Phần này trình bày các tiến trình trong toán học xác suất phục vụ cho việc xây dựng mô hình nút biên với các tiến trình đến của chùm đƣợc trình bày trong chƣơng sau. Các tiến trình đƣợc giới thiệu ở đây gồm: tiến trình điểm, tiến trình Poisson, tiến trình Maxkov, và tiến trình sinh/tử. Các tiến trình này tham khảo trong tài liệu của Andreas Willig và các tác giả trong [16]. Sau đây sẽ đi vào xem xét từng tiến trình cụ thể.
3.1.1. Tiến trình điểm
Các tiến trình đến là một tiến trình điểm ngẫu nhiên, với tiến trình này chúng ta có khả năng phân biệt hai sự kiện với nhau. Các thông tin về sự đến riêng lẻ (nhƣ thời gian phục vụ, số khách hàng đến) không cần biết, do vậy thông tin chỉ có thể dùng để quyết định xem một sự đến có thuộc quá trình hay không.
Mô tả tiến trình
Chúng ta xem xét qui luật của tiến trình điểm thông thƣờng, nghĩa là loại trừ các tình huống đến kép. Xét số lần cuộc gọi đến với cuộc gọi thứ i tại thời điểm Ti :
0 = T0 < T1 < T2 < < ……..< Ti < Ti+1< ……
Lần quan sát thứ nhất tại T0 = 0.
Số các cuộc gọi trong nửa khoảng thời gian mở [0, t] là Nt, ở đây Nt là một biến ngẫu nhiên với các tham số thời gian liên tục và thời gian rời rạc, khi t tăng thì Nt không bao giờ giảm.
Khoảng thời gian giữa hai lần đến là:
Xi = Ti - Ti-1
Khoảng thời gian này gọi là khoảng thời gian giữa hai lần đến. Sự phân bố của tiến trình này gọi là sự phân bố khoảng đến.
Tƣơng ứng với hai biến ngẫu nhiên Nt và Xi, hai tiến trình này có thể đƣợc mô tả theo hai cách:
Cách biểu diễn số Nt : khoảng thời gian t giữ không đổi, và ta xét biến ngẫu nhiên Nt cho số cuộc gọi trong khoảng thời gian t.
Cách biểu diễn khoảng ti : số các cuộc gọi đến là hằng số (n), và ta xét biến ngẫu nhiên ti là khoảng thời gian diễn ra n cuộc gọi.
Mối quan hệ căn bản giữa hai cách biểu diễn thể hiện đơn giản nhƣ sau:
Nt < n khi và chỉ khi n i i n X t T 1
Điều này đƣợc biểu diễn bằng đẳng thức Feller - Jensen :
t T p n N p t n với n = 1, 2,…..
Phân tích tiến trình điểm có thể dựa trên cả hai cách này, về nguyên tắc chúng tƣơng đƣơng với nhau. Cách biểu diễn khoảng thời gian tƣơng ứng với việc phân tích chuỗi thời gian thông thƣờng.
Cách biểu diễn số không song song với phân tích chuỗi thời gian. Số liệu thống kê đƣợc tính toán trên mỗi đơn vị thời gian và ta có các mức trung bình thời gian.
Đặc tính của tiến trình điểm
Phần này xem xét đặc tính của tiến trình điểm thông qua cách biểu diễn số.
Tính dừng (tính đồng nhất thời gian)(Stationarity-time homogeneity):
Tính chất này có thể mô tả là cho dù ở vị trí nào trên trục thời gian cũng vậy, phân bố xác suất tiến trình điểm là độc lập với thời điểm quan sát. Định nghĩa sau đây đƣợc sử dụng trong thực tế:
Định nghĩa: Cho tuỳ ý t2 > 0 và với mỗi k 0. Xác suất mà k cuộc gọi đến trong khoảng thời gian [t1, t1+t2] là độc lập với t1, nghĩa là với mọi t, k ta có: k N N p k N N p ( t1 t2 t1) ( t1 t2 t t1 t)
Đây là một trong nhiều định nghĩa về tính dừng của tiến trình điểm các cuộc gọi đến.
Tính độc lập (Independence)
Tính chất này thể hiện là: tƣơng lai của tiến trình chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại.
Định nghĩa: xác suất có k sự kiện (với k nguyên và lớn hơn hoặc bằng 0) trong khoảng [t1, t1+t2] là độc lập với các sự kiện trƣớc thời điểm t1:
k N N p n N N k N N p ( t2 t1) | t1 t0 ( t2 t1)
Nếu điều này đúng với mọi t thì tiến trình này là tiến trình Markov: trạng thái tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, nhƣng độc lập với việc nó đã có đƣợc nhƣ thế nào. Đây chính là tính chất không nhớ. Nếu tính chất này chỉ xảy ra tại các thời điểm nào đó (ví dụ thời điểm đến), thì những điểm này đƣợc gọi là các điểm cân bằng hay các điểm tái tạo. Khi đó tiến trình có nhớ giới hạn, và ta cần lƣu lại điểm tái tạo gần nhất.
