II. 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA cơ BẢ N.
a. Trường hợp mọi miền trị của các thuộc tính không có phần tứ trung gian
cho aị(a,b) = 0; aị(a,t) = ai(b,t) = 1. Phần tử trung gian trong mỗi tập (nếu c<5) n<5i chung là không duy nhất. Các thuộc tinh trong u đư ợ c gọi là cùng dạng nếu miền trị của chưng đồng thời cơ các phần tứ trung gian hay không.
a. Trường hợp mọi miền trị của các thuộc tính khôngcó phần tứ trung gian.. có phần tứ trung gian..
Hệ quả 2.1. Khi mọi miền trị của các thuộc tinh không ctí phần tii trung gian thì quan hệ Armstrong đối vơi mỗi tập £ các PTBDTQ không phải là luôn luôn tồn tại.
C hi/ng minh. Ta cố v í dụ 2.1 và phản v í dụ nếu trong chi/ng minh mệnh đề 2.1 , bới vì ở đố, mọi miền trị đều không cổ phần tứ trung gian.D
Giả sứ rằng I là một tập cấc PTBDTQ và R là một quan hệ Armstrong đối vối tập s. Theo định lỷ 2.4 ta có T r = B£. Vấn đề đặt ra là hay tìm quan hệ thu gọn cùa quan hệ R. Sau 'ìây ỉà phương pháp để tìm quan hệ thu gọn đđ.
i rén mỗi dị, 1< i < n ta xây dựng quan hệ = như sau: V ơi Va, b e dị, a 3 b khi và chỉ khi a i(a tb) = 1. Khi đó quan hệ s là tương đương. Thật vậy, tính phản xạ tinh đối x ứng là hiển nhiên. Giả sứ a,b,c E dj J a = b, b = : Nếu a và c không thỏa a = c, tử đố ta cđ aj{a,b) = aj(b,c) = 1,
aị(a,c) = 0 . Như vậy b là phần tứ trung gian trong dị mâu thuẫn. Vậy = là quan hệ tương đương trên mỗi dị VƠI l<i< r.
Đ ịn h n ghĩa 2-8, Cho quan hệ R€REL(Ư). Giả sứ u, V € R. Nối u tư ơng đương vơi V, ký hiệu u « V nếu và chỉ nếu u.Aị P v.Aj vơi 1< i < n.
Ta xét vài tinh chất của quan hệ « thông qua hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.3. Cho Re REL(Ư) và u, V e R. Khi đố các điều sau là tương đ r ơ n g .
a. u * V
b. Vơi vp E R cố a(u,p) = a(v,p) c. oc(u,v) = e.
"suy ra".
a => b. Giả sứ u,V e R và u » V. Từ định nghĩa của quan hệ « suy ra ai(u.Ai,v.Aj) = 1 vơi 1< i < n. Ta sẽ chỉ ra rằng v ơ i mọi p e R cố a(u,p) = a(v,p). Ndi cách khác ta cần chi/ng minh ai(u.Ai,p.Aj) = aj(v.Aj,p.Ai) vơi 1< i < n. Thật vậy,
+ Khi at(u.Aj,p.Aj) = 1 ta cố u,Ai = p.Aị, v ì
a ị(u.A ị,v.Aj) = 1 suy ra u.Aị s v.Aị do đtí v.Aị = p.Aj .Tứ đđ ta cũng cố aj(v.Aj,p.Ai) = 1.
+ Khi cq(u.Aj,p.Aj) = 0, ta cũng cố cq(v.Aj,p.Aj) = 0. Thật vậy nếu ai(v.Aj,p.Aj) = 1 thì cũng tương tự như trên ta cớ aj(u.Ai,p.Aj) = 1.
Vậy a => b là đúng.
b => c. Nếu mọi p G R ta cố a(u,p) = a(v,p) khi đố đặt p = V sẽ thu được a(u,v) = e.
c a. Do a ( u Tv) = e suy ra vơi mọi i, 1< i < n ta có
cti(u.A¡,v.Aj) = 1 tư c là u.Aị = v.Aị. Điều đố chứng tỏ u « V. Bổ đề đ ư ợ c ch ú n g minh xong.D
Bổ đề 2.4. Cho Re REL(U) và U,V,U1,V1G R. Khi đố , nếu u * UỊ và V * V ] thì a(u,v) = a ( u j , v i ) .
C h ư n g minh. Tứ bổ đề 2.3, các giả thiết và tinh giao hoán của a ta sẽ nhận đ ư ợ c điều cần chưng m in h . n
Hệ quả 2.1. Quan hệ « là quan hệ tương đương trẽn R.
