,2, ) Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = − Biểu diễn cung x = − Biểu diễn cung x = “Cần cù bù thông minh…………” π π + kπ x = + kπ π π 5π + kπ đường trịn có điểm vị trí: − 6 π + kπ đường trịn có www.DeThiThuDaiHoc.com -3- Ths Lê Văn Đồn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) π 4π 3 π/3 Tổng hợp hai cung gồm điểm hình vẽ 5π/6 π π cung tổng hợp là: x = + k O    cos x =  cos x = ± –π/6  ⇔  ta không nên giải Đối với phương trình   sin2 x =  sin x = ± 4π/3   2   trực tiếp có tới nghiệm, kết hợp so sánh với điều kiện phức tạp, ta nên hạ bậc tối ưu Nghĩa là:   cos x = 2 cos2 x − =  cos 2x =   2⇔  2 sin2 x − = ⇔  cos 2x = Tương tự phương trình     sin x =   sin2 x =  sin x = ±1    cos2 x = ⇔  cos x = ±1 ta không nên giải thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức   sin2 x =  cos2 x =  cos x = 2  sin x + cos x = Lúc đó:  ⇔  ⇔  cos x =  sin x =  sin x = Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' điểm vị trí:  Đây xem câu thần ''đơn giản, dễ nhớ'' lượng giác lại đóng vai trò nhân tố cần thiết, hiệu giải phương trình lượng giác  Cos đối, nghĩa cos hai góc đối nhau, tức cos (−α ) = cos α , cịn cung góc lượng giác cịn lại '' – '' nó: sin (−α ) = − sin α, tan (−α ) = − tan α, cot (−α ) = − tan α  Sin bù, nghĩa sin hai góc bù nhau, tức sin (π − α ) = sin α , cịn cung góc lượng giác cịn lại '' – '' nó: cos (π − α ) = − cos α, tan (π − α ) = − tan α, cot (π − α ) = − tan α  Phụ chéo, nghĩa với hai góc phụ (có tổng 900) sin góc cos góc ngược lại, tức là: π  π  π  π      sin  − α  = cos α, cos  − α  = sin α, tan  − α  = cot α, cot  − α  = tan α         2          2  2  2   Ta thử đến với ví dụ nhỏ sau để thấy hiệu '' câu thần '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u = cos v Rõ ràng, phần phương trình lượng giác bản, ta biết cách giải cho phương trình sin u = sin v , cịn phương trình sin u = cos v ? π   Câu trả lời phụ chéo, bởi: sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v   2    u= π π − v + k2π ∨ u = + v + k2π , (k ∈ ℤ) 2  2π   Qua ví dụ này, hẳn gặp phương trình dạng sin x = cos  − x   3    -4- www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com bạn học sinh khơng cịn cảm thấy lúng túng  Một số cung góc hay dùng khác:      sin (x + k2π) = sin x  sin (x + π + k2π) = − sin x   cos (x + k2π) = cos x cos (x + π + k2π) = − cos x       (k ∈ ℤ ) A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  u = v + k2π Dạng: sin u = sin v ⇔  u = π − v + k2π Đặc biệt:  u = v + k2π Dạng: cos u = cos v ⇔   u = −v + k2π Đặc biệt: tan u = tan v ⇔ u = v + kπ Dạng: π Ðk : u, v ≠ + kπ Đặc biệt: Dạng: cot u = cot v ⇔ u = v + kπ Ðk : u, v ≠ kπ Đặc biệt:   sin x = ⇒ x = kπ     sin x = ⇒ x = π + k2π     sin x = −1 ⇒ x = − π + k2π       cos x = ⇒ x = π + kπ    cos x = ⇒ x = k2π   cos x = −1 ⇒ x = π + k2π       tan x = ⇔ x = kπ     π  tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ     cot x = ⇔ x = π + kπ      cot x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ     BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (∗) , ∀x ∈ 0;14 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x (∗) Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − = (∗) Giải phương trình: sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = (∗) Giải phương trình: sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x (∗) Bài Giải phương trình: Bài Bài Bài Bài Bài Giải phương trình: cos 3x − cos 2x + cos x − =  7π     = sin  − x (∗) 4   3π     sin x −      2     π π      Giải phương trình: sin x + cos x = cot x +  cot  − x   6  3     + sin x “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) -5- Ths Lê Văn Đoàn Bài Bài Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com sin 2x + cos4 2x Giải phương trình: = cos4 4x π  π    tan  − x tan  + x     4      4   3π x  π  3x    Giải phương trình: sin  −  = sin  +       2  10   10  (1)   π π   Bài 10 Giải phương trình: sin 3x −  = sin 2x sin x +        4 4      π  Bài 11 cos3 x +  = cos 3x    3   (∗) (1) (1)  π  sin x +  = sin x (1)    4    π  Bài 13 Giải phương trình: sin x −  = sin x (1)    4   Bài 12 Giải phương trình: (∗) Bài 14 Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 2 Bài 16 Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = Bài 15 Giải phương trình: sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = (∗) (∗) Bài 17 Giải phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x Bài 18 Giải