Tính đều đặn(Regularity)
Nhƣ đã nói ta loại trừ các tiến trình của nhiều cuộc gọi vào một thời điểm, vậy ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa: một tiến trình điểm đƣợc gọi là đều đặn nếu xác suất xảy ra với nhiều hơn một sự kiện ở cùng một thời điểm bằng không:
0 ) ( , 0 : ), ( 2 ) (N N o t khi t o t p t t t 3.1.2. Tiến trình poisson
Tiến trình Poisson là tiến trình điểm quan trọng nhất bởi vì vai trò của nó cũng quan trọng nhƣ vai trò của phân bố chuẩn trong phân bố thống kê. Tất cả những tiến trình điểm ứng dụng khác đều là dạng tổng quát hoá hay dạng sửa đổi của tiến trình Poisson. Tiến trình Poisson mô tả rất nhiều tiến trình trong đời sống thực tế, do nó có tính ngẫu nhiên nhất.
Đặc tính của tiến trình Poisson :
Những đặc tính cơ bản của tiến trình Poisson là: Tính dừng
Tính độc lập tại mọi thời điểm Tính đều đặn
Hai tính chất sau là tính chất cơ bản, từ đó tiến trình Poisson có cƣờng độ phụ thuộc thời gian.Từ các tính chất trên ngƣời ta có thể đƣa ra các tính chất khác đủ để biểu diễn tiến trình Poisson, đó là:
Biểu diễn số: là số các sự kiện đến trong một khoảng thời gian với độ dài cố định đƣợc phân bố theo tiến trình Poisson.
Biểu diễn khoảng thời gian: là các khoảng thời gian Xi giữa các sự kiện liên tiếp nhau đƣợc phân bố theo hàm mũ.
Tiến trình đến Poisson sử dụng trong lƣu lƣợng viễn thông của mạng chuyển mạch gói và mạng máy tính. Thêm vào đó tiến trình Poisson đã đƣợc sử dụng để mô tả các tiến trình nhiễu và để nghiên cứu hiện tƣợng các hố điện tử xuất hiện trong chất bán dẫn, và trong các ứng dụng khác …
Ba vấn đề cơ bản đƣợc sử dụng để định nghĩa tiến trình đến Poisson. Xét một khoảng thời gian nhỏ t(với t 0).
t
t t t
t
Hình 3.1. Khoảng thời gian sử dụng để định nghĩa tiến trình
Đó là:
Xác suất của một tiến trình đến trong khoảng thời gian t đƣợc định nghĩa là t o( t), với t 1 và là hằng số tỷ lệ lý thuyết.
Xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian t là
) t ( o t 1
Tiến trình đến không có nhớ: một tiến trình đến trong khoảng thời gian t
là độc lập với các tiến trình trƣớc đó và các tiến trình trong tƣơng lai.
Nếu lấy một chu kỳ T, tìm xác suất p(k) của k tiến trình đến trong thời gian T đƣợc cho bởi: ! ) ( k e T k p T k với k = 0, 1, 2, 3…
Nó đƣợc gọi là phân bố Poisson. Đây là một phân bố chuẩn ( ) 1 0 k k p và giá trị kỳ vọng là : 0 ) ( ) ( k T k kp k E
Phƣơng sai : k2 E(k2) E2(k) hay: T k E k2 ( )
Tham số là hằng số tỷ lệ, đƣợc xem là tham số tốc độ:
T k
E( )
Phƣơng trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson. Bình thƣờng giá trị trung bình E(k) tiến tới không tƣơng đƣơng với T lớn:
T k
E
k / ( ) 1/ . với nghĩa là T lớn, phân bố có quan hệ chặt chẽ với giá trị trung bình T. Do đó nếu một thông số (ngẫu nhiên) số các tiến trình đến n trong khoảng thời gian T lớn („lớn‟ theo nghĩa T >>1, hoặc T >> 1/ ), n/T có thể đánh giá . Cũng chú ý là p(0) e T. Khi T tăng với phân bố đỉnh E (k) = T, xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ T.
3.1.3. Tiến trình Markov
Tiến trình (quá trình) Markov là một quá trình ngẫu nhiên với đặc tính nhƣ sau: trạng thái ck tại thời điểm k là một giá trị trong tập hữu hạn {1,..,M}. Với giả thiết rằng quá trình chỉ diễn ra từ thời điểm 0 đến thời điểm N và rằng trạng thái đầu tiên và cuối cùng là đã biết, chuỗi trạng thái sẽ đƣợc biểu diễn bởi một vectơ hữu hạn C = (c0,...,cN).
