Ta xem xét các tính chất đóng cho Otomat thời gian xác định. Nhƣ trong trƣờng hợp không chứa thời gian, lớp ngôn ngữ đƣợc chấp nhận bởi Otomat Muller thời gian là đóng với các phép toán Boolean.
Lớp các ngôn ngữ thời gian đƣợc chấp nhận bởi Otomat Muller thời gian xác định là đóng với phép hợp, giao và bù.
Chứng minh: Ta định nghĩa một chuyển đổi của DTMA để chứng minh dễ hơn. Cho các DTMA A=(∑,S,s0,C,E,F) ta xây dựng DTMA khác A* đƣợc hoàn thành nhƣ sau. Đầu tiên ta thêm một trạng thái giả q đến Otomat. Từ mỗi trạng thái s (bao gồm cả q) , cho mỗi kí tự a, ta thêm một cung đƣợc gán nhãn a từ s đến q. Ràng buộc đồng hồ cho cung nay là phủ định của hợp của các ràng buộc đồng hồ của tất cả các cung gán nhãn a bắt đầu từ s. Các điều kiện chấp nhận không thay đổi. Cấu trúc này duy trì tính xác định cũng nhƣ tập các từ thời gian chấp nhận đƣợc. Otomat mới A* có tính chất cho mỗi trạng thái s va một ký tự đầu vào a, sự riêng rẽ của của các ràng buộc của các cung đƣợc gán nhãn a tại trạng thái s là công thức đúng. Quan sát A* có chính xác một thực hiện với bất cứ từ thời gian. A* đƣợc gọi là Otomat đầy đủ.
Cho Ai=(∑,Si,s0i,Ci,Ei,Fi) với i = 1,2 là hai Otomat DTMA đầy đủ với tập phân chia của các đồng hồ. Đầu tiên ta xây dựng một bảng chuyển trạng thái thời gian A. Tập các trạng thái của A là S1 x S2. Trạng thái bắt đầu là (s01,s02). Tập các đồng hồ là C1 U C2.
Các bƣớc chuyển của A đƣợc định nghĩa bằng cách nhóm các bƣớc chuyển của hai Otomat có cùng nhãn. Tƣơng ứng đến bƣớc chuyển A1 (s1,t1,a,𝜆1,δ1) và bƣớc chuyển A2 (s2,t2,a, 𝜆2,δ2) A có một bƣớc chuyển ((s1, s2),(t1, t2),a, 𝜆1 U 𝜆2,δ1 Λ δ2)). Dễ dàng kiểm tra A là xác định. A có một thực hiện duy nhất trên (σ,τ) và thực hiện này có thể đạt đƣợc bằng cách ghép nối các thực hiện duy nhất của Ai trên (σ,τ).
Cho F1 bao gồm các tập F ⊆ S1 x S2 sao cho phép chiếu của F lên thành phần thứ nhất là một tập chấp nhận của A1 nghĩa là:
Cho F1 = {F ⊆ S1 x S2 |{s Є S1 | ∃s’ Є S2 (s,s’) Є F } Є F1}.
Vì một thực hiện r của A là thực hiện chấp nhất cho A1 nếu inf(F1) . Tƣơng tự định nghĩa F2 bao gồm các tập F sao cho {s’ | ∃s Є S1 (s,s’) Є F } trong F2. Tiếp đến nhóm A với các tập chấp nhận Muller F1 U F2 cho một chấp nhận DTMA L(A1) Λ L(A2).
Cuối cùng xem xét bù của otomat. Cho a là một Otomat DTMA (∑,S,s0,C,E,F). A có chính xác một thực hiện trên một từ thời gian. Vì vậy (σ,τ) là phần bù của L(A) nếu thực hiện của A không đáp ứng mục chấp nhận của A. Ngôn ngữ bù đƣợc chấp nhận bởi DTMA có cùng bảng chuyển trạng thái thời gian nhƣng điều kiện chập đƣợc cho bởi 2S – F.
Bây giờ ta xem xét các tính chất đóng DTBA. Xét Otomat Buchi xác định (DBA) là không đóng với phép toán bù. Tính chất vô hạn ký tự đƣợc chuyên biệt bởi DBA, tuy nhiên, tính chất bù “chỉ có hữu hạn a” không thể đƣợc diễn đạt bởi DBA. Kết quả ta không mong đợi lớp DTBA là đóng dƣới phép bù. Tuy nhiên vì DTBA có thể đƣợc xem nhƣ DTMA, phép bù của ngôn ngữ DTBA đƣợc chấp nhận bởi DTMA. Lý thuyết sau về các tính chất đóng.
Lớp ngôn ngữ thời gian đƣợc chấp nhận bởi DTBA là đóng dƣới các phép hợp, giao nhƣng không đóng bởi phép bù. Phép bù của ngôn ngữ DTBA đƣợc chấp nhận bởi DTMA.