II. Mô hình nhị phân hai thời kỳ 1 Định nghĩa và các giả định
2. Định giá một quyền chọn mua bằng mô hình nhị phân hai thời kỳ
Xem xét một trường hợp quyền chọn mua 1 cổ phiếu có giá được kí hiệu là S. Quyền chọn mua này còn giá trị hai thời kỳ nữa thì hết hiệu lực. Ngày bắt đầu thời kỳ là hôm nay và được gọi là thời điểm 0. Ngày kết thúc thời kỳ được gọi là thời điểm 2.
Vào cuối thời kỳ đầu tiên, giá cổ phiếu có thể tăng lên Su hoặc giảm xuống Sd. Nếu cuối thời kỳ 1, giá cổ phiếu tăng lên Su thì khi quyền chọn hết hiệu lực vào thời điểm 2, giá cổ phiếu có thể tiếp tục tăng lên thành Su2 hoặc giảm xuống Sud,
và giá quyền chọn sẽ là hoặc .
Tương tự, nếu cuối thời kỳ 1, giá cổ phiếu giảm xuống Sd thì khi quyền chọn hết hiệu lực vào thời điểm 2, giá cổ phiếu có thể tăng lên Sdu hoặc giảm xuống Sd2 và
giá quyền chọn sẽ là và .
Tương ứng với giá cổ phiếu vào thời điểm đáo hạn là Su2, Sud và Sd2, ta có giá quyền chọn lần lượt là:
= Max[0, Su2 – X] = Max[0, Sud – X] = Max[0, Sd2 – X]
Hình 10: Đường đi của giá cổ phiếu và quyền chọn
B E E D Su Cu Su2 Cu2 Sud Cud
Mục tiêu cuối cùng của chúng ta là đi tìm giá quyền chọn C tại thời điểm 0. Ta sẽ định giá quyền chọn C tại nút A bằng cách bắt đầu từ điểm cuối của cây nhị phân (thời điểm 2) và tính ngược trở lại. Đầu tiên, ta sẽ tính giá trị quyền chọn Cu ở nút B bằng cách tập trung vào phần cây được tách ra.
Ta có thể coi đây là một cây nhị phân một thời kỳ và dễ dàng tính được Cu. Cu
sẽ bằng bình quân có trọng số của hai giá trị và được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ.
Tương tự, ta tính được Cd:
Tiếp theo, ta sẽ đi tính giá trị C ở nút A. Chúng ta đã biết giá trị Cu và Cd, tiếp tục sử dụng công thức định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân một thời kỳ để tính C. Giá trị của C sẽ bằng bình quân có trọng số của hai mức giá khả thi trong tương lai của quyền chọn mua là Cu và Cd được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ.
Thế Cu và Cd vào công thức tính C, ta sẽ có được công thức tính trực tiếp giá của quyền chọn C trong mô hình nhị phân hai thời kỳ:
Nhận xét:
Giá trị của quyền chọn mua là một bình quân có trọng số của ba
giá trị khả thi vào ngày đáo hạn của quyền chọn sau hai thời kỳ được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro r về thời điểm hiện tại.
Công thức này không được xây dựng chỉ từ một danh mục
phòng ngừa duy nhất như ở mô hình nhị phân một thời kỳ. Ở thời kỳ đầu tiên, ta sẽ xây dựng một danh mục phòng ngừa gồm h cổ phiếu cho mỗi vị thế bán quyền chọn mua. Tuy nhiên, đến cuối thời kỳ 1, để tiếp tục duy trì vị thế phòng ngừa cho đến cuối thời kỳ 2, chúng ta cần phải điều chỉnh lại tỷ số phòng ngừa. Cụ thể, nếu giá cổ phiếu mới là Su thì ta gọi tỷ số phòng ngừa mới là hu; nếu giá cổ phiếu mới là Sd thì ta gọi tỷ số phòng ngừa mới là hd:
3. Ví dụ minh họa
Xét một quyền chọn mua còn hiệu lực trong hai thời kỳ nữa. Hiện tại, giá của cổ phiếu cơ sở là $100. Một kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20%. Quyền chọn mua với giá thực hiện là $100. Lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ là 7%.
a. Xác định giá quyền chọn mua
Giá cổ phiếu tại ngày đáo hạn có thể là: Su2 =100(1,25)2 =156,25
Sud =100(1,25)(0,80) =100 Sd2 =100(0,80)2 = 64
= Max[0, Su2 – X] = Max[0; 156,25 – 100] = 56,25 = Max[0, Sud – X] = Max[0, 100 – 100] = 0 Max[0, Sd2 – X] = Max[0, 64 – 100] = 0
Giá trị của p thì giống nhau bất chấp số lượng thời kỳ trong mô hình là bao nhiêu.
