6.1.1.1. Thời gian: Thế kỷ VII – VI trước công nguyên.
TH cổđại phát triển từ cơ sở TT, các hiểu biết về TH gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế. Ở giai đoạn này, TH có tính chất là khoa học thực hành nhằm hỗ trợ cho các hoạt
động nông nghiệp và kỹ thuật (tính toán niên lịch, phát triển hệ thống cân đo phục vụ việc thu hoạch, phân chia thực phẩm, tạo ra các PP trắc địa để phục vụ việc xây dựng các kênh đào, phân chia đất đai và các hoạt động khác phục vụ cho mục đích thương mại,..). Từ những yêu cầu phục vụ trực tiếp cho đời sống hàng ngày, người cổ đại đã phát minh và sử dụng những tính toán TH
đầu tiên (về hình học và đại số) đặt nền móng cho việc xây dựng khoa học TH.
6.1.1.2. Đặc điểm chung
Tuy hình thức và con đường phát triển của kiến thức toán học rất khác nhau ở các dân tộc, song có một nét chung là:
+ Các khái niệm cơ bản của toán học đều phát sinh từ thực tiễn và trải qua một quá trình
hoàn thiện khá lâu dài.
+ Các khái niệm toán học chỉ có thể có khi loài người đã có công cụ lao động (tức là sớm nhất chỉ vào thời kì đồđá cũ). Khi đó, nhờ lao động mới có ngôn ngữ và mới phát triển bộ óc con người; trên cơ sởđó mới có khả năng trừu tượng hóa đểđếm và đo...Đây là điểm khác biệt giữa con người và loài vật: đối với con người trước khi xây dựng một cái gì đó thì họ đã xây dựng nó ở trong óc rồi!
6.1.1.3.Tình hình phát triển, thành tựu chính
Hai nền toán học tiêu biểu ở thời kì này là toán học Ai Cập và toán học Babilon.
40 Thành tựu toán học của người Ai Cập cổ là:
- Đã biết sử dụng hệ thống ghi số xác định (thập phân tượng hình) tạo điều kiện thuận lợi cho việc làm tính với mọi số nguyên. Kỹ thuật tính toán dựa trên phép cộng.
- Biết sử dụng phân số với công cụ là 1
n kèm thêm một số phân số đặc biệt 2/3, 3/4;...Từ đó xác định phép chia bằng cách coi m m 1
n ≡ ×n. Chẳng hạn: chuyển phép chia 2:9 về phép cộng 1/6 + 1/18.
- Đã biết phép giải phương trình tuyến tính dạng ax+by+cz = α
b. Toán học cổ Babilon
Thành tựu toán học Babilon chủ yếu gồm:
- Sử dụng hệ thống ghi số theo vị trí: xen lẫn cơ số 60 và cơ số 10.
- Xây dựng hiều quy tắc tính toán thực hành, lập ra các bảng tính toán sẵn (nhân, chia, bình phương, lập phương, khai căn bậc hai và bậc 3,..)
- Giải được các bài toán tính tỷ lệ %, các phương trình bậc 1, một số phương trình bậc 2 và bậc 3 như: x2 ± ax = b; x3(x+1)=a.
- Tính được các tổng ∑ 2k; ∑ k2;...,tìm được công thức xác định bộ 3 số Pitago.
- Về hình học cũng đạt được kết quả tương tự như ở Ai Cập: các phép tính về diện tích các đa giác và thể tích các đa diện thông thường.
- Phát triển các kiến thức về thiên văn và tam giác lượng: tính gần đúng thể tích..., lập bảng các tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác,...
6.1.2. Giai đoạn TH sơ cấp
6.1.2.1.Thời gian: (từ thế kỷ thứ IV trước công nguyên và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVI sau công nguyên).
6.1.2.2. Đặc điểm chung
- Toán học trong giai đoạn này đã trở thành một khoa học suy diễn ( những lý thuyết toán học được trừu tượng hóa từ những bài toán cụ thể hoặc từ những bài toán cùng loại, tạo ra những tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học).
- Toán học được xem như một hệ thống suy luận logic xuất phát từ một số mệnh đề cơ
bản ( tiên đề ) được coi là đúng ( dựa trên cơ sở thực nghiệm ) rồi rút ra những kết quả khác bằng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đường lối suy luận logic chặt chẽ.
- Về cơ bản, toán học nghiên cứu các đại lượng không đổi, các quá trình tĩnh tại.
- Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chế độ chính trị, tôn giáo, chiến tranh,... và toán học mang đậm nét tư tưởng văn hóa xã hội. Do đó toán học sơ
cấp mang tính di chuyển theo vùng địa lý: từ Hy Lạp – La Mã; Ấn Độ →Trung Á- Cận
Đông → Châu Âu.
6.1.2.3. Tình hình phát triển, thành tựu chính.
Một số nền toán học tiêu biểu thời kỳ này
a. Toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổđại
Ở thời kì trước, toán học ở Ai Cập- Babilon còn mang nặng tính chất thực nghiệm, chưa xây dựng các lý thuyết tổng quát thì các nhà toán học Hy Lạp không dừng lại ở câu hỏi: ‘‘Làm thế nào ?’’ mà đã tìm hiểu ‘‘Tại sao ?’’ lại làm được như vậy ! Ở Hy Lạp cổ đại
41
học sơ cấp Hy Lạp cổ có những kiến thức căn bản về kiến thức toán học với trình độ trừu tượng khá cao, với suy luận logic trong trình bày. Ăng ghen cho rằng: ‘‘Nếu khoa học tự
nhiên muốn tìm hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết phải quay trở về Hy Lạp ’’.
b. Toán học sơ cấp Hy Lạp ở thời kỳ Elinit
- Bộ ‘‘Cơ bản’’ gồm 13 quyển của Ơclit ra đời. Tuy còn một số hạn chế song bộ ‘‘Cơ
bản’’ là cơ sở cho mọi tìm tòi về hình học và là cơ sở cho các giáo trình hình học ở bậc học phổ
thông cho đến ngày nay.
- Các đóng góp của Acsimet (287- -212-), nhà bác học Hy Lạp vĩđại nhất trong thời kỳ
Elinit, Ông có nhiều đóng góp nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, vật lý học, cơ học, thiên văn học...Đặc biệt về toán học, để giải bài toán tìm diện tích, thể tích, ông đã đưa ra phương pháp ‘‘tát cạn’’- một phương pháp mà về sau làm cơ sở cho phép vi-tích phân ở thế kỷ XVI- XVII ( như vậy có thể nói tư tưởng của ông đã vượt lên trước thời đại tới 20 thế kỷ !). Ông chủ
trương tăng cường vận dụng lý thuyết vào thực hành, xây dựng hệ thống ghi số (với các số lớn tùy ý: chẳng hạn bài toán lấp đầy vũ trụ bằng 1063 hạt cát), viết 10 tác phẩm lớn về toán học: cầu phương Parabol, thư gửi Owrrastoten, về phương pháp cơ học để giải bài toán hình học, về hình cầu và hình trụ, đo đường tròn...
- Bộ mặt toán học Hy Lạp đã thay đổi mạnh mẽ cả về hình thức lẫn nội dung. Các lý thuyết toán học quan trọng được hình thành, đa số các lý thuyết có đối tượng hình học. Mặc dù vậy, trong phạm vi thực tiễn, người Hy Lạp cổ đã áp dụng nhiều phương pháp tính toán số học (tuy còn ở mức độ thấp). Đặc tính này tồn tại trong thời gian dài. Có thể nói đây là thời kỳ nở
hoa của nền toán học Hy Lạp.
c. Toán học sơ cấp Hy Lạp vào thời kỳđô hộ của La Mã
Do ảnh hưởng của chế độ chính trị xă hội mà tính chất của toán học bị thay đổi; nặng về
thực hành, về cuối thời kì chủ yếu là bình luận các tác phẩm đă có. Các phương pháp và các bài tính toán ngày càng chiếm vị trí quan trọng. Xuất hiện môn tam giác lượng gắn liền với những nghiên cứu về thiên văn.
* Kết luận chung về toán học sơ cấp ở Hy Lạp – La Mã
Toán học sơ cấp Hy Lạp-La Mã đánh dấu bước đầu tiên của sự phát triển toán học thành một khoa học suy diễn. Các nhà toán học Hy Lạp - La Mã là những người đầu tiên có quan niệm rõ ràng về hệ thống toán học, về yêu cầu chính xác chặt chẽ trong toán học. Nhiều lý thuyết toán học quan trọng dược hình thành. Những di sản kinh điển của các nhà toán học cổ Hy Lạp-La Mã nhưƠclit, Acsimet,Apoloniut, Ptoleme, Điophang là nguồn gốc chủ yếu của các tư tưởng toán học mới.
