3.5.1 Miêu tả thuật toán
Một phương pháp lý thuyết ước lượng khác để đánh giá vecto ngẫu nhiên s dựa trên x là chọn một hàm f(x) để tối thiểu hóa trung bình bình phương lỗi (MSE)
Rất khó để biết chính xác hàm f(x), Tuy nhiên nếu chúng ta hạn chế cho hàm này là hàm tuyến tính, thì có khả năng sẽ tính toán được. Sử dụng quá trình tuyến tính, ước lượng s:
Để thu được MMSE, W phải được để sao cho trung bình bình phương lỗi nhỏ nhất
Vì aHa=tr(aaH), với tr(.) là trace của ma trận, MSE được viết lại là
Với và . Vì Qx được định
nghĩa là ma trận Hermitian và không âm
x là ma trận chéo có trị riêng của ma trận Qx nằm trên đường chéo và A được gọi là “căn bậc 2” của Qx. Viết lại biểu thức
Vì số hạng đầu tiên và số hạng thứ 2 không phụ thuộc vào W, nên để kết quả tối thiểu được thì
Biến đổi công thức này ta có
(3.52) (3.53) (3.54) (3.55) (3.56) (3.57) (3.58)
Trở lại mô hình kênh (x=Hs+n) và giả sử là Qs=E[ssH]=s2I và Qn=E[nnH]= n2I và Qn=E[xxH]=HQsHH+Qn có thể nghịch đảo, với Qsx= E[sxH]= E[s(sHHH+nH)]=QsHH ( s và n là độc lập với nhau), W trở thành
Với bằng n 2
/s 2
. Khi chúng ta ngịch đảo ma trận theo dạng A+BCD, áp dụng bổ đề ngịch đảo ma trận (MIL)
Với A và C là ma trận ngịch đảo bình phương. Áp dụng MIL ta có
Tóm lại để tối thiểu trung bình bình phương lỗi (trên W), thì quá trình xử lý tại bộ thu phải bằng
Với =Nt/. Dựa trên kết quả này chúng ta có thể nói phương pháp MMSE cân bằng chất lượng tín hiệu và giảm nhiễu. Từ phương trình trên, rõ rang nhận thấy là phương pháp ZF tương ứng với phương pháp MMSE với =0. Mặt khác phương pháp MMSE là phương pháp ZF với việc thay thế
Chú ý là trong thực hành, rất khó để đo SNR, vì thế đôi khi được đặt cho một giá trị cố định mà không phụ thuộc vào tỉ lệ tín trên nhiễu