phương trình: sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (∗) (∗)  π 5x  9x  Bài 19 Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin  +  − cos2   4  2  Bài 20 Giải phương trình: sin2 x = cos2 2x + cos2 3x (∗) (∗) Bài 21 Giải phương trình: sin2 2x + sin 7x − = sin x (∗) Bài 22 Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = + cos x + cos 2x (∗) (∗) Bài 23 Giải phương trình: sin x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 4x Bài 24 Giải phương trình: cos10x + cos2 4x + cos 3x cos x = cos x + cos x cos3 3x (∗) Bài 25 Giải phương trình: sin x + cos3 x − sin x − sin2 x cos x = (∗) Bài 26 Giải phương trình: (2 sin x + 1)(3 cos 4x + sin x − 4) + cos2 x = ( Bài 27 Giải phương trình: sin x + cos6 x = sin x + cos x ( x = (sin ) (∗) ) Bài 28 Giải phương trình: sin x + cos8 x = sin10 x + cos10 x + Bài 29 Giải phương trình: sin x + cos3 x + cos5 x ) Bài 30 Giải phương trình: cos4 x − cos2 x sin2 x + sin x = Bài 31 Giải phương trình: cos 3x cos x − sin 3x sin x = -6- (∗) 2−3 cos 2x (∗) (∗) (∗) (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com (∗) 16 Bài 33 Giải phương trình: sin 3x cos 2x = + sin x − sin x Bài 32 Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x = (∗) Bài 34 Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = − (∗) sin 2x + cos x − sin x − = (∗) tan x + + sin 2x + cos 2x Bài 36 Giải phương trình: = sin x sin 2x (∗) + cot2 x Bài 37 Giải phương trình: tan x + cot x = (sin 2x + cos 2x ) (∗) Bài 35 Giải phương trình: (∗) Bài 38 Giải phương trình: tan2 x − tan x tan 3x = Bài 39 Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + cot2 2x = 11 (∗)  x π x  Bài 40 Giải phương trình: sin2  −  tan2 x − cos2 =  2 4    Bài 41 Giải phương trình: sin 2x (cot x + tan 2x ) = cos2 x (∗) (∗) cot2 x − tan2 x Bài 42 Giải phương trình: = 16 (1 + cos 4x ) (∗) cos 2x Bài 43 Giải phương trình: tan x + cot2x = sin 2x + (∗) sin 2x (sin x + tan x ) Bài 44 Giải phương trình: − (1 + cos x ) = (∗) tan x − sin x Bài 45 Giải phương trình: (1 − cos x) + (1 + cos x) (1 − sin x ) Bài 46 Giải phương trình: cos 3x tan 5x = sin 7x − tan2 x sin x = (1 + sin x ) + tan2 x (∗) (∗) 1 − = cot x (∗) sin x sin 2x sin x + cos4 x Bài 48 Giải phương trình: = (tan x + cot2x ) (∗) sin 2x Bài 49 Giải phương trình: tan2 x.cot2 2x.cot 3x = tan2 x − cot2 2x + cot 3x Bài 47 Giải phương trình: sin 2x + sin x −  x  Bài 50 Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan  =     2  “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) (∗) -7- Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài Giải phương trình: cos 3x − cos 2x + cos x − = (∗) , ∀x ∈ 0;14 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Lời bình: Từ việc xuất ba cung x,2x, 3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng cung Nhưng đưa cung x hay cung 2x ? Các bạn trả lời câu hỏi dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn ba cung x,2x, 3x , ta nên đưa cung trung gian 2x biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x) Cịn khơng chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa cung x " Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (4 cos ) ( ) x − cos x − cos2 x − + cos x − = ⇔ cos3 x − cos2 x =  cos x = (N) π ⇔ cos2 x (cos x − 2) = ⇔  ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) cos x = (L )  −0, ≤ k ≤≈ 3,  π 3π 5π 7π     π Do x ∈  0;14 , k ∈ ℤ ⇔ ≤ + kπ ≤ 14 ⇔  ⇒ x ∈  ; ; ;     k ∈ ℤ      2 2   Bài Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin x cos x − sin x ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) − sin x (2 cos x − 1) = ⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x ) − sin x  = ⇔ (2 cos x − 1)(sin x + cos x ) =   2 cos x − = ⇔  ⇔  sin x + cos x =   π  x = ± π + k2π  cos x = cos   (k; l ∈ ℤ) ⇔  π  x = − + lπ  tan x = −1   Bài Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − = (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Lời bình: Từ việc xuất cung 3x 2x , nghĩ đến việc đưa chúng cung x công thức nhân ba công thức nhân đôi hàm cos Bài giải tham khảo (∗) ⇔ cos x − cos x + cos2 x − − cos x − = ⇔ cos3 x + cos2 x − cos x − = ( ) ⇔ cos2 x (2 cos x + 1) − (2 cos x + 1) = ⇔ (2 cos x + 1) cos2 x − = -8- www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com    sin x =  x = kπ ⇔ −(2 cos x + 1) sin x = ⇔  ⇔ (k;l ∈ ℤ)  cos x = −  x = ± 2π + l2π   (∗) Bài Giải phương trình: sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (sin x + cos