Qua nghiên cứu toán học cổ Hy Lạp, ta thấy những mâu thuẫn cơ bản của toán học đã lộ
rõ: rời rạc- liên tục, hữu hạn- vô hạn, số - hình, riêng - chung, cụ thể - trừu tượng,...Đó là những
động lực thúc đẩy toán học không ngừng tiến lên trên con dường khai quát hóa, trừu tượng hóa. Nhược điểm căn bản của nền toán học Hy-Lạp là xa rời thực tiễn, lý thuyết tách với thực hành, bó hẹp toán học trong hình thức hình học, gói gọn trong một nhóm tri thức thượng lưu,...Đó là do những đặc điểm của xã hội chiếm hữu nô lệ, của triết lí duy tâm, siêu hình... Mặt khác còn do
ảnh hưởng của chiến tranh liên miên làm gián đoạn, tàn phế toán học. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
42
- Người Trung Quốc đã sử dụng rất sớm một hệ thống ghi số thập phân bằng chữ tượng hình không theo vị trí (chỉđể biếu diễn số, không dùng trong tính toán). Các phép tính toán dược thực hiện trên bàn tính.
- Hai cuốn sách của Trung Quốc là “Chu bể toán kinh” và “Cửu chương toán thuật” cho thắy thấy rằng, từ xa xưa, người Trung Quốc đã xây dựng được nhiều qui tắc tính toán với các số
lớn trong thực hành, biết lập ra các bảng tính toán sẵn (nhân, chia, bình phương, lập phương, khai căn bậc 2 và bậc 3,...). Toán học Trung Quốc phát triển theo hướng tính toán bằng thuật tính, tạo nên được những yếu tố cơ bản cho phương pháp đại số để giải các bài toán (phương hướng này còn kéo dài đến giữa thế kỉ XIV).
đ. Toán học sơ cấp ởẤn Độ
Do những đặc điểm kinh tế, tự nhiên, lịch sử và xã hội mà toán học ở Ấn Độ có đặc
điểm: các phương pháp tính toán bằng thuật tính rất có ưu thế; việc xây dựng hệ thống lý luận suy diễn ít được chú ý; chủ yếu phát triển đại số và số học; hình học ít phát triển và mang tính chất trực quan, nghiệm đúng.
e. Toán học sơ cấp ở Trung Á – Cận Đông
- Toán học có sự hoạt động tích cực: Người ta xây dựng các phương pháp tính khác nhau và các công cụ đo lường phục vụ cho nhu cầu thương mại, hành chính, trắc địa, thiên văn, soạn lịch,... Những thành tựu phát triển sáng tạo của toán học Trung Á - Cận Đông diễn ra vào khoảng từ thế kỷ XII đến XV với các đóng góp lớn chủ yếu về lĩnh vực số học và đại số.
- Khoảng từ giữa thế kỷ XV trở đi, do những điều kiện xã hội, chiến tranh, rối loạn về
chính trị, bị kìm hãm bởi chếđộ phong kiến và ách thực dân mà toán học ở Trung Á -Cận Đông phát triển chậm chạp, thoi thóp và ngưng trệ. Tuy vậy, nền toán học ởđây có một tác dụng rất to lớn đối với sự phát triển của toán học ở Châu Âu về sau này.
g. Toán học sơ cấp ở Châu Âu
- Trong các thế kỷ V – XI, trình độ hiểu biết về toán học ở Châu Âu rất thấp: không thấy có những phát minh và công trình toán học quan trọng.
- Phần lớn các kiến trúc khoa học mà Châu Âu tiếp thu được là nhờ việc dịch các tác phẩm toán học từ tiếng Hy Lạp, Ả rập sang tiếng la tinh (khoảng thế kỷ XII – XIII). Ở cuối mỗi cuốn sách không quên bảng hình vuông thiêng liêng (!) (trong đó tổng các số ở mỗi hàng ngang hay dọc đều bằng nhau (xem hình 2.2)).
- Từ thế kỷ XVI trởđi nền toán học Châu Âu phát triển trội hẳn lên do những yếu tố xã hội và kinh tế: Các chuyến đi biển dài (phát hiện ra Châu Mỹ 1492, vòng quanh Châu Phi lần thứ
nhất 1498, vòng quanh trái đất lần thứ nhất 1519,...); các phát kiến mới về lý thuyết Thái dương hệ của Copecnic, Galile,...
- Thế kỷ XVI là thế kỷđầu tiên mà khoa học ở Châu Âu đã vượt lên trên toán học phương
đông và cổđại với những thành tựu quan trọng về các lĩnh vực toán học, thiên văn và cơ học.