Ta có:
Suy ra:
Nhận xét:
Ta thấy, giá của quyền chọn mua trong mô hình nhị phân hai thời kỳ là $17,69>$14,02 là giá quyền chọn mua trong mô hình nhị phân một thời kỳ. Điều này hoàn toàn hợp lý, vì theo nguyên tắc định giá quyền chọn mua thì, một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn dài hơn sẽ không bao giờ có giá trị nhỏ hơn một quyền chọn mua có thời gian đáo hạn ngắn hơn.
b. Danh mục phòng ngừa
Giả sử quyền chọn mua có giá trị lý thuyết là $17,69. Danh mục phòng ngừa bao gồm vị thế bán 1.000 quyền chọn mua và số lượng cổ phần được mua tại thời
Do đó, chúng ta mua 701 cổ phần với giá $100 = $70.100 (tài sản) và bán 1000 quyền chọn mua với giá $17,69=-$17.690 (nợ). Như vậy thực tế, chúng ta chỉ đầu tư thuần $70.100 - $17.690 = $52.410 (giá trị thuần). Giá trị của danh mục phòng ngừa tại các thời điểm 1 và 2 kế tiếp được cho bởi mô hình nhị phân hai thời kỳ sau.
Từ mô hình, ta thấy bất chấp giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục phòng ngừa cũng cho một tỷ suất sinh lợi 7% cho mỗi thời kỳ.
c. Quyền chọn mua bị định giá sai
Nếu quyền chọn mua bị định giá sai tại thời điểm 0 thì Luật một giá bị vi phạm và một cơ hội arbitrage tồn tại. Nếu quyền chọn mua bị định giá thấp, chúng ta nên mua nó và bán khống h cổ phần. Nếu quyền chọn mua bị định giá cao, chúng ta nên bán nó và mua h cổ phần. Tỷ suất sinh lợi của hai thời kỳ là một trung bình nhân của hai tỷ suất sinh lợi một thời kỳ.Tỷ suất sinh lợi kiếm được trong toàn bộ hai thời kỳ sẽ cao hơn lãi suất phi rủi ro nếu quyền chọn bị định giá sai tại thời điềm 0 và nhà đầu tư biết lựa chọn vị thế mua hoặc bán thích hợp và duy trì tỷ số phòng ngừa hợp lý.
S = 100C = 17,69 C = 17,69 (18) h = 0,701
Giữ 701 cp giá 100$, bán 1000 quyền chọn mua giá 18$ V = 7,01(100) – 1000(18) = 52100 Su = 125 Cu = 31,54 (30) Vu = 701(125) – 1000(30) = 57625 r = (57625/52100)-1 10,6% hu = 1
Mua 1701 quyền chọn mua hết 51030$ (1701 x 30), bán 1402 cp thu 175250$
Giữ 701 quyền chọn mua giá 30$, bán khống 701 cp giá 125$, đầu tư 175250 – 51030 = 124220 vào TP Su2 = 156,25 = 56,25 = 701(56,25)-701(156,25) + 124220(1,07) = 62815,4 r =(62815,4/57625) - 1 9% Có rất nhiều kết quả có thể xảy ra cho một danh mục phòng ngừa, do đó, ở đây
chúng ta sẽ chỉ xem xét những trường hợp một cách tổng quát nhất. Cụ thể ta sẽ xem xét trường hợp mà tại thời điểm 0, giá quyền chọn được định giá cao. Kết quả được thể hiện trong bảng sau:
Riêng với trường hợp quyền chọn mua được định giá cao vào thời điểm 0 và bị định giá thấp vào cuối thời kỳ 1, ta sẽ cùng xem xét một ví dụ bằng số để hiểu rõ hơn. Lấy số liệu như trong ví dụ ở phía trên.
Giả sử, tại thời điểm 0, giá quyền chọn trên thị trường là $18, cao hơn giá trị lý thuyết mà ta tính được là $17,69. Ở đây ta chỉ ví dụ một trường hợp khi cuối thời kỳ 1, giá cổ phiểu tăng lên $125; lúc này, giá quyền chọn trên thị trường là $30, thấp hơn giá trị lý thuyết là $31,54. Cuối thời điểm 1, ta cần đóng vị thế danh mục phòng ngừa trong thời kỳ 1 và lập một danh mục phòng ngừa mới cho thời kỳ thứ hai. Kết quả được thể hình trong mô hình dưới đây.
Như vậy, tỷ suất sinh lợi đạt được trong hai thời kỳ lần lượt là 10,6% và 9%, tỷ suất sinh lợi chung cho 2 thời kỳ là
Tất cả đều lớn hơn lãi suất phi rủi ro 7%. Kết quả phù hợp với bảng ở trên.