OLYMPIC TOÁN NĂM 2000, 52 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI-TẬP 3
49 đề thi và lời giải Olympic toán năm 1997-1998 (tập 5)
... =
= 3
999
2
2 +
√
3
6
1,
√
3, 2,
√
3, 1
−
2 −
√
3
6
1, −
√
3, 2, −
√
3, 1
=
3
499
, 2 .3
499
, 2 .3
499
, 2 .3
499
, 3
499
Vì thế kết quả của bài toán là 8 .3
499
.
Chương 5
Đề thi olympic ... 20(a
3
b
2
c + ab
3
c
2
+ a
2
bc
3
).
Thay s và khai triển biểu thức của s
(3a
6
+ 2a
5
b −2a
4
b
2
+ 3a
4
bc + 2a
3
b
3
−12a
3
b
2
c + 12a
2
b
2
c
2...
48 đề thi và lời giải Olympic toán năm 1997-1998 (tập 6)
... chứ ng minh được bài toán.
Chương 3
Đề thi olympic Tây Ban Nha
3. 16.Tính tổng bình phương của 100 số hạng đầu tiên của một cấp số
cộng, với giả thi t tổng 100 số hạng bằng −1 và tổng các số hạng ... và chỉ khi k là một ước của 3
(k−1)/2
+ 1.
Lời giải : Giả sử k là một ướ c của 3
(k−1)/2
+ 1. Điều này tương đương
với 3
(k−1)/2
≡ −1( mod k) . Vì vậy 3
k−1
≡ 1( mod k)....
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 1)
... minh:
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
z
≥
(a + b + c)
3
3(x + y + z)
Với tất cả các dạng số thực a, b, c
Lời giải: Qua chứng minh không cân bằng của Holder
(
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
z
)
1
3
(1 + 1 + 1)
1
3
(x + ... đó,
điều giả sử ban đầu là sai. Vậy có ít nhất một khoảng cách chia hết cho3
Nguyễn Hữu Điển
OLYMPIC TOÁN NĂM 2000
52 ĐỀ THI VÀ LỜI GI ẢI
(Tập 1)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
20...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 3)
... minh.
Nguyễn Hữu Điển
OLYMPIC TOÁN NĂM 2000
33 ĐỀ THI VÀ LỜI GI ẢI
(Tập 3)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
Chương 3
Đề thi olympi c Châu Á Thái
Bình Dương
3. 12.T í nh tổng S =
100
i=0
x
3
i
1−3x
i
+3x
2
i
với ... x
i
=
i
100
i =
1, 101
Lời giải: Vì 1 −3x + 3x
2
= x
3
− (x −1)
3
= 0 ∀x
Ta có thể đặt f(x) =
x
3
1−3x+3x
2
=
x
3
x
3
+(1−x)
3
∀x
Cho x = x
i
, x = 1 − x...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 4)
... n
˜
u
,
a
125x
3
= 3
3
(125k + 1)
3
≡ 3
3
( mod 125),
nên 125 chia hê
´
t b
,
o
,
i 125x
3
− 3
3
v
`
a x
3
−
3
5
3
l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên; do
¯
d
´
o {x
3
} =
27
125
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
{y
3
} =
64
125
v
`
a ... v
´
o
,
i (x, y, z) =
2
3
,
1
3
, 0
;
1
3
, 0,
2
3
; ho
.
˘
ac
0,
2
3
,
1
3
.
CHU
,
O
,
NG 35
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN TRU...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 5)
... 3
m
a
2
+ 3
2m−1
a + 3
3m 3
≡ a
3
+ 3
m
(mod 3
m+1
)
t
`
u
,
y
3
= 17
.
.
.3
n
,
¯
d
´
o l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
0, 3
n
ho
.
˘
ac 2 ∗ 3
n
(mod 3
n+1
)
t
`
u
,
3 không chia hê
´
t 17 nên 3 không chia hê
´
t ... cho 3 v
`
a m ≥ 2
khi
¯
d
´
o a
2
≡ 1 (mod 3) v
`
a 3
m
a
2
≡ 3
m
(mod 3
m+1
), ngo
`
ai ra t
`
u
,
m ≥ 2, ta c
´
o
3m − 3 ≥ 2m − 1 ≥ m + 1. Do
¯
d
´...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6)
... c
´
o:
x
2
+ y
2
≤ (x
3
+ y
3
)
2
3
.2
1
3
< (x
3
+ y
3
)
2
3
(x
3
+ y
3
)
1
3
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI
(T
.
âp ... Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga
Ho
.
˘
ac: x
2
− x
3
< y
3
˘y
2
M
.
˘
at kh
´
ac ta c
´
o: 0 ≤ y
2
(y
2
− 1)
2
⇒ y
3
− y
2
≤ y
4
− y
3
.
Do
¯
d
´
o ta...
TỔNG HỢP ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ TỪ NĂM 2005-2013
... thức (1) của bổ đề trên, ta thay
2
k
=
, suy ra:
3 3 3 3 3 3
5 3 6 2 ( 5) ( 1)
= + + + − + −
hay
3 3 3 3 3 3
(5 5 1 ) (3 6 2 )
f f+ + = + + .
3 3 3 3 3 3 3
2 (5) (1 ) (3) (6) (2) (5) 5 ...
Trong đẳng thức (2) của bổ đề trên, ta thay
1
k
=
, suy ra:
3 3 3 3 3 3
4 0 9 7 ( 10) ( 2)
= + + + − + −
hay
3 3 3 3 3 3
(4 10 2 ) (9 7 0 )
f f+ + = + + .
3 3...
olympic toán các nước tập 1(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển
... 99x
2
+
2.99.100
2
x +
99.100.199
6
= 33 (3x
2
+ 30 0x + 50.199),
Ðiê
`
u
¯
d
´
o ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang 3| y. V
`
ı z ≥ 2, 3
2
|y
z
, nhu
,
ng 3
2
không chia hê
´
t cho
33 (3x
2
+ 30 0x + 50.199). V
.
ây
¯
diê
`
u ... c
´
o 8 ≡ 2
v
(mod16) =⇒ v = 3
v
`
a m(m − 3) = 0,
¯
d
´
o l
`
a không thê
,
. V
`
ı v
.
ây, u = 3, m = 3 × 2
3
= 24, v = 9, n = 23.
L
`
o
,
i gi
,
ai 3...
olympic toán các nước tập 2(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển
... Nê
´
u c = 1,
th
`
ı ab = a+b +3. Nê
´
u b ≥ 3, th
`
ı 3a ≤ ab = a+b +3 ≥ 3a =⇒ a = b = 3. Ta
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac b
.
ô sô
´
(3, 3, 1, 7, 1, 1) v
`
a (7, 1, 1, 3, 3, 1). Nê
´
u b = 2, ta c
´
o ... ho
,
n 3. Nê
´
u bc = 3, th
`
ı b = 3, c = 1, a + b + c < 3a = abc; nê
´
u
bc > 3 th
`
ı abc > 3a ≥ a + b + c. V
`
ı v
.
ây v
´
o
,
i bc > 3, ta c
´
o abc > a + b + c v...