Các lớp ngôn ngữ hình thức thời gian được đóng dưới (hữu hạn) phép hợp và giao.
Xem xét TBA (∑, Si, Si0 ,Ci, Ei,Fi), i = 1,2,…n. Giả thiết không làm mất tính tổng quát tập các đồng hồ là riêng rẽ. Ta xây dựng TBA chấp nhận các phép hợp và giao của L(Ai).
Vì TBA là không xác định, trƣờng hợp của phép hợp là rõ ràng. TBA đƣợc yêu cầu đơn giản là phép hợp riêng rẽ của tất cả các Otomat.
Phép giao có thể đƣợc thực hiện bằng cách xây dựng Buchi Otomat. Tập các đồng hồ cho Otomat A là ∪iCi. Các trạng thái của A có dạng (s1,..., sn,k) với mối si Є Si
và 1 ≤ k ≤ n. Thành phần thứ i phản ánh trạng thái của Ai, thành phần cuối cùng là bộ đếm với tất cả otomat cho trạng thái thỏa mãn điều kiện chấp nhận đƣợc của từng Otomat riêng rẽ. Khởi tạo bộ đếm là 1 và bộ đếm tăng từ k đến (k + 1) nếu trạng thái của Otomat thứ k là trạng thái chấp nhận.
Các trạng thái khởi tạo của A có dạng (s1,..., sn,1) với mỗi si là trạng thái khởi tạo của Ai.. Một bƣớc chuyển của A đạt đƣợc bởi nhóm các bƣớc chuyển của các Otomat có cùng nhãn. Cho {(si,si’,a,𝜆i, δi} Є Ei | i = 1,…,n} là tập các bƣớc chuyển trạng thái, mỗi một Otomat với cùng nhãn a. Tƣơng ứng với cung chuyển trạng thái của A từ
S0
a,b, (x<3) ?
trạng thái dạng (s1,..., sn,k) đƣợc gán nhãn a. Trạng thái mới (s1’,..., sn’,j) với j = (k+1) mod n nếu sk Є Fk và j = k ngƣợc lại. Tập các đồng hồ đƣợc thiết lập với bƣớc chuyển là ∪iCi và ràng buộc đồng hồ là Λiδi.
Giá trị bộ đếm theo chu kỳ với phạm vi từ 1…n vô hạn lần nếu các điều kiện
chấp nhận của tất cả các Otomat đƣợc đáp ứng. Kết qủa ta định nghĩa tập chấp nhận của A bao gồm các trạng thái (s1,..., sn,n) với sn Є Fn.
Hình 3.7: Otomat thời gian chấp nhận ngôn ngữ Lconverge
Quan sát sự kiện cho các ngôn ngữ hình thức thời gian nhiều sự kiện tùy ý có thể xảy ra trong một khoảng chu kỳ thời gian hữu hạn. Hơn nữa các ký tự có thể đƣợc tự ý gần ký thự khác. Xem xét ví dụ sau.
Ví dụ 3.10 Ngôn ngữ đƣợc chấp nhận bởi Otomat của hình 10 là:
Lconverge = {((ab)ω, τ) | ∀i . (τ2i-1 = i Λ (τ2i - τ2i-1 > τ2i+2 - τ2i+1))} (3.10) Tất các các từ đƣợc chấp nhận bởi Otomat có tính chất trình tự thời gian giữa a và theo sau b là giảm dần. Từ mẫu đƣợc chấp nhận bởi Otomat.
(a,1) → (b,1.5) → (a,2) → (b, 2.25) → (a,3) → (b, 3.125) → …
Ví dụ này mô tả mô hình số thực và khác với mô hình thời gian rời rạc. Ta yêu cầu các giá trị thời gian τi là bội số của hằng 𝜀 , ngôn ngữ chấp nhận đƣợc của Otomat hình 10 là rỗng.
Mặt khác Otomat thời gian không phân biệt giữa tập các số thực và tập các quan hệ Q. Đặt biệt nếu ta yêu cầu các giá trị thời gian theo thứ tự thời gian là các số tỉ lệ, ngôn ngữ không thời gian Untime[L(A)] là Otomat thời gian A không thay đổi.
Cho L là ngôn ngữ hình thức thời gian. Với các từ σ, σ Є Untime (L ) nếu tồn tại trình tự thời gian τ để τi Є Q với i ≥ 1 và (σ, τ) Є L.
Xem xét một Otomat thời gian A và từ σ. Nếu tồn tại trình tự thời gian τ với tất các giá trị thời gian tỉ lệ để (σ, τ) Є L(A) thì rõ ràng σ Є Untime[L(A)].
b, (y<1)? ,x:=0 a, (x=1)? , x := 0 y := 0 b (x=1) ? a, x:= 0 S0 S1 S2 S3
Cho một trình tự thời gian tùy ý τ , (σ, τ) Є L(A). Cho 𝜀 Є Q để các hằng xuất hiện trong các ràng buộc đồng hồ của A là bội số thiếu của 𝜀. Cho τ’0 = 0 và τ0 = 0 Nếu τi = τi +n 𝜀. Mặt khác chọn τ’i Є Q để cho với mọi 0 ≤ j < i cho tất cả n Є N (τ’i - τ’j) < n 𝜀 nếu (τi - τj) < n 𝜀.
Xét một thực hiện r = (𝑠 , 𝑣 ) của A với (σ, τ). Bởi vì cấu trúc của τ’ nếu một đồng hồ x đƣợc thiết lập tại bƣớc chuyển thứ i thì giá trị có thể tại bƣớc chuyển trạng thái thứ j cùng với các trình tự thời gian (τi - τj) và (τ’i - τ’j) thỏa mãn cùng tập các ràng buộc đồng hồ. Kết quả có khả năng xây dựng một thực hiện chấp nhận đƣợc r’ = (𝑠 , 𝑣 ’) vơi (σ, τ’) theo sau cùng tình tự các cung r. Đặc biệt chọn v0’ = v0 và nếu bƣớc chuyển thứ i trên thực hiện r theo cung {(si-1,si,a,𝜆i, δi} thf vi’ = [𝜆i → 0] (v’i-1 + τ’i - τ’i-1) kết qua A cấp nhận (σ, τ’).