Trong mô hình CSDL quan hệ các quan hệ Armstrong là một trong các đối tượng được quan tâm nhiều. Quan hệ Armstrong cho tập £ nào đđ các phụ thuộc hàm là một quan hệ mà ntí thòa mân tất cả các phụ thuộc hàm có thể suy dẫn được từ £ và không thỏa măn bất kỳ một phụ thuộc hàm nào khác không suy ra được
tứ tập s.
Một vài kết quả cơ bản về quan hệ Armstrong cho lcýp các phụ thuộc hàm được nghiên cứu bời nh(5m C. Beeri, M. Dowd, R.Fagin và R.Statman [5] đa khẳng định rằng : v ơ i tập u các thuộc tính thỉ :
a. Đối vơi mỗi tập £ các phụ thuộc hàm trên u,lu ôn luôn tồn tại quan hệ Armstrong cho tập I.
b. Vơi mỗi tập £, cố cách thức cụ thể đề tỉm một quan hệ Armstrong cho tập E.
C. Cho một tập £ các phụ thuộc hàm. Ta ký hiệu CL(£) là họ các tập thuộc tinh đống đối vơi tập £. Khi đó CL(£) và phép giao tập hợp r\ sẽ tạo thành một dàn, ký hiệu là (CL(E),n). Gọi GEN(£) là họ các phần tử sinh của dàn (CL(£),o). v ơ i một quan hệ R ta ký hiệu arg(R) là họ các tập con X £ u sao cho tồn tại hai bộ u,veR mà u .x = v .x và mọi A ểX thì U-A * V.A. Khi đố điều kiện cần và đủ để quan hệ R là quan hệ Armstrong cho tập £ là : GEN(I) ç arg(R) Ç CL(I) .
d. Độ phiếc tạp thời gian để tỉm quan hệ Armstrong cho một tập E các phụ thuộc hàm là lũy thừa theo số các thuộc tinh.
e. Khi sứ dụng các quan hệ Armstrong, các tác già đã tìm được mộf chứng minh ngắn gọn hơn cho một kết qủa về khơa
của J.Demetrovics cụ thể là: Cho s Jà một họ các tập con đôi một không bao nhau của tập thuộc tính u khí đò tồn tại một quan hệ R trên Ư sao cho sao cho quan hệ này nhận s là tập các khổa.
b. Phù.
Trong lý thuyết các phụ thuộc dữ liệu người ta thường quan tâm một số vấn đề liên quan đến phù của các tập phụ thuộc. Cố thể ndi mục tiêu của hầu hết các nghiên cưu liên quan đến phủ của một tập các phụ thuộc hàm đều nhằm vào việc đơn giàn hda bàn thân tập phụ thuộc đố theo một nghĩa nào đố. Xuất phát từ đò một số khđi niệm liên quan đến phủ được gicýi thiệu : Cho hai tập phụ thuộc hàm F, G. Ta ndi rằng F và G là tương đương với nhau nếu F+ = G+. Nếu G tương đương vơi F thì ta kỷ hiệu G = F và khi đò G được gọi là phủ của F.
Tập F các phụ thuộc hàm được gọi là dư th ừ a nếu cđ một tập con thực sự F ’ của F sao cho F ’ = F. Nếu không tồn tại tập F ’ như thế thì tập F được gọi là không dư thừa. Cho F và G là các tập phụ thuộc hàm, G được gọi là phủ không dư của F nếu G là phủ của F và G là tập không dư thừa.
Tập phụ thuộc hàm F được gọi là tối thiểu nếu không tồn tại tập phụ thuộc hàm F[ sao cho F j 3 F và I F1 I < I F I. Cho G là một tập nào đố các phụ thuộc hàm. Phủ F cùa G được gọi là phù tối thiểu nếu như F là một tập tối thiếu.
