s0 3
Vì cĩ hai lần đổi dấu ở cột 1, nín phương trình trín cĩ hai nghiệm cĩ phần thực dương.
* Thí dụ 6 -9 : Xĩt tính ổn định của hệ thống cĩ phương trình đặc trưng :
9; 9; 9; s4 + s3 - s - 1 = 0 Bảng Routh :
Hệ sốở hăng s0 được tính bằng câch thay 0 ở hăng s1 bằng (, rồi tính hệ số của hăng s0 như sau :
cần phương câch năy khi cĩ một zero ở cột một. Vì cĩ một lần đổi dấu ở cột một, nín phương trình đặc trưng cĩ một nghiệm cĩ phần thực dương. Do đĩ, hệ thống khơng ổn định.
VII. TIÍU CHUẨN HURWITZ 9; 9;
Tiíu chuẩn ổn định Hurwitz lă phương phâp khâc để xâc định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng cĩ phần thực đm hay khơng . Tiíu chuẩn năy được âp dụng thơng qua việc sử dụng câc định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.
Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Câc định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như lă câc định thức con (minor determinant) của định thức :
Câc định thức con được lập nín như sau :
Vă tăng dần đến ?n
Tất cả câc nghiệm của phương trình đặc trưng cĩ phần thực đm nếu vă chỉ nếu ?i > 0 với i = 1 , 2 , .. , n.
Tất cả câc nghiệm của phương trình đặc trưng cĩ phần thực đm nếu 9; 9; a2 > 0 , a2 a1 – a0 a3 > 0 a2 a1 a0 – a02 a3 > 0 * Thí dụ 6 -11 : Xĩt sựổn định của hệ thống cĩ phương trình đặc trưng 9; 9; 9; s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0 Lập câc định thức Hurwitz 9; 9;
Câc định thức đều lớn hơn khơng, câc nghiệm của phương trình đặc trưng đều cĩ phần thực đm, nín hệ thống ổn định.
* Thí dụ 6 .12 : Với khoêng giâ trị năo của k thì hệ thống sau đđy ổn định :
9; 9; s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0
Ðể hệổn định, cần cĩ : Vậy Ġ
* Thí dụ 6 .13 :
Một hệ thống thiết kếđạt yíu cầu khi mạch khuếch đại của nĩ cĩ độ lợi k = 2 . Hêy xâc định xem độ lợi năy cĩ thể thay đổi bao nhiíu trước khi hệ thống trở nín bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ lă :
Thay câc tham số của phương trình đê cho văo điều kiện Hurwitz tổng quât ở thí dụ 6 .10. Ta được những điều kiện để hệổn định : 9; 4 + k > 0 , (4+k)6 – (16+8k) > 0 (4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2 > 0 Giê sửđộ lợi k khơng thể đm, nín điều kiện thứ nhất thỏa. Ðiều kiện thứ nhì vă thứ ba thỏa nếu k < 4
Vậy với một độ lợi thiết kế cĩ giâ trị lă 2, hệ thống cĩ thể tăng độ lợi lín gấp đơi trước khi nĩ trở nín bất ổn.