Một hệ thống lă ổn định nếu đâp ứng xung lực giảm tới zero khi thời gian tiến tới vơ cực.
* Thí dụ 6.1: cho đâp ứng xung lực của văi hệđiều khiển sau đđy. Trong mỗi trướng hợp, hêy xâc định tính ổn định của hệ thống. a) g(t) = e-t. b) g(t) = t.e-t. c) g(t) = 1. d) g(t) = e-t.sin3t. e) g(t) = sinw t.
H.6_1. Theo định nghĩa, hệ thống: a) ổn định. b) ổn định. c) bất ổn. d) ổn định. e)bất ổn
• III.KHAI TRIỂN PHĐN BỐ TỪNG PHẦN (Parial Fraction expansion)
Cĩ thể tìm đâp ứng xung lực của một hệ thống bằng câch lấy biến đổi laplace ngược hăm chuyễn của hệ.
ta cĩ thể dùng phương phâp khai triển phđn số từng phần Xem hăm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1)
Trong đĩ, C(s) vă R(s) lă những đa thức theo s. Giả sữ R(s) cĩ bậc lớn hơn C(s). Ða thức R(s) gọi lă đa thức đặc trưng vă cĩ thể viết:
R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2) Trong đĩ, a1,...an lă những hệ số thực.
Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 cĩ thể lă thực, hay những cặp phức liín hợp đơn hay đa cấp (cĩ lũy thừa hay khơng).
Ta xem trường hợp những nghiệm năy thực vă đơn cấp, phương trình (6.1) cĩ thểđược viết:
(6.3)
Trong đĩ, -s1, -s2,....-sn lă những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay lă những cực của G(s).
(6.4)
Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xâc định bằng câch nhĩm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) cho (s+si) rồi đặt s = -si.
Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhĩm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) vă đặt s = -s1.
(6.5)
* thí dụ 6.2: xem hăm chuyển của một hệ thống.
(6.6). Hêy tìm đâp ứng xung lực của hệ.
Trước hết, ta âp dụng kỹ thuật khai triển phđn số từng phần.
câc hệ số K-1, K-2, K-3 được xâc định như sau:
Vậy (6.7) trở thănh:
(6.8).
Bđy giờ ta cĩ thể dùng bảng biến đổi để tính đâp ứng xung lực của hệ thống. g(t) =L-1[G(s)].
g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10)
* Thí dụ 6.3: băi tôn tương tự như trín, với hăm chuyển như sau:
(6.13)
* Thí dụ 6.4:
Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t.