Một số kết quả về phủ không dư và phủ tối thiểu đã trĩnh bày trong cắc nghiên ci/u của D. Maier [29,30] và một số nhà nghiến cứ u khác. Xuất phát tứ khái niệm phủ không dư và phủ tối thiểu D. Maier đã chỉ ra được một số tinh chất đáng lưu ỹ về cấu trưc của phủ không dư , thuật toán tìm phủ tối thiểu... Đố là những kết quả hay vì nố dựa trên sự phân tich sâu sắc và sự nhìn nhận tỉnh tế. Dựa vào phủ tối thiểu việc tính toán bao đống của tập các thuộc tính, việc , tìm khđa sẽ khá thuận tiện trong nhiều trường hợp.
Tiếp theo một số kết quả về phủ cũng đ ư ợ c phát triển. Trong [25,26 ] tấc giả Hồ Thuần đa thiết lập mối quan hệ g i ữ a khái niệm về các suy dẫn trực tiếp và các FD-đồ thị trên cơ sở đó đã kiểm tra được nhiều kết qủa đa cđ đồng thời cũng bổ Sũng thêm n hững kết quả mời đáng lưu ý về các suy dẫn
tr ự c tiếp, cấu trưc phần bên phải của các phụ thuộc hàm trong các phủ không dư,...Nhđm nghiên cứu gồm các tác gỉa Trần Thái Sơn, Đinh Thị Ngọc Thanh cũng đã chỉ ra đ ư ợ c một số kết quả về cấu trúc của phủ tối thiểu,...
Chương 2
L Ơ P CẤC PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG TỐNG QUẤT
Tiếp theo một số loại phụ tỊiuộc lôgic như phụ thuộc hàm, phụ thuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh,.,.đã được đề xuất và nghiên ci/u bcH một số các tác giả, một lơp các phụ thuộc cân bằng cũng đa đưcỵc gicíi thiệu trong công trình của J Berman và w. J. Block [10] . Lốp này bao hàm lcíp các phụ thuộc hàm và một vài ỉổp phụ thuộc đa được đề cập trong các công trình của G. Czedli, J. Demetrovics và Gy. Gyepesy [16,17], Sau đđ cấc giả Nguyễn Xuân Huy và Lê Thị Thanh đa giơ i thiệu một lcíp phụ thuộc mơi-đđ là lơp các phụ thuộc Boole dương tồng quát (PTBDTQ). Đáng lưu ý là lố p này cang bao hàm Icíp các phụ thuộc cân bằng.
Chương này nhằm gicíi thiệu một số khái niệm và một vài kết qủa liên quan đến lơp các PTBDTQ và đồng th ờ ỉ phát triển một số kết quả trong [35] về các suy dẫn trong ỉờp các PTBDTQ. Đó là các điều kiện cần và đủ cho một số suy dẫn trong lơp các PTBDTQ. Nhiĩng đề xuất trong [35] như vấn đề tồn tại của quan hệ Armstrong đối vơi một tập các PTBDTQ cho trươc, thu gọn quan hệ Armstrong ...cũng đ ư ợ c quan tâm và gơp một phần giải quyết. Nhứng kết quả khẳng định được rằng đối v ơ i một tập các PTBDTQ cho tr ư ờ c thì quan hệ Armstrong cho nố nối chung
là không phải luôn luôn tồn tại. Cổ xét đến một số trường hợp riêng. Trong trường hợp thư nhất khí mọi miền trị của các thuộc tinh không cố phần tứ trung gian, ta cũng cơ một kết luận tương tự như trên về sự tồn tại của quan hệ Armstrong đối VỚ4 một tập các PTBDTQ và đồng thời chỉ ra rằng VƠ4 một quan hệ Armstrong trên u luôn tồn tại thuật toán tìm dạng thu gọn của nđ. Trướng hợp thi/ hai đ ư ợ c xét khi mọi miền trị của các thuộc tính đều cơ phàn tứ trung gian. Trong trư ờ ng hợp này chỉ ra rằng vơi một tập I nào đố các PTBDTQ luôn tồn tại một thuật toán tìm quan hệ Armstrong cho nổ. Vtfi thuật toán đố quan hệ Armstrong tìm được là thu gọn và cơ số bộ bằng số phần tử của tập Be