x) + sin x cos x + cos x = ⇔ (sin x + cos x ) + cos x (sin x + cos x ) = ⇔ (sin x + cos x )(1 + cos x ) =  sin x = − cos x  tan x = −1  x = − π + kπ    ⇔ ⇔ (k; l ∈ ℤ) 2π ⇔  cos x = −  cos x = cos 2π x = ± + l2π    3  Bài Giải phương trình: sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008 Lời bình: Từ việc xuất cung 2x cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x cung x công thức nhân đôi hàm sin cos, từ xuất nhân tử chung hai vế (∗) ⇔ sin x (1 + cos ) x − + sin x cos x = + cos x ⇔ sin x cos2 x + sin x cos x = + cos x ⇔ sin x cos x (cos x + 1) − (1 + cos x ) =    x = ± 2π + k2π  cos x = −  ⇔ (cos x + 1)(sin 2x − 1) = ⇔  (k, l ∈ ℤ) 2⇔   x = π + lπ sin 2x =    Bài Giải phương trình: + sin x  7π     = sin  − x 4   3π     sin x −      2  (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 3π 7π − x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác cung chung x Để làm điều đó, ta dùng cơng thức cộng cung dùng câu thần "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta thực hai ý tưởng qua hai cách giải sau Lời bình: Từ việc xuất hai cung x − Bài giải tham khảo Cách giải Sử dụng công thức cộng cung: sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com -9- Ths Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ sin x + Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com  7π 7π    = sin cos x − sin x cos    4   3π 3π − sin cos x 2   1 − sin x + cos x  ⇔ + =  ( ) sin x cos x   sin x + cos x ⇔ = −2 (sin x + cos x ) sin x cos x sin x cos Điều kiện: sin x cos x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ( ) ⇔ (sin x + cos x ) + 2 sin x cos x (sin x + cos x ) = ⇔ (sin x + cos x ) + sin 2x =   x = − π + kπ   tan x = −1  sin x + cos x =   π ⇔  ⇔ ⇔  x = − + lπ (k, l, m ∈ ℤ )  sin 2x = − 1 + sin 2x =    5π  + mπ x =  Cách giải Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''        3π  π   sin x −  = sin −2π − − x = cos x        2         Ta có:         7π sin  − x = sin 2π − x + π  = − sin x + π  = − sin x + cos x         ( )   4        4             1 (∗) ⇔ sin x + cos x = − (sin x + cos x) Giải tương tự cách giải     π π    cot x +  cot  − x (∗)       3 6    Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999 Bài Giải phương trình: sin x + cos4 x = π π π + − x = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy: π π        π π π π π            cot x +  cot  − x = cot x +  cot  −  + x = cot x +  tan x +  =                 3 6 3 3 3           Cơng việc cịn lại dùng công thức: sin x + cos4 x = − sin2 2x Nếu cos khơng có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan cot = , qui đồng tốn sin trở nên phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện Lời bình: Từ tổng hai cung x + Bài giải tham khảo      sin x + π  ≠              3 π π π π             ĐK:  ⇔ sin x +  sin  − x ≠ ⇔ cos 2x −  ≠ ⇔ cos 2x −  ≠          π 3 6 6 6     ≠0 sin  − x     6       - 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com   sin x − sin 2y =   Bài 413 Giải hệ phương trình:    cos x + cos 2y =       tan x + tan y =   Bài 414 Giải hệ phương trình:    cot x + cot y = −     Bài 415 Giải hệ phương trình: Bài 416 Giải hệ phương trình: Bài 417 Giải hệ phương trình: Bài 418 Giải hệ phương trình: Bài 419 Giải hệ phương trình: Bài 420 Giải hệ phương trình: Bài 421 Giải hệ phương trình: Bài 422 Giải hệ phương trình: Bài 423 Giải hệ phương trình: Bài 424 Giải hệ phương trình: - 118 - Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) (1) (2)   sin x + cos y = sin y − cos y     2 sin 2x = + sin 2y        cos x = + cos y    sin x = sin y    sin x − cos y =    5 sin y − cos x =   tan x + sin y = sin 2x    2 sin y cos (x − y ) = sin x     sin x = sin 2y     x ∈  0; π , y ∈ − π ; π      4      cos x = cos y      sin (πx ).cos (πy) =    3 tan πx = tan πy  ( ) ( )  0 < x + y <      cos x − cos 2y = x − 2y (1)     (2) tan x = tan y        tan x + cot x = sin y + π       4        π    tan y + cot y = sin x −    4      sin x + sin y = sin (x + y )     x + y =1     sin x cos y sin (x + y) + =   x = y + z     (1) (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Bài 425 Giải hệ phương trình: Bài 426 Giải hệ phương trình: Bài 427 Giải hệ phương trình: Bài 428 Giải hệ phương trình: Bài 429 Giải hệ phương trình: Bài 430 Giải hệ phương trình: Bài 431 Giải hệ phương trình: Bài 432 Giải hệ phương trình: Bài 433 Giải hệ phương trình: Bài 434 Giải hệ phương trình: Bài 435 Giải hệ phương trình: Bài 436 Giải hệ phương trình: Bài 437 Giải hệ phương trình: “Cần cù bù thơng minh…………” www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn   sin x − sin x cos 2y = cos x + y + cos x − y −   2  cos x + cos y − sin2 2y =     cot x − cot y = x − y   5x + 8y = 2π   0 < x, y < π      cos (x + y) = cos (x − y)   cos x cos y =         tan x + cot x = sin y − 3π        4        tan y + cot y = sin x + π        4        x−y sin x e =   sin y   10 x + = y +         x, y ∈ π; 5π       4     sin x + sin y =    sin x + sin2 y =    tan x + tan y + tan x tan y =    3 sin 2y − = cos 4x     sin x sin y = −     cos x cos y =       sin x = cos x cos y  cos x = sin x sin y      sin x cos y =   3 tan x = tan4  y      tan x + tan y =   tan x + tan y =   2   2 tg x + tg y =     tgx.cot gy + tgy.cot gx = −6      sin x.cos y =   2 sin2 x − cos 2y − =    ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com - 119 - Ths Lê Văn Đồn www.MATHVN.com Bài 438 Giải hệ phương trình: Bài 439 Giải hệ phương trình: Bài 440 Giải hệ phương trình: Bài 441 Giải hệ phương trình: Bài 442 Giải hệ phương trình: Bài 443 Cho hệ phương trình: Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) x ± y = φ     sin x   sin y = m    x ± y = φ     cos x   cos y = m    x ± y = φ     tan x  =m   tan y     x ± y = φ  tan x tan y = m   x ± y = φ     cot x.cot y = m    sin x + sin y =   cos 2x + cos 2y m  =    a/ Giải hệ phương trình m = − b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm x − y = m  Bài 444 Cho hệ phương trình:   2 (cos 2x + cos 2y ) − − cos2 m =    Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm cos x cos y = m +  Bài 445 Cho hệ phương trình:   sin x sin y = 4m2 + 2m    Bài 446 Bài 447 Bài 448 Bài 449 - 120 - a/ Giải hệ phương trình m = − b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm y2 + tan2 x =   Cho hệ phương trình:  Tìm tham số m để hệ có nghiệm y + = ax + a + sin x    sin x + sin 2x = m  Cho hệ phương trình:    cos x + cos 2x = m  a/ Giải hệ phương trình m = b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm 2 x + x = cos x + x2 + a   Cho hệ phương trình:  Tìm tham số a để hệ có nghiệm  x + cos2 x =    sin x + cos y = a  Tìm điều kiện cần điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm:   sin y + cos x = b   www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com   sin x + m tan y = m Bài 450 Cho hệ phương trình:  tan2 y + m sin x = m    a/ Giải hệ phương trình m = −4 b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm J – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – NHẬN DẠNG TAM GIÁC Định lí hàm số sin cosin Cho ∆ABC có a, b, c ba cạnh đối diện A, B, C R, S tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp diện tích ∆ABC A a b c • = = = 2R sin A sin B sin C b c • a = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cot A • b2 = a + c2 − 2ac cos B = a + c2 − 4S.cot B B • c2 = a + b2 − 2ab cos C = a + b2 − 4S.cotC Định lí đường trung tuyến C a A Cho ∆ABC có trung tuyến AM c BC a2 hay : c2 + b2 = 2m2 + a AB2 + AC2 = 2AM2 + b ma B a M C Diện tích tam giác Gọi S : diện tích ∆ABC R : bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC p : nửa chu vi ∆ABC 1 1 1 ● S = a.h a = b.h b = c.h c ● S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc a+b+c ● S= ● S = pr, p = 4R ● S = p (p − a )(p − b)(p − c) Bán kính đường trịn Gọi R : bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC ● R= a abc = sin A 4S “Cần cù bù thông minh…………” ● r = (p − a) tan www.DeThiThuDaiHoc.com A B C = (p − b) tan = (p − c) tan 2 - 121 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com S p Định lí hàm số tan cot A−B tan a−b ; ● = a+b A+B tan ● r= a + b2 + c ● cot A + cot B + cotC = 4S BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 451 Chứng minh đẳng thức ∆ABC A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + sin sin sin 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − cos A cos B cos C sin2 A + sin2 B + sin2 C = + cos A cos B cosC cos2 A + cos2 B + cos2 C = − cos A cos BcosC A B C A B C sin2 + sin2 + sin2 = − sin sin sin 2 2 2 A B C A B C cos2 + cos2 + cos2 = + sin sin sin 2 2 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 a/ sin A + sin B + sin C = cos b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ Bài 452 Chứng minh ∆ABC, ta ln có: tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC , (k ∈ ℕ ) A B tan = Chứng minh: a + b = 2c 2 Bài 454 Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q = Chứng minh: Bài 453 Cho ∆ABC Biết tan 1 + + = 2 sin A sin B sin2 C c/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = b/ cos A cos B cos C = − 1 d/ = + a b c a/ Bài 455 Cho ∆ABC, BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh: 2b = a + c ⇔ cot A C cot = 2 sin A sin B sin C = = Tính góc ∆ABC Bài 457 Cho ∆ABC Biết có ba góc A, B, C tạo thành cấp số nhân có cơng bội q = Bài 456 Cho ∆ABC Biết rằng: Giả sử A < B < C Chứng minh: - 122 - 1 = + a b c www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Bài 458 Cho ∆ABC Chứng minh: cot A + cot B + cotC = Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com ( R a + b + c2 abc ) Bài 459 Cho ∆ABC Biết sin B + sin C = sin A Chứng minh: BAC ≤ 600 Bài 460 Cho ∆ABC Chứng minh cotA, cotB, cotC tạo thành cấp số cộng a2, b2, c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Bài 461 Cho ∆ABC Chứng minh: A = 2.B ⇔ a = b2 + bc sin A + sin B − sin C A B C Bài 462 Cho ∆ABC Chứng minh: = tan tan cot cos A + cos B − cos C + 2 sin A + sin B + sin C A B Bài 463 Cho ∆ABC Chứng minh: = cot cot sin A + sin B − sin C 2 a + b2 + c 4S A B C sin sin sin 2 Cho ∆ABC Chứng minh: + + =2 B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 sin (A − B) a − b2 Cho ∆ABC Chứng minh: = sin C c2 A B C + cos A + cos B + cos C Cho ∆ABC Chứng minh: tan + tan + tan = 2 sin A + sin B + sin C Cho ∆ABC Chứng minh: 1 1 A B C A B C   + + = tan + tan + tan + cot cot cot   sin A sin B sin C  2 2 2   Cho ∆ABC Chứng minh: sin2 A + sin2 B + sin2 C = (sin A sin B cos C + sin B sin C cos A + sin C sin A cos B) Bài 464 Cho ∆ABC Chứng minh: cot A + cot B + cotC = Bài 465 Bài 466 Bài 467 Bài 468 Bài 469 Bài 470 Cho ∆ABC có AM đường trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S diện tích ∆ABC với < α < 900 b − c2 a/ Chứng minh: cot α = 4S b/ Giả sử α = 450 Chứng minh: cotC − cot B = Bài 471 Cho ∆ABC có trung tuyến xuất phát từ B C mb, mc thỏa m c = b ≠ b mc Chứng minh rằng: cot A = cot B + cotC Bài 472 Chứng minh ∆ABC có trung tuyến AA' vng góc với trung tuyến BB' cotC = (cot A + cot B) Bài 473 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = Bài 474 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: S = “Cần cù bù thông minh…………” 2S R a sin 2B + b2 sin 2A ( www.DeThiThuDaiHoc.com ) - 123 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Bài 475 Cho ∆ABC có trọng tâm G GAB = α, GBC = β, GCA = γ Chứng minh rằng: cot α + cot β + cot γ = ( a + b + c2 ) 4A Bài 476 Cho I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh: A B C a/ r = 4R sin sin sin b/ IA.IB.IC = 4Rr2 2 Bài 477 Cho ∆ABC có đường trịn nội tiếp tiếp xúc cạnh ∆ABC A', B', C' ∆A'B'C' có cạnh a', b', c' diện tích S' Chứng minh: a ' b' C A B S' A B C   a/ + = sin sin + sin  b/ = sin sin sin   a b 2 2 S 2  Bài 478 Cho ∆ABC có trọng G tâm đường trịn nội tiếp I Biết GI vng góc với đường phân giác a+b+c 2ab góc BCA Chứng minh: = a+b Bài 479 Tính góc ∆ABC biết: sin (B + C) + sin (C + A) + cos (A + B) = Bài 480 Tính góc ∆ABC biết: cos 2A + (cos 2B + cos 2C) + = A B C Bài 481 Chứng minh ∆ABC có C = 1200 nếu: sin A + sin B + sin C − sin sin = sin 2 Bài 482 Tính góc ∆ABC biết số đo ba góc tạo thành cấp số cộng thỏa: 3+ 2   b + c ≤ a  Bài 483 Tính góc ∆ABC biết  sin A + sin B + sin C = +    sin A + sin B + sin C = Bài 484 Cho ∆ABC không tù thỏa: cos 2A + 2 cos B + 2 cos C = Tính góc ∆ABC sin A + sin B + sin C Bài 485 Chứng minh ∆ABC có góc 600 = cos A + cos B + cos C B a+c Bài 486 Cho ∆ABC có cot = Chứng minh ∆ABC vuông b b c a Bài 487 Chứng minh ∆ABC vuông A : + = cos B cos C sin B sin C A B C A B C Bài 488 Cho ∆ABC có cos cos cos − sin sin sin = Chứng minh ∆ABC vuông 2 2 2 Bài 489 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: (cos B + sin C) + (sin B + cos C) = 15 Bài 490 Cho ∆ABC có: sin 2A + sin 2B = sin A sin B Chứng minh ∆ABC vuông C Bài 491 Chứng minh ∆ABC có tan A + tan B = cot tam giác cân A B B A Bài 492 Chứng minh ∆ABC cân nếu: sin cos3 = sin cos3 2 2 2 cos A + cos B Bài 493 Chứng minh ∆ABC cân nếu: = cot2 A + cot2 B 2 sin A + sin B ( - 124 - ) www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn C (a tan A + b tan B) bc = R 2 (b + c) − a      sin B sin C =    3  a − b − c3 a =   a−b−c   sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C 1 1 + + = 2 sin 2A sin 2B sin 2C cos A cos B cos C a cos A + b cos B + c cos C 2p = a sin B + b sin C + c sin A 9R A B C cot A + cot B + cotC = tan + tan + tan 2 Bài 494 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a + b = tan Bài 495 Chứng minh ∆ABC nếu: Bài 496 Chứng minh ∆ABC nếu: Bài 497 Chứng minh ∆ABC nếu: Bài 498 Chứng minh ∆ABC nếu: Bài 499 Chứng minh ∆ABC nếu: Bài 500 Chứng minh ∆ABC nếu: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 350 Tính góc ∆ABC biết: sin 6A + sin 6B + sin 6C = Câu 349 Tính góc ∆ABC biết: cos A = sin B + sin C − Câu 351 Tính góc C ∆ABC biết: (1 + cot A)(1 + cot B) = Câu 352 Câu 353 Câu 354 Câu 355 Câu 356 Câu 357 A, B < 900   Tính góc C ∆ABC biết:   sin A + sin2 B = sin C    b+c Chứng minh ∆ABC vuông nếu: cos B + cos C = a b c a Chứng minh ∆ABC vuông nếu: + = cos B cos C sin B sin C Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C (b − c) = 1 − cos (B − C) Chứng minh ∆ABC vuông nếu: − cos 2B b2 b+c Chứng minh ∆ABC vuông nếu: cos B + cos C = a B a−c = 2a b−c B−C Câu 359 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: = tan b+c b+c Câu 360 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: + cot A = sin A a sin A + cos B Câu 361 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: tan A = sin B + cos A Câu 358 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sin “Cần cù bù thơng minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 125 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com sin A sin B sin C sin A Câu 363 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: cot B + cotC = cos B cos C sin B + sin C Câu 364 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sin A = cos B + cos C Câu 365 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sin (A + B) cos (A − B) = sin A sin B Câu 362 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: tan B + tan C = Câu 366 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: tan 2C = 2bc b − c2 Câu 367 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: r (sin A + sin B) = c sin Câu 368 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: B A−B cos 2 R A = tan ma (a + b − c)(a + b + c) sin2 A + sin2 B = + cos2 C sin A + sin B + sin C = + cos A + cos B + cos C C−B c−b tan = c+b B−C sin2 b − c     =  b   − cos 2B   Câu 369 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: S = Câu 370 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: Câu 371 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: Câu 372 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: Câu 373 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: Câu 374 Chứng minh ∆ABC vuông nếu: h a = 2p sin B C sin 2 sin A =2 sin B cos C A a Câu 376 Chứng minh ∆ABC cân nếu: sin = 2 bc Câu 375 Chứng minh ∆ABC cân nếu: + cos B 2a + c = − cos B 2a − c + cos B 2a + c Câu 378 Chứng minh ∆ABC cân nếu: = sin B 4a − c2  C   C   Câu 379 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a cot − tan A = b tan− cot         2     Câu 377 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 380 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a sin (B − C) + b sin (C − A) = Câu 381 Chứng minh ∆ABC cân nếu: tan B + tanC = tan2 B tanC C Câu 382 Chứng minh ∆ABC cân nếu: sin A sin B = sin C cot A B Câu 383 Chứng minh ∆ABC cân nếu: tan A − tan B = tan − tan 2 2 2 Câu 384 Chứng minh ∆ABC cân nếu: b + c sin(C − B) = c − b sin(C + B) ( - 126 - ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com sin A + sin B + sin C A C = cot − cot sin A + sin B − sin C 2 Câu 386 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a = 2c cos B A+B Câu 387 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a tan A + b tan B = (a + b) tan A Câu 388 Chứng minh ∆ABC cân nếu: h a = bc cos Câu 385 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 389 Chứng minh ∆ABC cân nếu: = p (p − a ) C 2 tan A + tan B = tan A tan B C B (p − b) cot = p tan  sin B = − cos C sin A    sin C = − cos B sin A     a2 sin2B + b2 sin2A = 4ab cos A cos B     sin2A + sin2B = sin A sin B   (1 + cos C) tan A + tan B = sin C 2 sin A sin B sin A + sin B + = cos A cos B C tan S = a + b2 A m a = bc cos 4 sin C + sin A + sin B = sin2 C sin2 A + sin2 B Câu 390 Chứng minh ∆ABC cân nếu: a sin 2B + b2 sin 2A = c2 cot Câu 391 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 392 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 393 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 394 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 395 