1. Diễn giải công thức
Cũng như mô hình nhị phân, mô hình Black – Scholes cũng được giả định quyền chọn được định giá theo rủi ro không đổi hay nói cách khác là giả định rằng nhà đầu tư là chấp nhận rủi ro (risk neautral). Với giá cổ phiếu cho trước, giá của
một danh mục phi rủi ro. Giá quyền chọn thu được sau đó như là hàm số của giá cổ phiếu và các biến số khác. Chúng ta sẽ tìm thu nhập kỳ vọng của quyền chọn và chiết khấu nó theo lãi suất phi rủi ro.
Trong công thức Black – Scholes có hai thành phần bên vế phải.
Nhân thành phần đầu tiên bên vế phải của mô hình với , ta có:
Biểu thức này là giá trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện là giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện nhân với xác suất giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện khi đến hạn, tuy nhiên N(d1) không phải là xác suất đó. Nó chỉ là thành phần của
toàn bộ biểu thức. Sau khi nhân với , thành phần thứ hai trong vế phải của
công thức Black – Scholes, ta có:
Là giá trị kỳ vọng của khoản chi trả theo giá thực hiện khi đáo hạn. Đặc biệt, N(d2) là xác suất ứng với nhà đầu tư chấp nhận rủi ro mà X sẽ được chi trả khi đáo
hạn. Vì vậy, là khoản chi trả theo giá thực hiện kỳ vọng khi đáo
hạn. Chiết khấu các biểu thức này theo lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục -tức là nhân
với ta được:
)
2. Công thức Black – Schloes và giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu Châu Âu
Giới hạn dưới của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu là:
Để mô hình Black – Scholes tuân thủ theo giới hạn dưới này, giá theo mô hình luôn luôn phải không chấp nhận thấp hơn mức giá trị này. Khi S0 rất cao, d1 và d2 tiến
đến +∞ làm cho N(d1) và N(d2) tiến đến 1. Khi đó, công thức Black – Scholes trở
thành . Khi S0 rất thấp, d1 và d2 tiến đến -∞làm cho N(d1) và
N(d2) tiến đến 0. Vì vậy, công thức Black – Scholes có giới hạn dưới là . Khi S0 là rất cao, công thức sẽ đúng bằng giới hạn dưới.
Khi T tiến đến 0, thành phần thứ hai ở vế phải biến mất. Xét thành phần thứ nhất:
Nếu ST > X thì: ST/X > 1, ln(ST/X) > 0, và d1 tiến đến +∞ Nếu ST < X thì: ST/X < 1, ln(ST/X) < 0 và d1 tiến đến -∞ Nếu ST = X thì: ST/X = 1, ln(ST/X) = 0 và d1 tiến đến -∞
Nếu d1 tiến đến +∞, thì d2 cũng tiến đến +∞. Nếu d1 tiến đến -∞ thì d2 cũng tiến đến -∞. Nếu d1 hoặc d2 tiến đến +∞, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 1. Nếu d1 hoặc d2
tiến đến -∞, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 0. Vì vậy, khi T = 0, công thức Black – Scholes biến đổi như sau:
Nếu ST > X,
ST/X > 1, ln(ST/X) > 0, d1 tiến đến +∞, và d2 tiến đến +∞, N(d1) tiến đến 1,
N(d2) tiến đến 1, và vì =1, công thức trở thành ST – X.
Nếu ST ≤ X,
ST/X ≤ 1, ln(ST/X) ≤ 0, d1 tiến đến -∞, và d2 tiến đến -∞, N(d1) tiến đến 0, N(d2) tiến đến 0, và công thức trở thành 0 – 0 = 0
Vì vậy công thức trở thành Max(0, ST – X).
4. Công thức Black – Scholes khi S0 = 0
Giả định rằng trước khi đáo hạn, giá cổ phiếu tiến đến 0 (đối với trường hợp công ty đã hoàn toàn chết). Chúng ta thấy rằng khi giá cổ phiếu tiến đến 0, logarit tự nhiên của S0/X tiến đến -∞. Khi đó d1 và d2 tiến đến -∞, nghĩa là N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 0. Điều này làm công thức Black – Sholes tiến đến 0.
