IV. 1.2 Sự tồn tại của các quan hệ armstrong.
ulà qan hệ m-Armstrong đối với tậ pI thì điề kiện cần và đủ là T r = Tms
C h ú n g minh.
1. Điều kiện đủ. GỈa sử rằng ta cđ T r = Tm£, khi đđ Rm(E), tứ c là R m-thỏa £. Theo hệ quả 4.2 ta có Rm( s m+) và
do đổ £m+ £ LDm(R) (1). Mặt khác, vơi bất kỳ f £ LDm(R) thì cđ Rm(f). Điều đtí có nghĩa là T r Ç Tmf . Tứ già thiết T r = Tm£ suy ra rằng Tm£ e Tmf và do đó s 1^- f. Dựa trên định ]ỹ tương đương 3.1 ta suy ra f G £m+ và do đđ LDm(R) Q s m + (2). Tứ các khẳng định (1) và (2) ta đã chứng minh được điều kiện đủ của định lý.
2. Điều kiện cần. Giả sử R là quan hệ m-Armstrong đối vơi tập I các PTLGDĐT. Khi đđ ta cđ LDm(R) = Lm+ . Đặt
r = LDm(R). Dễ d à n g thấy rằng r m+ = r = z m+. Theo hệ quà 4.1 ta cố Tm £ _ Tmr . Do R là m thỏa LDm(R) tức là quà 4.1 ta cố Tm £ _ Tmr . Do R là m thỏa LDm(R) tức là Rm(LDm(R)) d o đ ó ta c ó T R C TmLDm(R). Vậy
T r Ç Tmp = Tmz (3).
Bây giờ chiíng ta phải chỉ ra rằng Tm£ Ç Tr . Thật vậy theo bồ đề 4.1, Ta cố thể xây dựng một PTLGDĐT f sao cho Tmf = Tr. Tứ đẳng thi/c đố suy ra Rm (f) và do đố f € LDm(R) = r m+ . Như vậy chưng ta đã chứng minh được
rằng 1 |=2L f. Sứ dụng định lý tương đương 3 .1 suy ra I \M. f (4). Vơi bất kỳ X e Tm£ , từ (4) ta suy ra X £ Tmf = Tr. Vậy Tms Ç Tr (5). Tứ (3) và (5) ta suy ra rằng điều kiện cần của định lỹ đã đ ư ợ c chi/ng minh.D
Sau đây là một vài th í dụ để kiểm tra một quan hệ R cố phải là quan hệ m-Armstrong cho tập I các PTLGDĐT hay không.
Vi dụ 4.1. Trưtíc bết ta hãy xét một thi dụ đơn giản. Giả sử Ư là tập gồm hai thuộc tính A và B. Các thuộc tính này cố các miền trị tương ư'ng là
dom(A) = { a i , a2,a3 }, dom (B) = { b i , b2,b3 } và các ánh xạ aj, 1< i < ■2 được xác định như sau:
a 1 a 1 a?, a 3 a l 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a?. b 1 b?, b 3 b l 1 0 0 t>2 0 1 0 b 3 0 0 1
Giả sứ miền đánh giá của các thuộc tinh A và B đều là tập
Í O , l } .
s ={f} và m = 1. Nhận thấy rằng = {(1,1),(1,0),(0,0)}. Ta hãy xét quan hệ R như sau :
R( A B )
a l In
a l t>2
a 2 b 3
Khi đố ta thấy rằng T r = Tmx . Theo định lỷ 4.1 suy ra R là qu a n hệ m-Armstrong cho tập E.
Vi dụ 4.2. Giả sử rằng u = {A,B,C} vơi doiĩi(A) = { ai,a2,a3}, dom(B) = { b i,b2,b3,b4},
d o m ( C ) = { C Ị , C2, C3) . C h o d i = d3 = { 0 , 1 } , d2 = { 0 , - - 1 } .
4 ’ 4 ’
Khi đố các ánh xạ ai,(X2, a3 được xác định như sau :
ct| a 1 32 a3
a 1 1 1 1
a2 1 1 0
Giả sử m = - và z = {g, h} vơi h = (y « l)v(ÿ;w^)A —
v à g = X AZ « 1
Nhận thấy Tm£ = Tmg n Tmh = Tmg A J1. Đặt f = g A h ta cd f = (xAz * 1) A ((y * 1) V (y » A | ) . Xét quan h ệ
R trên u như sau : R (A B C) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a i b2 Cl a2 b 4 C2 a 2 b 2 Cl Từ đđ ta cd Tr = { (1,1,1), (1,-^1) }• Ta sẽ chứng minh rằng Tr = Tmf, tứ c là TR=Tm E (*). Thật vậy a. T r Ç Tmf . Ta C(5 f ( l , l , l ) = 1 A 1 = 1 > I và = 1 A I = 4> f
V ậ y T r e Tm£ (1) vời m = -
8