3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1.4 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
* Ta nói rằng dãy điểmMn(xn, yn) dần tới điểmM0(x0, y0) trongR2 và viếtMn →M0 khi n → ∞nếu lim
n→∞d(Mn, M0) = 0 hay nếu lim
n→∞xn=x0, lim
n→∞yn =y0.
* Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0, y0), có thể trừ tại M0. Ta nói rằng hàm sốf(M)cógiới hạn l khi M(x, y)dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn)(khác M0) thuộc lân cậnV dần đến M0 ta đều có
lim n→∞f(xn, yn) =l. Khi đó ta viết lim (xn,yn)→(x0,y0)f(x, y) = l hay lim M→M0 f(M) =l.
Cũng như khi xét giới hạn của hàm số một biến số, có thể chứng minh rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau: Hàm số f(M) có giới hạn l khi M dần đến M0 nếu
∀ε >0,∃δ >0sao cho
d(M, M0)< δ ⇒ |f(M)−l|< ε.
Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Chẳng hạn
1
x2+y2 →+∞ khi (x, y)→(0,0).
* Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự.
Ví dụ. 1) Tìm lim
(x,y)→(0,0)f(x, y),với f(, x, y) = xy
x2+y2.
Hàm số f(x, y) xác định trênR2\ {(0,0)}. Nếu cho (x, y)→(0,0) theo phương của đường thẳng y=kx, ta có f(x, kx) = k 1 +k2 khi x6= 0. Do đó lim x→0f(x, kx) = k 1 +k2.
Vậy khi(x, y)→(0,0) theo những phương khác nhau, f(x, y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó không tồn tại lim
(x,y)→(0,0)f(x, y). 2) Tìm lim
(x,y)→(0,0)g(x, y), với g(, x, y) = √ xy
Hàm số g(x, y) xác định trênR2\ {(0,0)}. Vì |x| √ x2+y2 ≤1,∀(x, y)6= (0,0)nên |g(x, y)|= |x| √ x2+y2|y| ≤ |y|. Vậy lim (x,y)→(0,0)g(x, y) = 0. 3) Tìm lim (x,y)→(0,0)h(x, y), với h(x, y) = xy 3 2x2 + 3y6.
Hàm số h(x, y) xác định trên R2\ {(0,0)}. Nếu cho (x, y)→(0,0)theo phương của đường thẳng y=kx, ta có
h(x, kx) = k
3x2
2 + 3k6x4∀x6= 0.
Do đó h(x, y)→0khi (x, y)→(0,0)theo mọi phương y=kx. Nhưng điều đó không có nghĩa là giới hạn phải tìm tồn tại và bằng 0. Thật vậy, nếu cho(x, y)→(0,0)trên đườngx=y3, ta có h(y3, y) = y 6 5y6 = 1 5. Do đó h(x, y)→ 1
5 khi (x, y)→(0,0) dọc theo đường parabol bậc ba x=y3.