5. Công thức Black – Scholes khi 0
Khi σ tiến đến 0, thành phần thứ hai của d1 tiến đến 0. Ta xét thành phần thứ nhất.
Nếu S0 > ⇒S0/ > 1⇒ ln(S0/ ) > 0 và d1
sẽ tiến đến +∞, N(d1) và N(d2) tiến đến 1, giá quyền chọn mua trở thành S0 -
. Điều này có nghĩa là khi đáo hạn người sở hữu quyền chọn mua sẽ chi trả X,
có hiện giá là , và sẽ nhận được cổ phiếu hiện tại có giá trị S0 và chắc
chắn nhận được giá trị này khi đáo hạn. Vì vậy hiện tại quyền chọn mua có giá trị S0 - .
Nếu S0 ≤ ⇒S0 ≤ 1⇒ ln(S0 )≤0, và
d1sẽ tiến đến -∞,N(d1) và N(d2) tiến đến 0. Lúc đó giá trị quyền chọn tiến đến 0.
6. Công thức Black – Scholes khi X = 0
Khi X = 0, một quyền chọn mua tương đương với một cổ phiếu. Khi đó d1 và d2
tiến đến +∞, N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 1. Công thức Black – Scholes trở thành S0(1) – 0(1) = S0.
7. Công thức Black – Scholes khi rc = 0
Lãi suất phi rủi ro bằng 0 không phải là một trường hợp đặc biệt. Không nhất thiết phải có một mức lãi suất dương, và công thức Black – Scholes không trở thành bất kỳ một giá trị đặc biệt nào.
D. KẾT LUẬN
Mục tiêu cuối cùng của lý thuyết định giá quyền chọn là cung cấp cho ta những hiểu biết về nguyên tắc định giá cũng như các mô hình định giá khác nhau, nhằm có thể xác định được một cách chính xác giá của quyền chọn, giúp chúng ta có thể sử dụng quyền chọn một cách tối ưu phục vụ cho mục đích quản lý rủi ro. Chúng ta vừa được tìm hiểu về các phương pháp định giá quyền chọn, tuy nhiên mỗi phương pháp
là một mô hình định giá quyền chọn mang tính tương quan. Để định giá quyền chọn bán, chúng ta cần biết giá quyền chọn mua; để định giá quyền chọn mua, chúng ta phải biết giá quyền chọn bán. Đối với phương pháp định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân, ta có thể sử dụng nó một cách linh hoạt để định giá cho quyền chọn kiểu Mỹ thực hiện sớm. Tuy nhiên, nếu số thời kỳ quá ít và rời rạc, có thể giá của quyền chọn sẽ không được định giá một cách chính xác. Cuối cùng, đối với phương pháp định giá quyền chọn bằng mô hình Black – Scholes, một mô hình sử dụng khuôn khổ mô hình thời gian liên tục để định giá quyền chọn, giúp ta có thể định giá quyền chọn với độ chính xác cao. Tuy nhiên, hạn chế của mô hình này đó là không thể áp dụng để định giá cho quyền chọn kiểu Mỹ. Như vậy, để định giá quyền chọn, chúng ta cần cân nhắc xem mô hình nào là phù hợp nhất với loại quyền chọn mình đang muốn định giá, để có thể mang lại cho ta một kết quả chính xác nhất, nhằm phục vụ tốt nhất cho việc quản lý rủi ro.
Tài liệu tham khảo:
TS. Nguyễn Thị Ngọc Trang, giáo trình “Quản trị rủi ro tài chính” (NXB thống kê) chương 5, 6, 7 trang 157 đến 310.
GS.TS. Trần Ngọc Thơ, PGS.TS. Nguyễn Ngọc Định, giáo trình “Tài chính quốc tế” chương 5, 6, 7 trang 157 đến 310.
Aswath Damodaran, “Investment Valuation – Định giá đầu tư” (NXB tài chính) chương 6 trang 85 đến 118.
TS. Bùi Lê Hà, TS Nguyễn Văn Sơn, TS. Ngô Thị Ngọc Huyền, ThS. Nguyễn Thị Hồng Thu, “Giới thiệu về Thị trường Future và Option”
(NXB thống kê) chương 10, 11 trang 292 đến 336.
TS. Nguyễn Minh Kiều, “Quản trị rủi ro tài chính” (NXB thống kê) chương 2 trang 65 đến 91.