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 396 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 397 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 398 Chứng minh ∆ABC cân nếu: Câu 399 Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( ( ( ) ) ) ( ) sin2 B tan B Câu 400 Chứng minh ∆ABC cân nếu: = sin2 C tan C   cos B cos C =   Câu 401 Chứng minh ∆ABC nếu:   a − b3 − c3 a =   a−b−c   1 + cos C  2a + b  =  Câu 402 Chứng minh ∆ABC nếu:  sin C  4a − b2  a (b + c − a ) = b3 + c3 − a    “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 127 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com  B  sin = a   2 bc Câu 403 Chứng minh ∆ABC nếu:    B sin = b   2 ac   A B ab sin = 2 4c a b c Câu 405 Chứng minh ∆ABC nếu: = = ma mb mc Câu 404 Chứng minh ∆ABC nếu: sin Câu 406 Chứng minh ∆ABC nếu: (p − a )(p − b)(p − c) = abc  sin C   = tan A +  Câu 407 Chứng minh ∆ABC nếu:  cos2A cos B   sin B tan B   =   sin C tan C  sin B + sin C = sin A  Câu 408 Chứng minh ∆ABC nếu:   tan B + tan C = tan A   ( Câu 409 Chứng minh ∆ABC nếu: 3S = 2R sin A + sin B + sin C ) a + a b c Câu 411 Chứng minh ∆ABC nếu: + + = b+c c+a a +b abc 2p = Câu 412 Chứng minh ∆ABC nếu: ab + bc + ca Câu 410 Chứng minh ∆ABC nếu: b + c = Câu 413 Chứng minh ∆ABC nếu: sin 2A + sin 2B + sin 2C = p R 2 2 Câu 414 Chứng minh ∆ABC nếu: a + b + c = 36r A B C + sin + sin 2 1 1 1 Câu 416 Chứng minh ∆ABC nếu: + + = + + cos A cos B cos C A B C sin sin sin 2 1 1 1 Câu 417 Chứng minh ∆ABC nếu: + + = + + sin A sin B sin C A B C cos cos cos 2 Câu 415 Chứng minh ∆ABC nếu: cos A + cos B + cos C = sin Câu 418 Chứng minh ∆ABC nếu: tan A + tan B + tan C = tan A B C + tan + tan 2 A B C + cos + cos 2 Câu 420 Chứng minh ∆ABC nếu: (a cos A + b cos B + c cos C) = a + b + c Câu 419 Chứng minh ∆ABC nếu: sin A + sin B + sin C = cos Câu 421 Chứng minh ∆ABC nếu: sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C - 128 - www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Câu 422 Chứng minh ∆ABC nếu: m a + m b + m c = 9R với m a , m b , m c ba đường trung tuyến Câu 423 Chứng minh ∆ABC nếu: sin B sin C + sin A − (sin B + sin C) = ( ) Câu 424 Chứng minh ∆ABC nếu: tan2 A + tan2 B + tan2 C = tan2 A tan2 B tan2 C A B C tan tan = − − 4 Câu 426 Chứng minh ∆ABC nếu: a (1 − cos A ) + b (1 − cos B) + c (1 − cos C) = ( Câu 425 Chứng minh ∆ABC nếu: tan )( Câu 427 ∆ABC tam giác nếu: a tan B + b tan A = (a + b) tan ) A+B Câu 428 ∆ABC tam giác nếu: c = c cos 2B + b sin 2B Câu 429 ∆ABC tam giác nếu: sin 3A + sin 3B + sin 3C = Câu 430 ∆ABC tam giác nếu: 4S = (a + b − c)(a + c − b) 2 Câu 431 ∆ABC tam giác nếu: cos A + cos B + cos C = Câu 432 ∆ABC tam giác nếu: a sin 2B + b2 sin 2A = c2 cot C sin B cos A + cos C = sin A cos B + cos C cos2 A + cos2 B + cos2 C <  Câu 434 ∆ABC tam giác nếu:   sin 5A + sin 5B + sin 5C =    a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B  Câu 435 ∆ABC tam giác nếu:   sin 2A + sin 2B = sin A sin B    A B C 12 cos cos cos 2 Câu 436 ∆ABC tam giác nếu: tan A tan B tan C = cos A + cos B + cos C Câu 433 ∆ABC tam giác nếu: sin 2A + sin 2B + sin 2C 32 = A B C cos cos cos 2 2 2 Câu 438 ∆ABC tam giác nếu: 27 a + c − b a + b2 − c2 = 256bcR2 Câu 437 ∆ABC tam giác nếu: ( )( ) sin A sin B sin C a + b + c = ab + bc + ca 18R a b c Câu 440 ∆ABC tam giác nếu: + + = cos A + cos B + cos C b+c c+a a +b Câu 441 ∆ABC tam giác nếu: Câu 439 ∆ABC tam giác nếu: 2012 tan A + 2012 tan B + 2012 tan C = 2012 cot A 2012 B C + cot + 2012 cot 2  S = a − b − c  ( ) Câu 442 ∆ABC tam giác nếu:   sin A + sin2 B + sin2 C = cot A + cot B + cotC    Câu 443 ∆ABC tam giác nếu: (1 + b + c − bc) cos A + (1 + c + a − ca ) cos B + (1 + a + b − ab) cos C = “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 129 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Câu 444 ∆ABC tam giác nếu: tan A + tan B + tan C = (sin A + sin B + sin C) cos A + cos B + cos C S =   Câu 445 ∆ABC tam giác nếu:    (a + b + c) = 36    Câu 446 ∆ABC tam giác nếu: a sin A + b sin B b sin B + c sin C c sin C + a sin A + + = sin A + sin B + sin C a+b b+c c+a Câu 447 ∆ABC tam giác nếu: ( sin B + 45 Câu 448 Câu 449 Câu 450 Câu 451 Câu 452 )= a (b + c − a ) + b2 (a + c − b) + c2 (a + b − c) 2abc A B C A B C ∆ABC tam giác nếu: cos cos cos − sin sin sin = 2 2 2 cos A + cos B + cos C =   ∆ABC tam giác nếu:   2  cos A + cos B + cos C ≥   Cho ∆ABC Chứng minh: S = a sin 2B + b2 sin 2A Cho ∆ABC Chứng minh: A B C A B B C C A A B C tan + tan + tan + tan tan + tan tan ++ tan tan = + tan tan tan 4 4 4 4 4 4 Cho ∆ABC Chứng minh: (a + b) cos C + (b + c) cos A + (c + a ) cos B = 2p ( ) Câu 453 Cho ∆ABC Chứng minh: cos3 A + cos3 B + cos3 C = + sin A B C 3A 3B 3C sin sin − sin sin sin 2 2 2 3 Câu 455 Cho ∆ABC Chứng minh: cos A + cos B + cos C ≤ Câu 454 Cho ∆ABC Chứng minh: sin A + sin B + sin C ≤ 3 Câu 457 Cho ∆ABC Chứng minh: cos A cos B cos C ≤ A B C Câu 458 Cho ∆ABC Chứng minh: sin + sin + sin ≤ 2 2 Câu 456 Cho ∆ABC Chứng minh: sin A sin B sin C ≤ A B C 3 + cos + cos ≤ 2 2 A B C Câu 460 Cho ∆ABC Chứng minh: sin sin sin ≤ 2 Câu 459 Cho ∆ABC Chứng minh: cos Câu 461 Cho ∆ABC Chứng minh: cos A B C 3 cos cos ≤ 2 Câu 462 Cho ∆ABC Chứng minh: sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ - 130 - www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com A B C Câu 464 Cho ∆ABC Chứng minh: sin2 + sin2 + sin2 ≥ 2 A B C Câu 465 Cho ∆ABC Chứng minh: < cos2 + cos2 + cos2 ≤ 2 Câu 463 Cho ∆ABC Chứng minh: cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ Câu 466 Cho ∆ABC Chứng minh: sin A sin B + sin BsinC + sinCsin A ≤ Câu 467 Cho ∆ABC Chứng minh: cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ Câu 468 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 469 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 470 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 471 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 472 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 473 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 474 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 475 Cho ∆ABC Chứng minh: 1 + + ≥2 sin A sin B sin C 1 + + ≥6 cos A cos B cos C 1 + + ≥6 A B C sin sin sin 2 1 + + ≥2 A B C cos cos cos 2 1 + + ≥4 2 sin A sin B sin2 C 1 + + ≥ 12 2 cos A cos B cos2 C 1 + + ≥ 12 A B C sin sin sin 2 1 + + ≥4 A B C cos cos cos 2 Câu 476 Cho ∆ABC Chứng minh: tan A + tan B + tan C ≥ 3 Câu 477 Cho ∆ABC Chứng minh: cot A + cot B + cotC ≥ A B C + tan + tan ≥ 2 A B C Câu 479 Cho ∆ABC Chứng minh: cot + cot + cot ≥ 3 2 Câu 480 Cho ∆ABC Chứng minh: (a cos A + bcos B + c cosC) ≤ a + b + c Câu 478 Cho ∆ABC Chứng minh: tan Câu 481 Cho ∆ABC Chứng minh: R ≥ 2r Câu 482 Cho ∆ABC Chứng minh: p2 ≤ 6R + 3r2 Câu 483 Cho ∆ABC Chứng minh: 8m a m b m c ≤ 27R Câu 484 Cho ∆ABC Chứng minh: cos3 A + cos3 B + cos3 C ≤ “Cần cù bù thông minh…………” + (cos 3A + cos 3B + cos 3C) www.DeThiThuDaiHoc.com - 131 - Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Câu 485 Cho ∆ABC Chứng minh: sin A sin B ≤ cos2 Câu 486 Cho ∆ABC Chứng minh: C sin A + sin B + sin C ≤1 A B C cos + cos + cos 2 + cos2 A + cos2 B + cos2 C + + ≥3 sin B sin C sin A A B C + cos + cos + cos + + >3 Câu 488 Cho ∆ABC Chứng minh: a b c  1 A B C  Câu 489 Cho ∆ABC Chứng minh: + + − tan + tan + tan  ≥ 3   A B C  4 4   sin sin sin 2 Câu 490 Cho ∆ABC Chứng minh: (1 − cos A)(1 − cos B)(1 − cos C) ≥ cos A cos B cos C Câu 487 Cho ∆ABC Chứng minh: sin A + sin B + sin C ≥1+ cos A + cos B + cos C a b c Cho ∆ABC Chứng minh: + + ≥2 ma mb mc Cho ∆ABC Chứng  a  b  c  b c a    minh:  + − c  + − a  + − b ≥ 27abc   cos B cos C  cos C cos A       cos A cos B    Cho ∆ABC có chu vi Chứnh minh rằng: 13 sin2 A + sin2 B + sin2 C + 8R sin A sin B sin C ≥ 4R Cho ∆ABC nhọn Chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C + tan A + tan B + tan C > 2π  1     Cho ∆ABC nhọn Chứng minh rằng: tan A tan B tanC +  + +  cos A cos B cosC  ≤ 21    Câu 491 Cho ∆ABC Chứng minh: Câu 492 Câu 493 Câu 494 ( Câu 495 Câu 496 ) Câu 497 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: (2R + a )(2R + b)(2R + c) < 8R e 3 2 cos 3C − cos 2C + ≥2 cos C Câu 499 Cho ∆ABC nhọn ta ln có: (tan A + tan B + tan C) + (sin A + sin B + sin C) > π 3   A B C A B C   Câu 500 Cho ∆ABC nhọn thì: tan + tan + tan  + cot cot cot ≥  2 2 2   Câu 498 Cho ∆ABC có < A ≤ B ≤ C < 900 Chứng minh rằng: ====== - 132 - HẾT  ====== www.DeThiThuDaiHoc.com ... cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) (∗) -7- Ths Lê Văn Đồn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài Giải phương. ..  www.DeThiThuDaiHoc.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn (∗) Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 Bài 15 Giải phương trình:... + sin x “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) -5- Ths Lê Văn Đoàn Bài Bài Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com sin 2x + cos4 2x Giải phương trình: = cos4