3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1.5Tính liên tục của hàm số nhiều biến số
* Giả sử hàm số f(M) xác định trong miềnD,M0 là một điểm thuộc D. Ta nói rằng hàm sốf(M)liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn
lim M→M0
f(M) = f(M0). Nếu miền D đóng, M0 là một điểm biên của D thì lim
M→M0
f(M) được hiểu là giới hạn của f(M) khiM dần đến M0 ở bên trong D.
Giả sửM0 có tọa độ là(x0, y0), M có tọa độ là(x0+ ∆x, y0+ ∆y). Đặt∆f =f(x0+ ∆x, y0+ ∆y)−f(x0, y0). Khi đó, định nghĩa trên có thể phát biểu như sau: Hàm sốf(x, y)được gọi là liên tục tại (x0, y0) nếu nó xác định tại đó và nếu ∆f →0khi ∆x→0,∆y→0.
Hàm số f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. * Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 sao cho với mọi cặp điểm M, M0 thuộcD mà d(M, M0)< δ ta đều có
|f(M)−f(M0)|< ε
* Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó bị chặn
trong miền đó, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó trong miền đó, và liên tục đều trong miền đó.
Ví dụ. Khảo sát tính liên tục của hàm số
f(x, y) = 8 > > < > > : |xy|α x2+y2 nếu (x, y)6= (0,0) 0 nếu (x, y) = (0,0) , trong đó α là một hằng số dương.
Giải.f(x, y) liên tục∀(x, y)6= (0,0) vì là thương của hai hàm số liên tục mà mẫu số khác không. Vậy chỉ cần xét tại điểm (0,0). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
|xy| ≤ 1 2(x 2 +y2)⇒ |f(x, y)| ≤ 1 2α(x2+y2)α−1. Do đó nếuα >1 thì lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0, vậyf(x, y)liên tục tại (0,0). Giả sửα ≤1. Ta có
f(x, x) = x
2α
2x2 = 1 2x2(1−α)
không dần tới 0 khi x→0, vậyf(x, y) không liên tục tại (0,0).