3 Thảo luận với các giảng viên trẻ
3.10Các ví dụ về nhóm
A good definition is 5 good examples – V.I. Arnold
Nói theo nhà toán học V.I. Arnold, thì một định nghĩa tốt chẳng qua là 5 ví dụ tốt. Bản thân các ví dụ phải hay, phải tự nhiên, phải thể hiện đúng bản chất của vấn đề, chứ không “từ trên trời rơi xuống” hay là chỉ toàn ví dụ “tầm thường” không thể hiện được ý nghĩa của khái niệm mới.
Thay vì đưa ngay ra định nghĩa hình thức của nhóm, ta hãy dùng định nghĩa sau, tuy chưa viết ra một cách chặt chẽ toán học, nhưng vừa trực giác, vừa thể hiện đúng bản chất của nhóm: Một nhóm chẳng qua là tập các đối xứng của một vật nào đó! Với định nghĩa này, có thể lấy ngay rất nhiều ví dụ về nhóm. Cầm bất kỳ vật gì trong tay là có thể chỉ ngay ra một (hay thậm chí nhiều) nhóm liên quan. Chẳng hạn vài ví dụ:
1) (Đây là một trong các ví dụ đầu tiên tôi dùng để dạy con trai về nhóm). Lấy cái rubik ra quay. Các phép biến đổi rubik chính là một nhóm hữu hạn (biến đổi màu các mặt do quay, nhưng rubik vẫn giữ nguyên hình khối lập phương, nên có thể coi các biến đổi này là một
loại đối xứng: một đối xứng tức là một biến đổi nhưng vẫn bảo toàn cái gì đó, và biến đổi ngược lại được).
Các phép quay rubik là ví dụ của khái niệm “nhóm”. Tôi cầm rubik và lặp đi lặp lại 2
động tác sau: xoay phía trên 1 cái (quay 90 độ theo chiều kim đồng hồ), rồi xoay bên phải 1 cái (cũng 90 độ theo chiều kim đồng hồ), rồi lại xoay phía trên 1 cái, rồi lại xoay bên phải một cái, cứ thể. Màu của rubik nhảy loạn lên, nhưng sau một hồi nhảy loạn như vậy thì lại ... trở về đúng vị trí ban đầu. Tôi đố con
trai vì sao vậy? (Đố bạn đọc biết vì sao? Đây là một tính chất cơ bản của nhóm hữu hạn).
2) Tôi cầm một cái cốc tròn (không có quai) trên tay. Khi tôi xoay cái cốc thì hình thù vị trí của nó trong không gian không hề thay đổi. Như vậy ta có một nhóm, là nhóm xoay cái cốc (nó cũng như là xoay bánh xe, xoay đồng xu, v.v.), gọi là nhóm T1. Nếu tôi cho phép cốc chuyển động trong không gian (lấy tay khua cái cốc) nhưng không bóp méo nó đi (tức là hình thù vẫn giữ nguyên nhưng vị trí được phép thay đổi) , thì được một nhóm các chuyển động như vậy (gọi là nhóm chuyển động Euclid E(3)). Nếu tôi cố định một điểm của cái cốc, cho nó chuyển động nhưng vị trí của cái điểm đã đánh dấu không được dịch đi, thì thành nhóm khác, là nhóm xoaySO(3).
3) Thay vì cái cốc, tôi cầm cái cục lau bảng. Cái cục này có hình như hình hộp, một mặt có giẻ để lau bảng. Tôi để cục lau bảng trên
tay. Chỉ có một phép di chuyển cục đó, sao cho chỗ nó chiếm trong không gian vẫn y thế, chính là phép xoay nó 180 độ trên tay tôi. Nếu xoay hai lần như vậy, thì vị trí của nó lại về hệt như cũ. Như vậy cái cục lau bảng có nhóm đối xứng gồm hai phần tử: “để yên” và “xoay 180 độ”. (Người ta gọi các nhóm 2 phần tử làZ2).
4) Ta thử lấy một hình tam giác và xét nhóm các đối xứng của nó (di chuyển hình tam giác sao cho vẫn trùng với hình ban đầu). Nếu hình tam giác thường (các cạnh khác nhau) thì nhóm đối xứng là tầm thường (chẳng có cách di chuyển nào, ngoài cách để yên); nếu nó là tam giác cân thì có 1 cách không tầm thường là ta lật hình tam giác lại (nếu được phép lật như vậy), và tức là nhóm đối xứng của tam giác cân là nhóm 2 phần tử (Z2); nếu là tam giác đều thì nhiều đối xứng hơn: ngoài phép lật còn có phép xoay (120 độ và 240 độ) và nhóm đối xứng tổng cộng có 6 phần tử (vì sao vậy ?). Đối với các tứ giác, ngũ giác, v.v. cũng có thể làm tương tự. Ta thấy ngay ý nghĩa hình học ở đây: hình nào càng “cân”, càng “đều” thì tức là hình có nhóm đối xứng càng to ! Người ta hay phân loại các vật thể toán học (từ phương trình đại số, các hình trong không gian, v.v. cho đến các phương trình đạo hàm riêng) bằng cách phân loại các nhóm đối xứng của chúng!
5) Tập số thực R trừ đi điểm 0 là một nhóm (nhóm nhân tính
R∗). Nếu ví dụ chỉ dừng ở đó thì chán (các tính chất củaRta đã biết chán rồi, cần gì khái niệm nhóm). Nhưng nếu nhìn ví dụ đó như sau sẽ thấy thú vị hơn. Lấy một không gian, như là không gian Euclid
R3 bình thường chẳng hạn. Xét các phép homothethy trên đó ( phép co giãn hình: nhân với một hệ số thực khác không). Khi đó tập các
homothethy chính là một nhóm, và nhóm này chính là (tương đương với) nhóm nhân tínhR∗.
Hy vọng với mấy ví dụ trên, bạn đọc, dù chưa bao giờ biết khái niệm nhóm, hiểu được nhóm là gì: một nhóm chính là một tập các phép đối xứng của một vật. Một phép đối xứng có nghĩa là một phép biến đổi đảo nghich được mà bảo toàn các tính chất nào đó (ví dụ như là bảo toàn hình dáng của vật, hay là bảo toàn tỷ lệ giữa các cạnh, v.v.). Tùy theo ta yêu cầu bảo toàn ít thứ hay nhiều thứ, mà nhóm đối xứng tương ứng sẽ to (có nhiều đối xứng) hay nhỏ (chỉ có ít đối xứng).
Sau khi hiểu trực giá về nhóm như trên rồi, ta có thể nói đến hai phép tính tự nhiên của nhóm:
- Phép nghịch đảo (quay ngược lại về chỗ cũ).
- Phép nhân: phép nhân chẳng qua là “composition”: tức là thực hiện phép đối xứng này tiếp theo phép đối xứng khác.
Toàn bộ định nghĩa hình thức của một nhóm, với hai phép toán trên và các tiên đề đi kèm, chẳng qua là để viết lại một cách chặt chẽ định nghĩa “một nhóm là một tập các đối xứng của một vật”.
Bonus: một bài tập về nhóm. Bạn đọc nào tò mò thử làm bài toán này. Tuy trong đề bài không có chữ “nhóm” nào, nhưng nó là một ví dụ về nhóm! Giả sửf :R→Rlà một hàm số thực thỏa mãn f(f(x)) =−xvới mọix. Chứng minh rằngf có vô số điểm gián đoạn (không liên tục).