3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1.2 Tập hợp trong Rn
* Giả sửM(x1, x2, ..., xn), N(y1, y2, ..., yn)là hai điểm trongRn. Khoảng cách giữa hai điểm ấy, ký hiệu là d(M, N), được cho bởi công thức
d(M, N) = Xn i=1
(xi−yi)21 2.
Có thể chứng minh rằng với ba điểm A, B, C bất kì trong Rn, ta có d(A, C)≤d(A, B) +d(B, C) (bất đẳng thức tam giác).
* M0 là một điểm thuộc Rn. Người ta gọi ε-lân cận của M0 là tập hợp tất cả những đi M ∈Rnsao chod(M0, M)< ε. Người ta gọi lân cận củaM0 là các tập hợp chứa một ε-lân cận nào đó của M0.
* E là một tập hợp trong Rn. Điểm M ∈E được gọi là điểm trongcủa E nếu tồn tại một ε-lân cận nào đó của M mà nằm hoàn toàn trong E. Tập hợp E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
* Điểm N ∈ Rn được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi ε-lân cận của N đều vừa chứa những điểm thuộcE, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E, có thể không. Tập hợp tấ cả những điểm biên của E được gọi là biên của E.
* Tập hợpE được gọi làđóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là một bộ phận của E).
Ví dụ.
E ={M ∈Rn
:d(M0, M)< r, M0 ∈Rn
(cho trước)}là mở.
Tập hợp E ấy được gọi làquả cầu mở tâmM0, bán kính r. Biên của tập hợp ấy gồm những điểm M sao cho d(M0, M) =r, được gọi là mặt cầu tâm M0, bán kínhr. tập hợp những điểm M sao cho d(M0, M)≤r là một tập đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm M0, bán kínhr.
* Tập hợpE được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.
* Tập hợp E được gọi làliên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳM1, M2 của E bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong E; tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (hình a)), làđa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kính rời nhau từng đôi một (hình b)).