3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.3.1Cực trị của hàm số nhiều biến số
Cho hàm số f(x, y) xác định trong một miền D nào đó, điểm M0(x0, y0) là một điểm trong của D. Ta nói rằng f(x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm trong một lân cận nào đó của M0, nhưng khácM0, hiệu số f(M)−f(M0) có dấu không đổi. Nếuf(M)−f(M0)> 0, ta có cực tiểu; nếuf(M)−f(M0)<0, ta có cực đại.
Trong phần này, ta sẽ dùng các ý hiệu sau: p = fx0(M), q = fy0(M), r = fx002(M), s =
fxy00 (M), t=fy002(M).
Định lý 3.3.1. Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng p=fx0(M), q =fy0(M) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không.
p= 0, q = 0 tại M0.
Điều kiện trên là điều kiện cần của cực trị, nó cho phép ta thu hẹp việc tìm cực trị tại những điểm mà tại đó cả p và q đều triệt tiêu hoặc không tồn tại. Những điểm ấy được gọi là điểm tới hạn.
Định lý 3.3.2. Giả sử hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai, liên tục trong một lân cận nào đó của M0(x0, y0). Giả sử tại M0 ta có p= 0, q= 0. Khi đó tại M0:
i) Nếu s2−rt <0 thì f(x, y) đạt cực trị tại M0. Đó là cực tiểu nếu r >0, là cực đại nếu r <0.
ii) Nếu s2−rt >0 thì f(x, y) không đạt cực trị tại M0.
iii) Nếu s2 −rt = 0 thì f(x, y) có thể đạt cực trị tại M0, cũng có thể không đạt cực trị tại M0 (trường hợp nghi ngờ).
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z =x3+ 2y3−12x−6y.
Giải. Ta có p= 3x2−12, q = 6y2−6, r= 6x, s= 0, t= 12y. p= 0, q = 0 khi và chỉ khi x=±2, y =±1. Vậy ta có 4 điểm tới hạn là M1(2,1), M2(2,−1), M3(−2,1), M4(−2,−1).
Tại M1, ta có r= 12, s= 0, t= 12⇒s2−rt=−144,⇒M1 là điểm cực tiểu. Tại M2, ta có r= 12, s= 0, t=−12⇒s2−rt= 144,⇒M2 không là điểm cực trị. Tại M3, ta có r=−12, s= 0, t= 12⇒s2−rt= 144, M3 không là điểm cực trị. Tại M4, ta có r=−12, s= 0, t=−12⇒s2−rt= 144, M1 là điểm cực đại.
Chú ý. Nếu tại điểmM0, ta cóp=q=r=s=t= 0, thì ta phải khai triển hàm số f theo công thức Taylor đến các số hạng cấp ba. Ta không xét trường hợp đó trong giáo trình này.
Trong trường hợp hàm số n biến số, ta phải xét dấu các số hạng cấp hai trong khai triển Taylor, tức là phần xét dấu một dạng toàn phương n biến số. Giáo trình này cũng không xét trường hợp đó.