Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay

Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bà...

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

Công thức lượng giác cần nắm vững - 2

A – Phương trình lượng giác cơ bản - 5

Bài tập áp dụng - 5

Hướng dẫn giải bài tập áp dụng - 8

Bài tập rèn luyện - 29

B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác - 32

C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos - 59

D – Phương trình lượng giác đẳng cấp - 84

E – Phương trình lượng giác đối xứng - 93

F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối - 97

G – Phương trình lượng giác không mẫu mực - 101

H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương - 106

I – Hệ phương trình lượng giác - 116

J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác - 121

Trang 2

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG

Trang 3

 Một số lưu ý:

 Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

 Khi giải phương trình có chứa các hàm số hoặc , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

 Phương trình chứa , điều kiện: .

 Phương trình chứa , điều kiện:

 Phương trình chứa cả và , điều kiện:

 Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau đây đểkiểm tra điều kiện:

 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của vào biểu thức điều kiện Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm

 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của

nghiệm Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm

Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác có số đo là với thì có điểm trên đường tròn lượng giác cách đều nhau"

Ví dụ 1: Nếu sđ thì có một điểm tại vị trí (ta chọn )

Ví dụ 2: Nếu sđ thì có 2 điểm tại vị trí và (ta chọn ).Ví dụ 3: Nếu sđ thì có 3 điểm tại các vị trí và , Ví dụ 4: Nếu sđ thì có 4 điểm tại các vị trí , , ;(ứng với các vị trí )

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung và

Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và

Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả

những công thức lượng giác Đó là hành trang, là công

cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:

"Phương trình lượng giác"

Trang 4

Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và

cung tổng hợp là:

 Đối với phương trình ta không nên giải

trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện

rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất Nghĩa là:

Tương tự đối với phương trình

ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức

Lúc đó:

 Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác

 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cunggóc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cunggóc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:

 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:

Giải phương trình lượng giác:

Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình

, vậy còn phương trình thì sao ?Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:

.

Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như

/35/6

4/3

–/6O

Trang 5

thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa

 Một số cung góc hay dùng khác:

A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Giải phương trình:

Trang 6

Bài 11

Trang 7

Trang 8

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



 Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một

cung Nhưng đưa về cung hay cung ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung , ta nên đưa về cung trung gian nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x) Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung "

Bài giải tham khảo

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002

Trang 9

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005

 Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung và cung mà ta nghĩ đến việc chuyển cung về cung

bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế

 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung và giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung

khác nhau này về cùng một cung chung là Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 Bài 5 Giải phương trình:

Trang 10

Điều kiện:

Cách giải 2 Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''

Ta có:

Giải tương tự như cách giải 1

 Lời bình: Từ tổng hai cung giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:

Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: Nếu không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan , rồi qui đồng thì bài toán trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999

Trang 11

 Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng

cung của chúng, …… nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả Ta hãy xem giữa hai cung và có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001

Trang 12

Từ đó, ta sẽ

đặt và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất

.Đặt Và

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999 Bài 10 Giải phương trình:

Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999

Trang 13

 Lời bình: Trong , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức Vậy trong giải

phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép

để phương trình trở nên đơn giản hơn "

Cách giải 2

Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998

Trang 14

Cách giải 3

Vì không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho , ta được:

Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:

Cách giải 1

Đặt Lúc đó:

Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13) Bạn đọc tự giải

 Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả

sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu) Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý

và Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998

Trang 15

 Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công

thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp HCM khối A năm 2001

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999

Trang 16

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998

Trang 17

 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung và nhận xét , ta có thể định

hướng nhóm , lại với nhau, để sau khi dùng công thức tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn

Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007

Trang 18

Trang 19

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998

Trang 20

Do không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của cho , ta được:

 Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa lẫn , nếu ta sử dụng công thức

nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1

Trang 21

Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất hiện số nhằm tối giản được với số phức tạp bên vế phải của phương trình.

 Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc

đưa chúng về cùng một cung Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức

, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của , bằng cách nhân thêm hai vế của cho Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm tra xem có phải là nghiệm hay không trước khi nhân

(vô nghiệm) nên không là nghiệm của

● Nhân cả 2 vế của phương trình cho , ta được:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998

Trang 22

Do không là nghiệm phương trình , nên nhân hai vế cho

, ta được:

● Khi Nhân hai vế của cho , ta được:

 Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn,

… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định Đặc biệt đối với những bài toán có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng nhằm mục đích " đơn giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi

Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không

 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không Nếu thỏa thì ghi nhậnnghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại

Trang 23

 Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đườngtròn lượng giác Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.

 Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình

● Điều kiện:

● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là

● Điều kiện:

● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998

Trang 24

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm:

● So nghiệm với điều kiện:

 Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung

nào trùng nhau Do đó: là nghiệm của phương trình (Cách 2 này mất nhiều thời gian)

 Cách 3 : Nếu thì

(vô lí vì ).

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996

/4

/6

/2 3/4

5/6

7/6 5/4

3/2

7/4 11/6

Trang 25

Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000

Trang 26

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 – 1999

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Tài Chính – Kế Toán năm 2000

Trang 27

● So với điều kiện:

Với thì loại nếu k lẻ.

Trích đề thi Tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp HCM năm 2007

(Loại do )(Nhận)

Trang 28

Với thì (nhận).

Bài giải tham khảoĐiều kiện:

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bách Khoa năm 2000

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001

Trang 29

.Cách khác:

(Giải tương tự như trên)

Trang 30

So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 Giải phương trình:

Trang 31

Trang 32

B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM

LƯỢNG GIÁC



Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

Nếu đặt hoặc thì điều kiện là

(tương tự cho )

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

Trang 33

● (mối liên hệ giữa sinx và cosx)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Trang 34

Trang 35

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI

VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC



(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011)

Trang 36

 Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung và nên ta đưa về cùng một cung là bằng

công thức nhân đôi của và công thức hạ bậc

Từ đó, đưa ta về phương trình bậc hai theo Bài giải tham khảo

 Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau và nên ta đưa về cùng một cung

là , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi:

Còn ta sẽáp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo

 Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung và ta không thể đưa cung của

về cung được (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy nhất là đưa ba cung này về cùng cung Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có chứa , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài dòng khi giải phương trình Còn tất nhiên đưa về cung bằng công thức nhân

đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn công thức phù hợp"

Ta có:

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002) Bài 52 Giải phương trình:

(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007)

Trang 37

● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là do

●

 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung , ta có thể đưa chúng về cùng một cung

theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1) Hơn nữa, trong bài xuất hiện số và , ta cũng có thể tách và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2)

● Cách giải 1

● Cách giải 2

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)

Trang 38

.Giải tương tự như trên.

Bài giải tham khảoĐiều kiện:

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1997)

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005)

Trang 39

 Lời bình: Từ việc xuất hiện các số là những bội số của , làm ta liên tưởng đến câu

"cos đối – sin bù – phụ chéo", thật vậy, các bạn để ý cách giải sau:

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005)

Trang 40

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004)

Định dạng
Số trang	134
Dung lượng	7 MB