Định nghĩa 1.6.1. Hàm sốf(x)được gọi là đạtcực đại địa phương tại x0 nếu tồn tại lân cận
(x0−ε, x0+ε)sao cho
f(x)≤f(x0) ∀x∈(x0−ε, x0+ε)∩Df.
Nếu thay cho f(x)≤f(x0) ta có f(x)< f(x0)thì ta nói f(x) đạt cực đại chặt địa phương tại x0. Các khái niệm cực tiểu địa phương và cực tiểu chặt địa phương được định nghĩa tương tự. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.
Định lý 1.6.2 (Fermat). Nếu hàm số f(x)đạt cực trị địa phương tại x0 và có đạo hàm tại đó thì f0(x0) = 0.
Về mặt hình học Định lý Fermat khẳng định rằng nếu tại điểm cực trị đồ thị của hàm số có tiếp tuyến thì tiếp tuyến là đường thẳng nằm ngang.
Định lý 1.6.3(Rolle). Nếu hàm sốf(x)liên tục trên[a, b], khả vi trong(a, b)và cóf(a) = f(b), thì sẽ có ít nhất một điểm c∈(a, b) để f(c) = 0.
Minh họa hình học.
Theo giả thiết, đồ thị của hàm số có dạng như hình vẽ (bên dưới). Định lý Rolle khẳng định rằng đồ thị của f(x) nhận một tiếp tuyến song song với dây cung AB (vì f0(c) = 0) tại điểm (c, f(c)), với c∈(a, b).
Nhận xét 1.6.4. 1) Giả thiết f(x)liên tục trên khoảng đóng [a, b] là một giả thiết không thể bỏ qua được . Chẳng hạn, xét hàm số f(x) = 8 > > < > > : x nếu 0< x≤1 1 nếu x= 0 .Hàm số này xác định trong
[0,1]nhưng không liên tục trong [0,1]nên không thể áp dụng Định lý Rolle được.
2) Giả thiết hàm số f(x)khả vi trong khoảng mở (a, b) cũng là một giả thiết không thể bỏ qua được. Chẳng hạn, xét hàm số f(x) =|x| với x∈[−1,1]; hàm số này liên tục trong [−1,1]
và f(−1) = f(1) = 1, nhưng hàm số này không khả vi trong (−1,1), do đó cũng không áp dụng Định lý Rolle được.
3) Như trong nói về minh họa hình học của Định lý Rolle ở trên, chúng ta đã nói rằng nếu thỏa các giả thiết về liên tục, khả vi và nếu f(a) = f(b)thì đồ thị củaf(x)có tiếp tuyến song song với dây cung AB (điều đó là bản chất), hơn nữa vì f(a) = f(b)nên dây cungAB lại song song với trục hoành và do vậy tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng không, nghĩa là f0(c) = 0. Vì vậy nếu dùng một phép quay hệ tọa độ một góc θ nào đó thì đồ thị vẫn có tiếp tuyến song song dây cung AB nhưng tiếp tuyến đó không còn song song với trục hoành nữa.
Nhận xét này dẫn đến Định lý sau.
Định lý 1.6.5 (Định lý Lagrange về số gia hữu hạn). Cho hàm số f(x)liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b). Khi đó tồn tại một điểm c∈(a, b) sao cho
f(b)−f(a)
b−a =f
0(c). (1.8)
Nhận xét 1.6.6. 1) Công thức (1.8) còn có dạng
f(b)−f(a) =f0(c)(b−a). (1.9) Tuy xuất phát từ công thức (1.8) nhưng công thức (1.9) có một ý nghĩa đặc biệt, đóng vai trò rất cơ bản trong nhiều ứng dụng đa dạng trong giải tích: biến đổi một hiệu số thành một tích số (giống như các hằng đẳng thức đáng nhớ quen thuộc trong đại số sơ cấp) và thường được dùng để xét dấu của hiệu f(b)−f(a) hay để ước lượng |f(b)−f(a)|.
2) Nếu trong công thức (1.9) ta thay a bởi x và b bởix+h thì ta có:
với c là một số ở giữa x và x+h.
So sánh công thức (1.10) và công thức biểu diễn số gia hàm số
f(x+h)−f(x) =f0(x)h+o(h), (1.11) ta thấy (1.10) đã dồn o(h) vào giá trị đạo hàm tại x=c.
Nếu θ là một số dương nằm giữa 0 và 1, 0 < θ <1, thì vì c ở giữa x và x+h nên có thể viếtc=x+θh, 0< θ <1.
Như thế công thức (1.10) có dạng
f(x+h)−f(x) =f0(x+θh)h. (1.12) So sánh hai biểu thức (1.10) và (1.12) có thể thấy rằng nội dung của chữ "giá trị trung bình" ở đây là giá trị trung bình của đạo hàm của f(x).
3) Nếu quan tâm đến minh họa hình học của Định lý Lagrange thì sẽ dẫn đến một kết quả giải tích tổng quát hơn Định lý Lagrange. Thật vậy, nếu chuyển đường cong sang dạng tham sốx=g(t), y=f(t)với t ∈[α, β] và g(α) =a, g(β) =b, thì hệ số góc của dây cung AB sẽ là
f(β)−f(α)
g(β)−g(α)
và hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (xem mục đạo hàm theo tham số) là f
0(γ) g0(γ), nghĩa là f(β)−f(α) g(β)−g(α) = f0(γ) g0(γ). Chính nhận xét này dẫn đến Định lý sau.
Định lý 1.6.7 (Cauchy). Cho f(x), g(x)là hai hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trong khoảng
(a, b) và g(a)6=g(b), g0(x)6= 0 với mọi x∈(a, b). Khi đó tồn tại c∈(a, b) sao cho f(b)−f(a)
g(b)−g(a) =
f0(c)
g0(c). (1.13)
Để ý rằng, trường hợp đặc biệt khi chọn g(x) := x thì công thức (1.13) cho lại công thức (1.8), nghĩa là Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lý Cauchy; mặt khác khi f(b) =f(a)thì công thức (1.8) lại cho công thứcf0(c) = 0, tức là Định lý Lagrange là mở rộng của Định lý Rolle.