Định nghĩa 3.4 một bảng chuyển trạng thái thời gian là một bộ (∑,S,S0,C,E) với ∑ là các ký tự hữu hạn.
S là tập hữu hạn các trạng thái. S0 ⊆ S là tập các trạng thái khởi tạo. C là tập hữu hạn các đồng hồ.
E ⊆ S x S x ∑ x 2C x Φ(C) tập các bƣớc chuyển trạng thái. Mỗi cung (s, s’, a ,λ , δ) mô tả một bƣớc chuyển từ trạng thái s đến s’ với ký tự đầu vào a. Tập λ ⊆ C là các đồng hồ đƣợc thiết lập lại trong bƣớc chuyển trạng thái, và δ là các ràng buộc trên C [3].
Cho một từ thời gian (σ, τ) bảng chuyển thời gian A bắt đầu bằng một trong những trạng thái khởi tạo tại thời điểm 0 với tất cả các đồng hồ đƣợc khởi tạo 0. Giá trị của các đồng hồ thay đổi bằng hàm thiết lập thời gian. Tại thời điểm τi Otomat A thay đổi trạng thái từ s đến s’ nếu các giá trị hiện tại của đồng hồ thỏa mãn các ràng buộc δ. Với bƣớc chuyển trạng thái các đồng hồ trong 𝜆 đƣợc thiết lập về 0 và bắt đầu
tiếp tục đếm thời gian. Hành vi đƣợc giữ bởi định nghĩa “run” của các bảng chuyển trạng thái thời gian. Một thực hiện “run” ghi lại trạng thái với giá trị của các đồng hồ tại các điểm chuyển trạng thái. Cho trình tự thởi gian τ = τ1 τ2 τ3… với định nghĩa τ0 = 0.
Định nghĩa 3.5 Một thực hiện r biễu diễn (𝑠 , 𝑣 ) của bảng chuyển trạng thái thời gian (∑,S,S0,C,E) trên từ thời gian (σ,τ) là một trình tự vô hạn với dạng:
r: (s0, v0) 𝜎1
𝜏1> (s1, v1) 𝜎2
𝜏2> (s2, v2) 𝜎3
𝜏3> …
với si Є S và vi Є [C → R), cho tất cả i ≥ 0 thỏa mãn những yêu cầu sau: Khởi tạo: s0 Є S0 và v0(x) = 0 cho tất cả x Є C
Cho tất cả i ≥ 1 có một cung trong E với dạng (si-1, si, σi ,λi , δi) sao cho (vi-1 + τi – τi-1 ) thỏa mãn δi và vi bằng [λi → 0] (vi-1 + τi – τi-1 )
Để thiết lập inf(r) bao gồm các trạng thái s Є S để s = si cho vô hạn lần i ≥ 0. Ví dụ 3.6: Xem xét bảng chuyển trạng thái thời gian của ví dụ 3.5.
(a,2) → (b,2.7) ) → (b,2.8)) → (b,5) → …
Dƣới đây ta đƣa ra một đoạn khởi tạo của thực hiện. Một đồng hồ biên dịch đƣợc trình diễn bởi danh sách các giá trị [x,y].
(s0, [0,0]) 𝑎
2> (s1, [0,2]) 𝑏
2.7> (s2, [0.7,0]) 𝑐
2.8> (s3,[0.8,0.1]) 𝑑
5> (s0, [3,2.3]) … Một thực hiện r = (𝑠 , 𝑣 ) trên (σ, τ) , các giá trị của đồng hồ tại thời điểm t giữa τi và τi+1 đƣợc cho bởi biên dịch (vi + t – τi). Khi đó bƣớc chuyển trạng thái từ si đến si+1 xảy ra. Ta sử dụng giá trị (vi + τi+1 – τi) để kiểm các ràng buộc đồng hồ, tuy nhiên tại thời điểm τi+1 giá trị của đồng hồ nhận đƣợc và thiết lập lại về 0.
Để ý bảng chuyển trạng thái (∑, S, S0 , E) có thể đƣợc xem nhƣ một bảng chuyển trạng thái thời gian A’. Ta chọn tập các đồng hộ đƣợc thiết lập rỗng và thay thế các cung (s,s’,a) bởi (s,s’,a ,Ø,true). Thực hiện A’ rõ ràng tƣơng ứng với các thực hiện của A.