III. Mở rộng của mô hình nhị phân 1 Định giá quyền chọn bán
5. Mô hình nhị phân với một lượng lớn n thời kỳ và thời gian đáo hạn của quyền chọn được cố định
quyền chọn được cố định
Trong các mô hình trên, khi chúng ta tăng số thời kỳ lên, đồng nghĩa với việc ta đã kéo dài thêm đời sống của quyền chọn. Do đó, các thông số như lãi suất phi rủi ro r, tỷ lệ tăng giảm giá u, d và xác suất chấp nhận rủi ro p trong một thời kỳ không bị thay đổi.
Tuy nhiên, khi chúng ta xét một quyền chọn có thời gian đáo hạn đã cố định, ta có thể xác định giá quyền chọn bằng cách chia đời sống của quyền chọn đó ra làm một thời kỳ, hai thời kỳ… n thời kỳ. Khi làm như vậy, ta cần điều chỉnh các thông số r, u, d, p như sau:
Lãi suất phi rủi ro sử dụng cho mô hình nhị phân: Tham số nhị phân tăng:
Tham số nhị phân giảm:
Với σ là độ bất ổn của giá cổ phiếu, n là số thời kỳ, r là lãi suất phi rủi ro. Xem xét ví dụ sau:
Xét giá trị quyền chọn mua của AOL tháng 6 với giá S = 125,9375, X = 125, r = 4,56%, T = 0,0959, σ = 0,83. Giá thực tế của quyền chọn là 13,50. Khi số lượng thời kỳ n tăng lên, kết quả được cho bởi bảng sau:
Bảng 6.2:Giá trị quyền chọn mua của AOL tháng 6 với giá thực hiện 125 theo mô hình
nhị phân khi n tăng lên
n u d r p C 1 1,2931 0,7733 0.004285 0,4443 16,75 2 1,1993 0,8338 0,002140 0,4605 12,33 5 1,1218 0,8914 0.000856 0,4750 14,20 10 1,0847 0,9219 0,000428 0,4823 13,35 25 1,0528 0,9498 0,000171 0,4888 13,68 50 1,0370 0,9643 0,000086 0,4921 13,53 100 1,0260 0,9747 0,000043 0,4944 13,56 200 1,0183 0,9820 0,000021 0,4960 13,56
Ta có thể nhận xét rằng, giá của quyền chọn là 13,56 với số bước thời gian là 100 hoặc 200. Giá này gần sát với giá thực tế của quyền chọn.
Đồ thị minh họa giá quyền chọn nhị phân trong trường hợp này với số bước thời gian tăng 5 bước một lần, bắt đầu từ n =5 và kết thúc với n = 200.
Chúng ta thấy rằng, giá quyền chọn giao động xung quanh và bắt đầu ổn định ở số bước thời gian là 100. Như vậy, nếu chúng ta giữ nguyên đời sống của quyền chọn nhưng chia nhỏ các khoảng cách thời gian ra để làm tăng số lượng thời kỳ thì kết quả của mô hình nhị phân sẽ hội tụ về một giá trị nhất định. Giá trị này trở thành giá mô