Mỗi bƣớc sóng của chùm đến từ một ngƣời dùng tới một hệ chuyển mạch biên OBS đƣợc kết hợp với một tiến trình đến của chùm. Sử dụng tiến trình Markov ba trạng thái để mô hình hoá các tiến trình đến trên một bƣớc sóng của
chùm đến cho trƣớc. Tiến trình đến có thể là một trong ba trạng thái: chùm ngắn (short burst), chùm dài (long burst) hay rỗi (idle). Nếu nó ở trạng thái chùm ngắn (tƣơng tự với chùm dài) thì chùm ngắn (dài) đã đƣợc truyền đi trên bƣớc sóng này. Nếu ở trạng thái rỗi thì đó là ngƣời dùng không truyền bất cứ chùm nào trên bƣớc sóng này. Khoảng thời gian tồn tại của chùm, cho dù là ngắn hay dài và mất trong trạng thái rỗi, đƣợc giả thiết tuân theo phân bố hàm mũ.
Hình 4.9. Tiến trình đến của chùm
Để cho đơn giản và vẫn không làm mất đi tính tổng quát, quá trình đến của các chùm đƣợc mô hình hoá bằng quá trình Markov ba trạng thái [8].
Tiến trình đến của chùm ở hình đƣợc đặc tính hoá hoàn toàn bằng các tham số sau:
1/γ, khoảng thời gian trung bình trong trạng thái rỗi.
1/Φs và 1/Φl là các khoảng thời gian trung bình của các trạng thái chùm ngắn và dài.
ps là xác suất để chùm là một chùm ngắn, và pi biểu thị cho xác suất một chùm đến từ ngƣời sử dụng có cổng ra i, i = 1,…,P. Trong đó P là số cổng lối ra của nút biên OBS.
Hình 4.10. Liên quan giữa các biến ngẫu nhiên A, B và I
Gọi A, B và I là các biến ngẫu nhiên biểu thị thời gian giữa các lần đến của chùm, khoảng thời gian của chùm và thời gian rỗi. Mối quan hệ của chúng đƣợc
chỉ ra trong Hình 4.10. Ký hiệu LA(s), LB(s) và LI(s) biểu thị các biến đổi Laplace tƣơng ứng. Ta có: ( ) ( ) ( ) s 1 l A B I s s s l L s L s L s p p s s s (4.1)
Lấy vi phân LA(s) sẽ thu đƣợc mô-men bậc 1 và bậc 2 của A nhƣ sau:
1 1 1 [A] s 1 s s l E p p (4.2) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [A ] s 1 s s s l l E p p (4.3)
E: thời gian trung bình của chùm (độ dài trung bình của chùm).
Hình 4.11. Coxy hai trạng thái
Ta lại có: 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) E A c A E A (4.4)
Trong đó c(A) là biến của thời gian giữa các lần đến của các chùm liên tiếp (ngắn hoặc dài).
Bình phƣơng hệ số biến c2(A) dùng để đánh giá tính chùm của tiến trình đến. Không giống nhƣ tiến trình Poisson (c2(A) = 1), ở đây có thể đƣa một mức độ chùm bất kỳ vào tiến trình đến nhờ việc lựa chọn một cách thích hợp các tham số của tiến trình Markov 3 trạng thái.
Quá trình đến của các chùm đƣợc phân bố độc lập, giống nhau iid (Identical Independent Distributed).Có thể đƣa vào mối tƣơng quan trong thời gian giữa các lần đến thông qua việc cho phép các chùm đi kề sát nhau (back-to-back).
Do chùm có thể là ngắn hoặc dài với các xác suất tƣơng ứng là ps và 1 - ps, nên phân bố khoảng thời gian của chùm là phân bố siêu mũ hai cấp. Phân bố này tƣơng đƣơng với phân bố Coxy cấp hai với c2(B) ≥ 1. Xem Hình 4.11.
Đặt µ1 và µ2 là tốc độ phục vụ của các giai đoạn đầu và giai đoạn thứ hai của server Coxy tƣơng ứng;
a là xác suất mà khi hoàn thành giai đoạn thứ nhất thì khách hàng trong server Coxy sẽ tiếp tục thực hiện giai đoạn thứ hai. Các giá trị của µ1, µ2 và a đƣợc xác định duy nhất bằng các giá trị 1 / s, 1 / l và ps nhƣ ở dƣới.
1 2 2 (1 )( ) , , s s t s s p a (4.5)
Giá trị trung bình E(B) và hệ số bình phƣơng biến c2(B) của khoảng thời gian chùm đƣợc cho trƣớc bằng các biểu thức sau:
1 ( ) s s s l p p E B (4.6) 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) s s s l p p c B E B (4.7)