+ Công thức tính dòng (current)
Để dẫn ra công thức tính dòng ở đây ta dùng hình thức luận Landauer- Buttiker. Hình thức luận này áp dụng cho trường hợp sự dẫn xảy ra coherent. Công thức tính dòng đi từ trái qua một hệ dẫn hai chiều sang bên phải là :
= 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(2 )
(2.4.1)
trong đó, ý nghĩa của các đại lượng trong biểu thức như sau:
1. Thừa số e là cho ta chuyển từ dòng số hạt sang dòng điện (chú ý là ở đây không có dấu trừ vì ta đã quy ước chiều dòng điện)
2. Tích phân ở đây lấy theo các các giá trị có thể có của ⃗, ở đây ta chú ý là ⃗ có thể lấy giá trị từ âm vô cùng tới dương vô cùng, thừa số
⃗
( ) ứng với l trạng thái trong không gian vector sóng ⃗. Thừa số 2 ở đằng trước là biểu hiện của spin.
3. ⃗ là hàm phân bố Fermi-Dirac ở bên trái, là xác suất trạng thái đó có bị chiếm hay không? Khi trạng thái đó bị chiếm thì nó mới tham gia vào dẫn.
4. Thừa số vận tốc ⃗ cũng có vai trò như trong biểu thức cổ điển của mật độ dòng điện j = nqv.
5. Cuối cùng, hệ số truyền qua ⃗ là xác suất để một electron tới có thể xuyên qua bờ thế và cho đóng góp vào dòng điện. Chú ý là khi phản xạ thì nó sẽ không có đóng góp gì vào dòng điện từ trái qua phải cả. Biểu thức sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta đổi sang tích phân theo năng lượng hơn là tích phân theo véctơ sóng.
Ta có v(⃗) là vận tốc Fecmi của electron Dirac (cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng) ⃗ = ( ) , = /ħ
Thay vào và đặt c = 2e/ ℎ ta có:
/ 2 / 2 cos , L L I d f E T E dE p p c (2.4.2)
Tương tự cho trường hợp dòng đi từ bên phải qua bên trái :
/ 2 / 2 cos , R R I d f E T E dE p p c (2.4.3)
trong đó dấu “-” là do ta quy ước dòng từ trái qua phải là chiều dương nên dòng từ phải qua trái sẽ là chiều âm. Chú ý là với các hệ đối xứng thì hệ số truyền qua từ trái qua phải cùng bằng hệ số truyền qua từ phải qua trái.
= + = / 2 / 2 cos d (fL E fR E T E) , dE p p c (2.4.4)
Xét ở nhiệt độ thấp (T = 0), khi đó hai hàm Fermi sẽ trở thành các hàm Heavi-side và nó sẽ quy định các cận lấy tích phân
=c ( ) ( , ) .
p/
p/
(2.4.5)
Ở đây, μ à μ là các năng lượng Fermi ở bên trái và bên phải bờ thế. Đặc biệt khi bias đặt vào nhỏ thì μ ≈ μ ≈ µ và ta có công thức đơn giản:
= cμ ( ) (μ, )
p/
p/
(2.4.6)
+ Công thức tính độ dẫn điện /điện trở
Công thức cho độ dẫn điện có dạng sau :
= (2.4.7)
Trong trường hợp bias nhỏ thì ta có =
Tuy nhiên, trong trường hợp bias nhỏ và nhiệt độ thấp thì theo Landauer- Buttiker ta có công thức tính độ dẫn đơn giản:
= 2
ℎ ( )
(2.4.8)
Trong đó số 2 liên quan với hàm hướng spin của electron, thường được xem là đơn vị lượng tử của độ dẫn điện và tương ứng là trở lượng tử R = = 25,8 kΩ. Trong trường hợp có nhiều kênh dẫn thì độ dẫn điện sẽ là tổng của các kênh dẫn đó:
= 2
ℎ ( ) = ( )
(2.4.9)
Điện trở là nghịch đảo của độ dẫn điện nên : R = G-1
+ Công thức tính cường độ phổ shot noise và hệ số Fano
Từ biểu thức tổng quát để tính mật độ phổ noise ở tần số không đã được Blanter và Buttiker tìm được ta áp dụng cho trường hợp hai chiều ta sẽ có công thức như sau:
= 2 χ ( , ) ( ) 1 − ( )
,
+ ( , ) 1
− ( , ) ( ) − ( ) ( ) .
(2.4.10)
trong đó c = 2e/ ℎ như giá trị trong trường hợp tính dòng. Biểu thức trên là tương đối phức tạp, tuy nhiên ta có thế đơn giản hóa trong trường hợp riêng là nhiệt độ thấp: = 2 χ ( ) ( , ) 1 − ( , ) (2.4.11) Hay cụ thể các cận tích phân ra ta có : = 2 χ ( ) ( , ) 1 − ( , ) p/ p/ (2.4.12)
Trong trường hợp lượng tử hóa thành các kênh riêng biệt thì ta có thể có công thức tương tự như đối với độ dẫn điện:
Sau khi tính được noise và dòng thì ta có thể dễ dàng suy ra hệ số Fano:
= 2
(2.4.14)
Trong trường hợp các kênh riêng biệt thì ta có công thức:
=∑ (1 − )
∑
(2.4.15)