Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm số liên tục.
Định lý 1.3.9(về giá trị trung gian).Nếu hàm sốf(x)liên tục trên đoạn[a, b]vàf(a).f(b)<0. Khi đó tồn tại c∈(a, b) sao cho f(c) = 0.
Chứng ming của Định lý 1.3.9 có sử dụng phương pháp gọi làphương pháp chia đôi. Người ta thường dùng phương pháp này để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình f(x) = 0. (xem [5, tr. 96 - 98]).
Ta có hệ quả của Định lý 1.3.9 như sau.
Hệ quả 1.3.10. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì nó đạt mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).
Chính vì nội dung của hệ quả này mà Định lý 1.3.9 mang tên Định lý về các giá trị trung gian của hàm liên tục.
Ví dụ 1.3.11. Xét hàm số f(x) = sinx. Như đã biết hàm số sinx liên tục, chẳng hạn trên
0,π
2
. Hơn nữa, sin 0 = 0,sinπ
2 = 1. Do vậy với 0< r < 1, phương trình sinx =r có ít nhất
một nghiệm thuộc khoảng
0,π
2
.
Định lý 1.3.12 (Weierstrass 1). Hàm số liên tục trên một đoạn thì giới nội trên đoạn đó. Định lý 1.3.13 (Weierstrass 2). Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Ngoài các tính chất cơ bản trên hàm số liên tục còn có một số tính chất liên quan đến tính đơn ánh, toàn ánh cũng như ánh xạ ngược của nó (nếu có), và cả tính đơn điệu. (Xem [5, tr. 101 - 105]).
Định nghĩa 1.3.14. Hàm số f(x) xác định trong khoảng I được gọi là liên tục đều trong I nếu với ε >0 bất kỳ, luôn tìm được δ(ε)> 0 sao cho với bất kỳ u, v ∈ I thỏa |u−v| < δ thì
|f(u)−f(v)|< ε.
(⇔ ∀ε >0,∃δ(ε)>0 :∀u, v ∈I,|u−v|< δ =⇒ |f(u)−f(v)|< ε.)
Vậy hàm liên tục đều trong I thì liên tục trong I, nhưng ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.3.15. 1) Hàmf(x) =x2 liên tục đều trong(0,1). Thật vậy, choε >0. Để tìmδ(ε)ta thấy với mọiu, v ∈(0,1) thì |f(u)−f(v)|=|u2−v2|<2|u−v|. Do đó lấy δ(ε) = ε
2 thì định
nghĩa được thỏa mãn. 2) Hàm f(x) = 1
x không liên tục đều trên(0,1). Thật vậy, ta sẽ chứng minh điều phủ định của định nghĩa liên tục đều, tức là ∃ε >0,∀δ :∃u, v ∈(0,1),|u−v|< δ và |f(u)−f(v)| ≥ε.
Ta chọn ε = 1. Khi đó ∀δ >0 :∃n0 ∈N, 1 n0 − 1 n0+ 2 = 2 n0(n0+ 2) < δ. Do vậy chỉ cần chọn u= 1 n0, v = 1 n0+ 2 thì |u−v|< δ mà |f(u)−f(v)|= 2>1 =ε. Định lý sau chỉ ra điều kiện đủ để một hàm liên tục là liên tục đều.
Định lý 1.3.16 (Cantor). Hàm liên tục trên một đoạn thì liên tục đều trên đoạn đó.