Nếu P(ck | c0,c1,...,ck − 1) biểu diễn xác suất (khả năng xảy ra) của trạng thái ck tại thời điểm k khi đã trải qua mọi trạng thái cho đến thời điểm k − 1. Giả sử trong quá trình đó thì ck chỉ phụ thuộc vào trạng thái trƣớc ck − 1 và độc lập với mọi trạng thái trƣớc khác. Quá trình này đƣợc gọi là quá trình Markov bậc 1. Có nghĩa là xác suất để trạng thái ck xảy ra tại thời điểm k, khi biết trƣớc mọi trạng thái cho đến thời điểm k − 1 chỉ phụ thuộc vào trạng thái trƣớc, ví dụ: trạng thái ck−1 của thời điểm k − 1. Khi đó ta có công thức:
Nói tóm lại, một hệ có thuộc tính Markov đƣợc gọi là quá trình Markov (bậc 1).
Xích Markov thời gian rời rạc
Trong toán học, một xích Markov hay chuỗi Markov (thời gian rời rạc) là một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc với tính chất Markov. Trong một quá trình nhƣ vậy, quá khứ không liên quan đến việc tiên đoán tƣơng lai mà việc đó chỉ phụ thuộc theo kiến thức về hiện tại.
Xích Markov là một dãy X1, X2, X3, ... gồm các biến ngẫu nhiên. Tập tất cả các giá trị có thể có của các biến này đƣợc gọi là không gian trạng thái S, giá trị của Xn là trạng thái của quá trình (hệ) tại thời điểm n.
Nếu việc xác định (dự đoán) phân bố xác suất có điều kiện của Xn+1 khi cho biết các trạng thái quá khứ là một hàm chỉ phụ thuộc Xn thì:
trong đó x là một trạng thái nào đó của quá trình (x thuộc không gian trạng thái S) . Đó là thuộc tính Markov.
3.1.4. Tiến trình Sinh/Tử
Trạng thái của hệ thống đƣợc biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống. Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lƣợc đồ chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử.
0 1 2 i-1 i i+1 λ2 λ0 λ1 µ1 µ2 µ3 ... λi-2 µi-1 λi-1 λi µi µi+1
Hình 3.2. Chuỗi Markov của một quá trình sinh-tử
n: Tốc độ của lần đến n
n: Tốc độ của lần đi
Pn: Xác suất ổn định trạng thái n của quá trình sinh – tử tại trạng thái n
Pn = n n ... ... 2 1 1 1 0 .P0
P0 - xác suất ở trạng thái 0, Pn - xác suất ở trạng thái n
3.2. Lý thuyết hàng đợi
Trong bất cứ một hệ thống nào thì khách hàng đi đến các điểm cung cấp dịch vụ và rời khỏi hệ thống khi dịch vụ đã đƣợc cung cấp.
Các đặc điểm của hàng đợi bao gồm: đặc điểm miêu tả của tiến trình đến (phân bố khoảng thời gian đến), miêu tả của tiến trình phục vụ (phân bố thời gian phục vụ), số lƣợng server, số lƣợng các vị trí đợi.
Các quy tắc hàng đợi đặc biệt gồm: Quy tắc phục vụ (FCFS, LCFS, RANDOM), quy tắc thời gian rỗi (phân bố thời gian rỗi, khi mà thời gian rỗi bắt đầu), mức độ ƣu tiên.
Với một mạng cụ thể của hàng đợi gồm có các thông tin sau: Sự kết hợp giữa các hàng đợi; Chiến lƣợc định tuyến; Xử lý nghẽn mạng (khi bộ đệm tại đích bị đầy)
Phân tích hệ thống hàng đợi hoặc mạng hàng đợi bao gồm: Phân tích giải tích; Quá trình mô phỏng hay cả hai phƣơng pháp trên
Kết quả giải tích đạt đƣợc gồm: Yêu cầu ít tính toán và đƣa ra kết quả chính xác (không xảy ra lỗi xác suất)
Những kết quả thu đƣợc (các thông số dịch vụ) là:
Kết quả dành cho ngƣời sử dụng: Trễ hàng đợi, tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ), số lƣợng khách hàng trong hàng đợi, số lƣợng khách hàng trong hệ thống (gồm khách hàng chờ và khách hàng đang đƣợc phục vụ ), xác suất nghẽn mạng (khi kích thƣớc bộ đệm hữu hạn), xác suất chờ để phục vụ).
Kết quả dành cho các nhà cung cấp phục vụ: khả năng sử dụng server, khả năng sử dụng bộ đệm, lợi ích thu đƣợc (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế), lợi ích bị mất (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế).
