6.1.4.1. Thời gian: Thế kỷ XIX đến nay.
6.1.4.2. Đặc điểm chung
Từ cuối thế kỉ XIX, đối tượng và phạm vi ứng dụng của toán học được mở rộng.
Xây dựng cơ sở của toán học, củng cố những kết quả đã đạt được theo tinh thần của chặt chẽ toán học.
Đưa ra những mô hình rất tổng quát và đủ chính xác để nghiên cứu thực tế xung quanh. Nội dung toán học có những thay đổi cực kì to lớn, đụng chạm đến những bộ phận, những quan niệm xa xưa được coi như bất di bất dịch:
- Nhiều nghành mới ra đời và nhanh chóng củng cố vị trí bằng nững thành tựu bất ngờ. chẳng hạn, hình học phi Ơclit của Lobaxepki.
- Một số ngành tiếp tục phát triển, thay đổi đến mức không còn nhận ra được nữa ( chẳng hạn: lĩnh vực Tôpô- đại số).
Toán học hiện đại có xu hướng phát triển chuyên môn hóa và phân lập. Từđó xuất hiện nguy cơ toán học bị mất đi tính chất thống nhất toàn vẹn và các mối tương quan nội tại. Trước tình hình này, cần thiết phải hiểu thực chất của toán học. Tuy không thể nào đưa ra được câu trả
lời xác đáng cho câu hỏi “toán học là gì ?”, xong chúng ta vẫn có thể hình dung toán học như
sau: “ mục đích của toán học là trìu tượng hóa từng bước, suy diễn chặt chẽ hợp logic theo phương pháp tiên đề và tiếp theo đó tổng quát hóa một cách rộng rãi hơn nữa”.
6.1.4.3. Tình hình phát triển, thành tựu chính
- Hình học phi Ơclit của Lobaxepki
Bước ngoặt của tư duy toán học của thế kỉ XIX là vào năm 1826, Lobaxepki và Bolyai đã sáng tạo ra hình học phi Ơclit ( còn được gọi là hình học Hypebolic) bằng cách thay tiên đề về
45
đường song song bởi tiên đề trái ngược lại: “ với mỗi đường thẳng của một mặt phẳng tồn tại ít nhất hai đường thẳng song song với nó, đi qua một điểm ngoài đường thẳng cho trước”.
-. Sự xuất hiện của đại số hiện đại - các cấu trúc toán học
Lý thuyết nhóm đầu tiên xuất hiện do nhu cầu của đại số ( khi Lagrange khảo sát nhóm các phép thế liên quan đến việc giải phương trình bậc cao) và sau đó phát triển cấu trúc đại số.
Đại số hiện đại phát triển dựa trên lý thuyết tập hợp theo quan điểm của Cantor, lý thuyết phát triển theo công thức của Galoa, đồng thời sự hoàn chỉnh đạt được dưới ảnh hưởng lớn của đại số
logic của Boole.
Tên gọi “ đại số hiện đại” là do Vande-Vacden nêu ra năm 1930-1931 trong một tác phẩm ghi lại những kết quảđã được nghiên cứu từ trước cho đến khi đó.
-.Lý thuyết tập hợp của Cantor
Lý thuyết tập hợp “ngây thơ” được Cantor (nhà toán học Đan Mạch gốc Nga mà hầu hết cuộc đời hoạt động ở các trường đại học ở Đức, mất năm 1918) đưa ra năm 1879. Ông quan niệm: “tập hợp là toàn thể các đối tượng xác định được xem như là một cái gì hoàn chinh, toàn bộ, hoàn toàn”. Và chỉ rõ: bản chất của các đối tượng của tập hợp hoàn toàn tùy ý, có thể cụ thể
hoặc trìu tượng, điều cốt yếu là tính chất “thuộc” hay “không thuộc” tập hợp. Ông cũng công nhận tập hợp hữu hạn và các tập hợp vô hạn (xem như một cái gì hoàn chỉnh, toàn bộ) và như
vậy là lần đầu tiên trong lịch sử toán học, Cantor đã sử dụng vô hạn hiện thực ( nhờ vậy, đã khắc phục được định lí Galie).
Tuy vẫn còn gặp những mâu thuẫn ( nghịch lý Russell và nghịch lí Richard) nhưng lí thuyết tập hợp của Cantor đã tạo ra nền móng cho toán học hiện đại, nhanh chóng xâm nhập vào toàn bộ toán học và được hoàn thiện cho đến nay.
- Lôgic toán và phương pháp tiên đề
Người đã đặt nền móng cho logic toán là Boole ( nhà toán học người Anh, 1815-1864). Lôgic kí hiệu lần đầu tiên xuất hiện vào năm 1847 với cuốn sách “ Logic hình thức” của Moocgan. Logic toán- khoa học nghiên cứu về những chứng minh toán học và sự cấu tạo của các lý thuyết toán được xây dựng cơ sở tương đối hoàn chỉnh từ năm 1900 với công trình của Hinbe (1862-1943). Cùng với Logic toán, phương pháp tiên đề cũng được nghiên cứu hoàn thiện từ các công trình của Ơclit, Lobaxepki, Peano (1858-1932), Hinbe (1899).
- Tiên đề hóa hình học Ơclit ở thế kỉ XX
Vào đầu thế kỉ XX, nhiều nhà toán học đã metric hóa hình học bằng phương pháp khác nhau, từđó xây dựng các tiên đề hình học Ơclit khác nhau: hệ tiên đề Hinbe ( Đức, 1899), hệ
tiên đề Pieri (Ý, 1899), hệ tiên đề Cagan (Nga, 1902), hệ tiên đề Vaylo ( Đức, 1918 ). - Ứng dụng toán học vào điều khiển học và tin học
Cổ xưa: con người tính bằng ngón tay, chân → sỏi, que, nút dây → bàn tính Trung Quốc → các máy móc tính toán cổ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Computer: Khởi đầu là Pascan (1623-1662) → Lepnit (Đức,1671) → Otne(1874)
→ Von Neumann (Mỹ,1945) → Lebeđep ( Nga, 1902-1974) với thế hệ máy tính ngày một phát triển.
* Hai xu thế phát triển chính của toán học hiện đại
Thực tiễn sản xuất và khoa học kĩ thuật đòi hỏi toán học hiện đại phải gắn chặt trong
điều khiển học, tin học và đặt ra cho toán học ba vấn đề: + Khắc phục sự phức tạp;
46 + Lựa chọn giải pháp tốt nhất.
Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi các nhà khoa học phải:
+ Không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học;
+ Phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao chùm được nhiều hiện tượng; + Sáng tạo được nhiều công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học, chuẩn bị tiềm lực tiến lên làm chủđược mọi tình huống phức tạp trong tương lai.
Kết luận về giai đoạn toán học hiện đại
Giai đoạn toán học hiện đại, toán học có tính trừu tượng và khái quát rất cao. Với lý thuyết nhóm, hình học phi Ơclit, lý thuyết tập hợp, lý thuyết logic toán giúp nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát, và giải quyết
được giai đoạn khủng hoảng về cơ sở của toán học. Nếu trước đây người ta xem xét toán học chỉ ở ba cấu trúc cơ bản thì trong giai đoạn này người ta đi đến các cấu trúc phức tạp hơn là: đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích. Đối với hình học, người ta có những loại không gian khác nhau có số chiều hữu hạn hay vô hạn. Nhờ vậy, toán học được áp dụng rất rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực khoa học khác nhau.