Cho tập nhãn đƣợc tích hợp A = {a1, …, am}, khi đó toán tử LOWA, , đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(a1,…, am) = W.BT = Cm(wk, bk, k=1…m} = w1b1 (1-w1)Cm-1{h, bh, h = 2,…,m}, với W = [w1,…, wm] là vectơ trọng số thoả mãn hai điều kiện sau:
i) wi [0, 1] ii) iwi 1 còn h = wh/m
k
w
2 , h = 2...m, khi ta sắp xếp các thành phần của vectơ A theo chiều giảm dần ta đƣợc vectơ B = {b1,…, bm}, B = (A) = {a(1), a(2), …, a(n)} với a(j)
tử tổ hợp lồi của m nhãn, là tích tác động lên nhãn bởi một số thực dƣơng và
là phép cộng. Nếu m =2, khi đó C2
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
C2{wi, bi, i=1, 2} = w1 sj (1 – w1) si = sk với sj, si S, (j i)
trong đó k = Min{T, i + round(w1.(j-i))} với hàm round là hàm làm tròn số, và b1 = sj, b2= si
Nếu wj =1 và wi = 0 với i j với mọi i, khi đó hàm kết hợp lồi đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Cm{wi, bi, i=1,…,m} = bj
Ví dụ, . Giả sử chúng ta muốn kết hợp các ý kiến để đƣợc một giá trị trung bình thông qua toán tử LOWA trên tập 4 nhãn, {L, ML, H,VH}. Vectơ trọng số W = [0.3, 0.2, 0.4, 0.1], biểu thức tác động đến tập nhãn là:
(L, ML, H, VH) = [0.3, 0.2, 0.4, 0.1](VH, H, ML, L) = C4{(0.3, VH)(0.2, H)(0.4, ML)(0.1, L)}, ta sẽ tính đƣợc kết quả cuối cùng thông qua một số bƣớc sau:
Bƣớc 1: Với m = 4 C4{(0.3, VH)(0.2, H)(0.4, ML)(0.1, L)} =0.3VH (1- 0.3)C3{(0.29, H), (0.57, ML), (0.14, L)} Bƣớc 2: Với m = 3 C3{(0.29, H), (0.57, ML), (0.14, L)} = 0.29 H (1- 0.29)C2{(0.8, ML), (0.2, L)}
Bây giờ chúng ta quay lại tính các trƣờng hợp đơn giãn cho đến khi đạt đƣợc kết quả cuối cùng:
Với m = 2, C2
{(0.8, ML), (0.2, L)} = 0.8 ML (s2) 0.2 L (s1) = sk với k = Min(8, 1+ round(0.8 x (2-1)) =2 , vậy C2
{(0.8, ML), (0.2, L)} = s2. Bây giờ quay lại tính các trƣờng hợp trƣớc:
C3{(0.29, H), (0.57, ML), (0.14, L)} = 0.29 H (1- 0.29) L( s2) = 0.29 H
0.71 L = sk, với k = Min(8, 1+ round(0.29 x (7 -1)) = 3 hay C3{(0.29, H), (0.57, ML), (0.14, L)} = s3 (FFML) Nhƣ vậy, C4
{(0.3, VH)(0.2, H)(0.4, ML)(0.1, L)} = 0.3VH (s8) 0.7FFML (s3) = sk
Với k = Min(8, 3+ round(0.3 x (8 -3)) = 5,