III. 3 CẤC PHỤ THUỘC LÔGIC ĐA TRỊ
TRONG MÔ HÎNH DƯ LIỆU QUAN HỆ.
thuộc tính . Nhắc lại rằng vơi mỗi Aj, 1< i < n cần cơ một tập dị nào đố gồm it nhất hai phần tứ đư ợc gọi là miền trị cúa thuộc tính đđ . Xem rằng trên Ư đa xác định một lôgic đa trị thỏa mãn yêu cầu của định nghĩa 3.1. Gọi MF là tập tất cả các công thi/c trên u.
Vơi m e [0,1], f E MF, s c MF, ta đặt Tmf = { X e B I f ( x ) > m } v à
Tm L = { X e B I Vf € I , f(x) > m ). Từ nay trờ đi ta chi’ xét m £ [0,1] và m * 0.
Mỗi một công thi/c f e MF còn được gọi là một phụ thuộc lôgic đa trị, hay gọi ngắn gọn là phụ thuộc. Tứ nay ta sẽ không phân biệt các tên gọi đố. Việc sử dụng chưng sẽ tùy theo ngữ cảnh hoặc theo thối quen. Công thifc f € MF được gọi là dương nếu f(e) = 1 với e = (1,1,...,1) e B. Ký hiệu MFp là tập tất cả các công thức dương trên u. Mỗi một phụ thuộc lôgic dương đa trị f e MFp được viết tắt là PTLGDĐT.
Địn h n g h ĩa 3.8. Giả sii f, g là cấc PTLGDĐT, m e [0,1]. Nối rằng phụ thuộc g là m-suy dẫn f hoặc f là m-suy dẫn được từ g, đ ư ợ c kỷ hiệu là g 1^2- f, nếu vơi bất kỳ X e B, thỏa man g(x) > m thì ta cững cố f(x) > m. Hai công thưc f và g đư ợc gọi là m-tương đương nếu f \M. g và g I— f .
Với m € [0,1], 2 c MF, f e MF, nđi rằng, s là m-suy dẫn f hoặc f là m-suy dẫn được từ tập I, ký hiệu là I l-OL f, nếu với
c ũ n g c ố f ( x ) > m. GỈa SIỈ I, r ç MF. Tập r đ ư ợ c g ọ i là m-suy dẫn đ ư ợ c tứ tập L, hoặc tập E của các phụ thuộc ỉà m-suy dẫn tập r ký hiệu là I |-5L r nếu s I “L f cho mỗi f e r . Nổi rằng, hai tập phụ thuộc E và r là m-tương đương, ký hiệu ỉ à s r , nếu I I-EL r v à r I-SL 2 .
Đ ịn h n g h ĩa 3.9. Cho hai công thức f, g G MF ta nổi f bị chặn bới g và ký hiệu là f < g nếu f(x) < g(x) vơi mọi X e B. Nối rằng công thtfc g chặn công thi/c f nếu f bị chặn bới g. Do đtí thay cho ký hiệu f < g ta cđ thể kỹ hiệu g > f.
Từ định nghĩa trên ta suy ra ngay mệnh đề sau mà nơ là tiện lợ i cho một số chưng minh khác.
M ệ n h đề 3.2. Cho các công thi/c f, g, h e MF . GỈa sử rằng cđ £ I-S2- f . Khi đổ nếu f < g thì E I-ÍĨL g.
Tứ mệnh đề 3.2 ta suy ra rằng khi đã cố giả thiết 2 I— f, trong m ột số trường hợp để chi/ng minh £ Ị-2Ĩ- g ta chỉ cần kiểm tra xem cố f < g hay không là đủ.
Như vậy nếu trên tập MF xác định một thứ tự bộ phận < khi đố sẽ cố ngay một vài tính chất sau đây mà chưng là cđ lợ i khi xét đến các bài toán thành viên d ự a vào khái niệm suy dẫn theo quan hệ:
Khi đ ổ
1. f V h < g V h 2. f A h < g A h 3. —ig < —if 4. h -» f < h g 5. g ^ h < f -> h Hệ quả 3.2. Vcfi f, 6 MF và m e [0,1] ta cd
1. I \M. f > g A h khi và chi khi S |-^ f g và S 1m f 2. I I g A h -» f khi và chỉ khi S l-ffi- ( g -> f) V (h ->• f )
3 . X I-™ f -> ■ ẽ V h k h i và chỉ khi E 1— ( f - > g ) V ( f - > h )4. I I-2L g V h -> f khi và chỉ khi £ 1-®- g -> f và I 1m h -> 4. I I-2L g V h -> f khi và chỉ khi £ 1-®- g -> f và I 1m h ->
C h i/n g minh.
1. a. Giả sử cố S l-QL f -► g * h. Do f -> g A h < f -► g ,
f -» g A h < f -> h và mệnh đề 3.2 suy ra £ [J2- f ^ g và I |JĨL f _» h.
b. N g ư ợ c lại giả sử cố I I— f -> g và s Ị^- f -)■ h . Xét bất kỳ X G Tm£ , ta phải chỉ ra (f g A h)(x) > m. Thật vậy do £ |-DL f -> g , E I-2Ì. f -ỳ. h và x e Tm£ suy ra ( f -» g)(x) > m (1) và ( f -» h)(x) > m (2).
- Nếu f(x) < 1- m thì hiển nhiên ta cố (f ->gAh)(x)(x) > m - Nếu f(x) > 1- m thì tứ (1) và (2) suy ra g(x) > m và h(x) > m, do đố (gAh)(x)(x) > m và
(f ->gAh)(x)(x) > m . Khẳng định 1 đ ư ợ c chứng minh.
Khong khố khăn ta cũng kiêm tra được tinh đúng đắn của các tinh chat còn lại. Hệ qủa được chứng minh xong.D
Bổ đề 3.4. Cho m € 10,1], I ç MFp và f, g e MFp . Neu c<5 s Ị-SL f và £ |JS- g thì các điều sau là điíng.