C h i/n g minh. Quan hệ as thỏa man tính phản xạ đo bồ đề 2.3. Nố cũng thỏa tinh giao hoán bới vì a là giao hoán và do bổ đề 2.3. Giả sứ u * V, V « p khi đó ta có u « p do định nghĩa cùa quan hệ « và tinh tương đương cùa quar hệ = .□
Vơi mỗi lơp tương đương trên quan hệ R ta lấy một bộ "đại diện" và tập các bộ đố cho ta một quan hệ, ký hiệu là p. Ta gọi p là sự "thu gọn một bươc" của quan hệ R.
Bổ đề 2.5. Cho quan hệ R trên Ư. Giả sử p là sự "thu gọn một bươc" cùa quan hệ R. Khi đđ ta cđ :
. p ç R . ■ Tp = Tr.
C hi/ng minh. Thật vậy, tư quan hệ R ta tìm được quan hệ p iheo phương pháp trên. Ta sẽ chỉ ra rằng p là quan hệ thu gọn của R.
a. Rõ ràng vơi Vu s p thì u 6 R. Vậy p Œ R.
b. Tiếp theo cần chỉ ra Tp = Tr (1). Thật vậy, hiển nhiên Tp Ç T r (2). Vơi Vx e T r sẽ cố 11,V € R sao cho a(u,v) = X.
Ta cũng cđ U1,V1 € p sao cho u * Ul, V * VỊ . Theo bồ đề 2.4 ta cơ a(u,v) = a ( u i , v j ) = X. Điều đđ cũng chứng tỏ X e Tp , tứ c là T R q Tp (3). Tứ (2) và (3) ta có (1). □
Đ ị n h lỷ 2.5. Giả sir u là tập thuộc tính và vơi mọi AeU dom(A) không C(5 phần tứ trung gian. Khi đđ vời R là quan hệ bất kỳ trên ư thì tồn tại thuật toán tìm dạng thu gọn cùa R.
Chtfng minh. Thật vậy, khi R là quan hệ thu gọn thì dạng thu gọn của nó cũng chính là R. Khi R không phải là thu gọn thì tứ quan hệ R ta xây dụn g dãy các quan hệ Pk, vời
k = 0,1,2,... sao cho pQ = R, và vơi mỗi k = 1,2,.. thì Pk là sự "thu gọn một b ư ơ c của " Pfc-I- Rỗ ràng sẽ tồn tại một S Q i > 1 sao cho Pị_i = pj bới vỉ quan hệ R là hữu hạn. Khi đổ VƠ4
mọi k > i ta cd Pk = pj. GỈ a sứ i ỉà số bé nhất cố thể sao cho Pi_l = Pị (1). Ta đặt p = Pj khí Pị_i = Pị và sB chỉ ra rằng p là dạng thu gọn của của quan hệ R. Thật vậy , theo bổ đề 2.5
dễ dàng thấy rằng : 1. p e R.
2. Giả sứ ngư ợ c lại p không phải là thu gọn. Khi đổ sẽ tồn tại các bộ u,v eP sao cho vơi mọi bộ t G p ta cơ
a(u,t) = a(v,t). Do p =Pj= Pị-1, suy ra u,ve Pị-1. Khi đố u « V
trong Pị_i . Điều này chưng tỏ pj * Pị-1, mâu thuẫn vơi (1). Vậy quan hệ p là thu gọn.
3. VÌ Tr = T p i = Tp2 = ...= Tpi = Tp (do bổ đề 2.5). Tứ các điều trên suy ra rằng p là dạng thu gọn của quan hệ R.D
V Í dụ 2.2. Vơi u là tập các thuộc tinh và các ánh xạ ạ | đ ư ợ c xác định như trong chưng minh mệnh đề 2.1. Giả sứ
g - (A A B) V (A A (-ĩB)) và £ = {g}. Dễ thấy rằng vối R(A B) a2 bl a l b3 a l t>l a2 b3 a l t>2
thì ta cơ Tr = = { (1,1) , (1,0) }. Theo định ly 2.4 suy ra R là quan hê Armstrong đối vơi tập I. Sứ dụng phương pháp trên ta nhận thấy ( a i , b i ) « ( a2,bi) « ( a i,b 2) và ( a j , b3) » ( a2,b3) . Do đố ta nhận đ ư ợ c quan hệ
P(A B)
a l bi
a l t>3
là thu gọn của R do đổ p cũng là quan hệ Armstrong đối vơi
tập I.