pháp tọa độ trong không gian ở trường THPT
Trong chương trình hình học 12, ban nâng cao, phần phương pháp tọa độ trong không gian nằm ở chương III gồm có các bài sau:
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian Bài 2: Phương trình mặt phẳng Bài 3: Phương trình đường thẳng Bài 4: Bài ôn tập chương III
* Với các kiến thức cơ bản sau:
Hệ tọa độ trong không gian. Tọa độ của véc tơ, tọa độ của điểm và các phép toán liên quan.
Phương trình mặt phẳng (phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc)
Phương trình đường thẳng (phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng song song, chéo nhau, cắt nhau, điều kiện để đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng)
Khoảng cách (từ điểm đến đường, mặt. Giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng)
Góc (giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng)
Mặt cầu và sự tương giao giữa mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng
* Nội dung thực hành ( bài tập )
- Các bài tập về tìm tọa độ điểm.
- Các bài tập về lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. - Các bài tập về vị trí tương đối của điểm ,đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. - Các bài tập về quan hệ song song và vuông góc.
- Các bài tập về góc, khoảng cách.
- Các bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp véctơ và phương pháp toạ độ.
* Yêu cầu cơ bản về kỹ năng
- HS nắm vững hình học không gian lớp 11 để xác định được cách giải các bài toán trong chương.
- Rèn luyện cách giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn và hệ bậc hai. - Nhớ được cách giải các bài toán cơ bản, trình bày chính xác các bài toán. Tìm tòi cách giải ngắn gọn cho các bài toán, lựa chọn được cách giải phù hợp với từng câu hỏi.
* Một số vấn đề cụ thể
Về lập phương trình đường thẳng: Có ba bài toán cơ bản sau:
- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M (x0, y0, z0) và có VTCP là u= (a, b, c)
- Lập phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng () và mặt
phẳng () (Trong chương trình hiện nay không đưa vào giảng dạy về PT tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên, đây lại là một hướng lập PT đường thẳng rất tiện ích nên vẫn được nhiều GV sử dụng, thường là như sau: với hai mặt phẳng đã cho, giả sử gọi n n1, 2
lần lượt là các VTPT của chúng, muốn xác định đường thẳng cần tìm, chỉ cần chọn một điểm nó đi qua và tính tọa độ VTCP của đường thẳng theo công thức v n n1, 2
là được).
- Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (x1, y1, z1) và B (x2, y2, z2) Trong chương có rất nhiều bài toán lập phương trình đường thẳng khác nhau, nhưng dưới dạng nào thì việc phát hiện ra loại bài toán và tìm ra phương pháp giải toán đều phải đưa về một trong ba dạng trên. Vấn đề là với mỗi bài cụ thể thì việc phát hiện ra cách giải phù hợp là vô cùng cần thiết. Khi gặp một bài toán cụ thể, có thể giải theo cách này rất dài, nhưng theo cách kia lại có lời giải ngắn gọn hơn nhiều. Nếu GV chú trọng khai thác đặc điểm này thì sẽ rất thuận lợi cho quá trình hướng HS giải quyết vấn đề bài toán đã đặt ra. Chẳng hạn ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho 3 đường thẳng d1, d2, d3. Gọi d là đường thẳng song song với d3 và cắt hai đường thẳng d1 và d2 tại hai điểm A và B. Viết PT đường thẳng d và tính độ dài đoạn AB.
Yêu cầu của bài toán: - Lập PT đường thẳng d; - Tính độ dài đoạn AB. HS có hai hướng giải quyết sau:
Hướng 1: Tìm phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d3 và mặt phẳng (Q) chứa d2 song song với d3. Từ đó suy ra phương trình d dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm các giao điểm A, B và cuối cùng tính độ dài AB. Cách làm này tỏ ra dài dòng và khó hoàn thành trong khoảng thời gian bị hạn chế.
Hướng 2: Tìm toạ độ A và B. Dựa vào PTTS của d1 ta có tọa độ của A theo tham số t1. Tương tự, ta có tọa độ của B theo tham số t2. Suy ra tọa độ của AB
phụ thuộc t1 và t2. Theo điều kiện AB
cộng tuyến với VTCP u
của d3 ta tìm được t1 và t2. Khi đó ta vừa viết được PT của d qua 2 điểm A, B, vừa tính được khoảng cách AB có cả tọa độ của A, B và cả khoảng cách AB. Làm theo hướng này lời giải sẽ gọn hơn so với hướng 1.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có phương trình:
(a): x=1+2t y=2+t , z=-3+3t t Z ; (b) : 3 1 2 3 1 2 y z x
a) Chứng minh a và b chéo nhau.
b) Lập phương trình đường vuông góc chung của a và b. c) Tính khoảng cách giữa a và b.
Với ba yêu cầu của bài toán, nếu HS làm độc lập từng câu sẽ rất dài dòng, nếu HS biết kết hợp đưa ra cách giải quyết đồng thời cả 3 câu thì sẽ được lời giải ngắn gọn hơn, đẹp đẽ hơn. Cách làm đó như sau:
Gọi M là điểm thuộc a, N là điểm thuộc b. Tính MN
và dựa vào điều kiện MNuavà MNub để tìm ra toạ độ của M và N. Khi đó, rõ ràng ta đã giải quyết được cả ba câu mà bài toán yêu cầu.
Bài toán cơ bản là: Mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0), có một VTPT
n=( A,B,C) sẽ có phương trình là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (1).
Tuy nhiên, trong các bài tập thường được biểu hiện ở nhiều dạng như: - Viết PT mp đi qua ba điểm;
- Viết PT mp đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng; - Viết PT mp đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng; - Viết PT mp đi qua một điểm và chứa một đường thẳng;
v.v… Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình: 1 1 2 , 1 3 x t y t t Z z t
a) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P). b) Lập phương trình mặt phẳng (R) chứa (d) và tạo với (P) góc bé nhất. Hướng dẫn: a) VTCP của (d) là: u = (1, 2, 3).VTPT của (P) là: np = (1, 1, 1) suy ra VTPT của (Q) là: nq u n, p
= (-1;2;-1). Ngoài ra (Q) đi qua điểm (1;1;1). Từ đó suy ra phương trình của (Q).
b) Với mặt phẳng (R) học sinh khó xác định được góc bé nhất là góc nào? bằng bao nhiêu? Khi hướng dẫn học sinh giáo viên phải làm cho học sinh thấy góc đó là góc hợp bởi (d) và (P). Suy ra (R) chứa (d) và vuông góc với (Q), từ đó có cách giải bài toán cơ bản.