Kết quả liên quan đến đáp ứng nhu cầu của ngƣời sử dụng gồm: chất lƣợng dịch vụ (QoS), tổn thất (PDF, mean), trễ (PDF, mean), Jitter (PDF, mean).
Đƣa ra các thông số trên để thu đƣợc: Hàm phân bố xác suất; Các giá trị trung bình; Đo đƣợc các thời điểm cực đại, cực tiểu; Các hàm phân bố xác suất chứa đựng đầy đủ các thông tin liên quan đến các thông số quan tâm. Tuy nhiên, việc thiết lập đƣợc các hàm này là khó thực hiện.
Phân tích hệ thống hàng đợi đƣợc chia thành: Phân tích ở thời gian ngắn (dựa trên một thời điểm nhất định); Phân tích trong một khoảng thời gian (trạng thái ổn định) – (dựa trên tham số vô hạn).
Cấu trúc logic của phân tích hệ thống hàng đợi: Đo đƣợc nhiều thông số thống kê nhƣ mean-mean, moments, transform, pdf; Phân tích thời gian ngắn sử dụng cho các trƣờng hợp đơn giản- sử dụng các phƣơng pháp mô phỏng hay xấp xỉ; Việc phân tích chính xác không thể cho áp dụng cho quá trình ổn định- sử dụng các phƣơng pháp xấp xỉ, nếu không thì dùng các phƣơng pháp mô phỏng.
Nhƣ vậy các giả thiết liên quan đến đặc tính và cấu trúc của hệ thống hàng đợi đạt đƣợc kết quả chính xác ít nhất là cho các độ đo hiệu năng trung bình với điều kiện ổn định.
Định luật Little
Xét một hệ thống hàng đợi, khách hàng đến là một tiến trình ngẫu nhiên. Các khách hàng đến hệ thống ở các thời điểm ngẫu nhiên và chờ đƣợc phục vụ thì khách hàng sẽ rời khỏi hệ thống.
Công thức Little
Chúng ta có ký hiệu nhƣ sau:
) (t
N = Số cuộc gọi đến hệ thống tại thời điểm t.
t = Số cuộc gọi đi đến hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
t = Số cuộc gọi rời khỏi hệ thống trong khoảng thời gian từ (0,t).
i
T = Thời gian của cuộc gọi thứ i trong hệ thống (thời gian phục vụ). Nhƣ vậy:
t
N - Số lƣợng cuộc gọi trung bình đến hệ thống trong (0,t) là :
t t t N dt t N 0 1
t - Mật độ cuộc gọi trong khoảng (0,t) là :
t
t t
t
T - Thời gian trung bình của cuội gọi trong hệ thống là :
t
i i
t
t T
T 1 1
Giả sử các giới hạn sau đây tồn tại :
t t t t t t N T T
Có công thức sau:
T
N
Từ công thức định luật Little ta có Số cuộc gọi trung bình trong hệ thống bằng tích mật độ cuộc gọi với thời gian chiếm kênh trung bình.
3.2.1. Hàng đợi M/M/1 Lƣợc đồ trạng thái 0 1 2 i-1 i i+1 λ λ λ µ µ µ ... λ µ λ λ µ µ
Hình 3.3. Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/1
Tất cả các tốc độ đến đều là , : Tốc độ của lần đến : Tốc độ của lần đi Pn=( )n P0 = n P0 Pn: Xác suất ổn định trạng thái n P0: Xác suất ổn định trạng thái 0 : Mật độ lƣu lƣợng =
Trong trƣờng hợp này số kênh phục vụ bằng 1, chỉ có 1 server Các công thức tính toán: Xác suất có n khách hàng trong hệ thống Pn= (1- ) n ; n=1,2,... P0= (1- ) Số lƣợng trung bình các khách hàng trong hệ thống L=E(n)= 1
Phƣơng sai: 2
n = 2
) 1 (
Tham số thời gian
Thời gian trung bình của 1 khách hàng trong hệ thống: W
W = L=
) 1
( = 1
Thời gian phục vụ trung bình cho một khách hàng : WS
WS= 1 =
Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi
Wq= W- WS= ) 1 ( - = ) 1 ( 2 Chiều dài hàng đợi
Số lƣợng trung bình các khách hàng trong hệ thống
L=
1
Số lƣợng trung bình các job trong server: LS
LS= 1P(n>=1) =1- P(n=0) =1-(1- ) =
Số lƣợng trung bình của các công việc trong hàng đợi Lq
Lq= L- LS = 1 = 1 2 3.2.2. Hàng đợi M/M/1/K 0 1 2 k-1 k λ λ λ µ µ µ ... λ µ λ µ Hình 3.4. Hàng đợi M/M/1/K Với số khách hàng là k