- Toán học sơ cấp ở Châu Âu tuy phát triển muộn và không có nguồn gốc từ xưa, song do thừa kếđược những di sản của toán học ở HyLap-La Mã-Ấn Độ thông qua nền toán học ở Trung Á - Cận Đông, lại được thúc đẩy bởi điều kiện thuận lợi do sự phát triển mạnh mẽ về sản xuất, kinh tế dưới chế độ xã hội mới (do giai cấp tư sản đã thay thế dần cho giai cấp phong kiến) nên từ thế kỷ XVI đã có nhiều thành tựu phát triển vượt bậc, làm nền tảng cho sự phát triển toán học
ở giai đoạn sau (giai đoạn toán học cao cấp cổđiển).
43
Đến cuối thế kỷ XVI, toán học các đại lượng không đổi đã hoàn thành khâu cuối cùng trong quá trình hình thành của mình. Trong đó tuy còn nhiều điều dang dở, chưa rõ ràng, nhưng
đã trở thành một phạm vi kiến thức khá hoàn chỉnh, gói gọn trong một hệ thống duy nhất. Dĩ
nhiên, việc nghiên cứu tiếp tục và việc hoàn thiện toán học sơ cấp vẫn được tiến hành trong các thế kỷ sau và ngay cả trong thời đại chúng ta. Nhưng có thể nói, từ thế kỷ XVII, trọng tâm nghiên cứu đã chuyển sang phạm vi toán học của các đại lượng biến thiên. Với lý do phục vụ
cho việc giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, chúng ta cần nghiên cứu kỹ giai đoạn toán học sơ cấp.
6.1.3. Giai đoạn toán học cao cấp cổđiển
6.1.3.1. Thời gian: Thế kỷ XVII- XVIII.
6.1.3.2. Đặc điểm chung
-Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chếđộ kinh tế, chính trị xã hội. Các thành tựu phát triển toán học xuất phát và chịu áp lực trực tiếp của thực tiễn.
-Trên cơ sở toán học sơ cấp ( nghiên cứu những đại lượng không đổi), về cơ bản, toán học cao cấp tiếp tục nghiên cứu những đại lượng biến đổi, những quá trình biến thiên. Có thể (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
nói, thời kỳ này TH đã thực sựđi vào nghiên cứu các yếu tố “động” với trọng tâm là hướng vào việc nghiên cứu sự hình thành của các hàm số theo các biến số.
- Ăng ghen: “Đại lượng biến thiên của Đê Các là một bước ngoặt trong toán học. Nhờ nó sự vận động và phép biện chứng đã xâm nhập vào toán học và cũng chính nhờđó, phép tính vi phân đã có cơ sởđể xuất hiện và được Newton – Lepnit hoàn thành chứ không phải do hai ông sáng tạo ra”.
6.1.3.4. Tình hình phát triển, thành tựu chính
Thế kỷ XVII mở ra hầu hết các ngành của toán học cao cấp - Hình học giải tích do Đecac – Fecma (1601 – 1665 ). - Giải tích toán học do Newton – Lepnit (1665 - 1666).
- Phép tính vi, tích phân, hình học vi phân do Huyghen, Keple, Niutơn, Lepnít. - Hình học xạảnh (1636) do Đêgiácgiơ – Pascan (1623 - 1662)
- Hình học họa hình do Mônggiơ.
- Lý thuyết xác xuất, tổ hợp do Pascan, Fecma, Huyghen, Iogan Becnuly (1667 - 1478). - Toán học sơ cấp cũng được tiếp tục hoàn thiện (với các môn đại số kí hiệu) bởi công lao của Viet, Oughtred (1631 với các ký hiệu bình phương, tam thừa,...), Valit (số dương, số âm, sốảo),...
Thế kỷ XVIII tiếp tục phát triển và phân ngành toán học cao cấp
- Lý thuyết số
Fecma làm phong phú thêm lý thuyết số với:
Định lý lớn: Phương trình n n n
x +y =z không có nghiệm nguyên dương với n > 20. Cho
đến nay người ta vẫn chưa chứng minh được bài toán tổng quát (!).
Định lý nhỏ: Nếu p∈P và (a;p) = 1 thì p1 1
a − ≡ (mod p)
- Với Ơ le (1707 – 1783 ), Lagrang và Lơgiăng lý thuyết sốđã trở thành một khoa học có hệ thống:
44
Năm 1737, bằng cách phân tích ra phân số liên tục, Ơle đã chứng minh rằng e và 2
e là siêu việt.
Năm 1766, Lambe (người Đức) đã chứng minh tính siêu việt của số π.
Gauss nghiên cứu lý thuyết số từ năm 18 tuổi (1795) theo con đường riêng với phương pháp hoàn toàn mới có tầm quan trọng phát triển lý thuyết số về sau.
Kết luận về giai đoạn toán học cao cấp cổđiển