II. 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA cơ BẢ N.
II.3 MỘT VÀI KÊT QUẢ VÊ' QUAN HỆ ARMSTRONG TRONG LƠP CẤC PTBDTQ.
3. z 1= (vXi) A(vX2)A A(vXk) » (AY 1) V( aY 2)v v (a Yị1)
II.3 MỘT VÀI KÊT QUẢ VÊ' QUAN HỆ ARMSTRONG TRONG LƠP CẤC PTBDTQ.
TRONG LƠP CẤC PTBDTQ.
Trong [35] các tác gỉa đưa ra điều kiện cần và đủ để một quan hệ là quan hệ Armtrong đối vơi tập I và đă nêu ra hai vấn đề : hay xây dựng quan hệ Armstrong cho tập I
các PTBDTQ và hãy cho đánh giá về số bộ của quan hệ Armstrong tối thiểu.
Mục này nhằm góp phần giải quyết các vấn đề đa nêu trong [35] và một vài khía cạnh khác liên quan đến lơp các phụ thuộc Boole dương tổng quát. Ngoài việc nhắc lại một số kết quả đa cđ, ờ đây chưng tôi cũng gđp phần trả lởi câu hòi " Quan hệ Armstrong cđ luôn luôn tồn tại hay không đối vơi một tập 1 các phụ thuộc Boole tổng quất cho trươc" đồng th ờ i trình bày thuật toán tìm quan hệ thu gọn của một quan hệ Armstrong trong trường hợp khi tất cả các miền trị của
cấc thuộc tinh không cố phần từ trung gian. Tiếp theo là khẳng định về sự tồn tại của quan hệ Armstrong trong trư ờ n g
h ợ p khi tất cả các miền trị cổ phần tứ trung gian và trỉnh bày thuật toán tìm quan hệ Armstrong đố.
II.3.1. Sụ tồn tại của các quan hệ Armstrong .
Đ ịn h n g h ĩa 2.6. Giả sử R e REL(U), Gọi tập tất cả các PTBDTQ trên ư mà chüng thỏa R ìà LD(R). Quan hệ R đ u ợ c gọi là quan hệ Armstrong đối vơi tập 1 nếu LD(R) = { f I I 1= f }.
Đ ịn h lý 2.4.([35]) Giả sử £ là một tập các PTBDTQ
trên u và R là một quan hệ khác trống trên u. Khi đđ, điều kiện cần và đủ để R là quan hệ Armstrong đôí v ơ i tập £ là
Tr = B j .
Vi dụ 2.1. Giả sử ư là tập gồm hai thuộc tinh A và B. Các thuộc tinh này c<5 các miền trị tương ư n g là d o m (A )= { a j,a2,a3 }, dom (B) = { b i , b2,b3 } và các ánh xạ aj, 1< i < n đ ư ợ c xác định như sau :
0-2 t>l t>2 t>3 bl 1 0 0 0 1 0 t>3 0 0 1 cq a l a2 a3 ai 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1
Giả sử
I = { f, g} vơi f = (A A B) V (A A (-.B)) V ((-.A) A (-iB)) và g = A V ( - L j . Dễ thấy rằng Bỵ - ' (1,1) , (1,0) , (0,0) }. Khi
ăó quan hệ R = { ( a i , b i ) , ( a i ,b2j, (a2,b3) } có T r = B £ . Theo định lỷ 2.4 suy ra R là quan hệ Armstrong đối vơi tập £.
Trong [29] đa đề cập tời sự tồn tại và xây dựng quan hệ Armstrong đối vời một tập các phỉ thuộc hàm và đã chỉ ra rằng đối vơi một tập cho trươc các phụ thuộc hàm luôn luôn tồn tại một quan hệ Armstrong cho tập phụ thuộc hàm đố.
Ta sẽ xem xét điều đố đối với tập cấc PTBDTQ thông qua mệnh đề d ư ơ i đây khi xét đến các ánh xạ oq, 1< i < n thỏa man định nghĩa 2.1.
Mệnh đề 2.1. Khi các ánh xạ otị, 1< i < n đă đ ư ợ c xác định thì quan hệ Armstrong đối vơi tập I các PTBDTQ cho trư ớ c không phải luôn luôn tồn tại.
Chi/n g minh. Thật vậy, ta sẽ chỉ ra một phản thi dụ. Già sừ Ư là tập gồm hai thuộc tinh A và B. Các thuộc tinh này cổ các miền trị tương ưng là dom(A)={ a i , a2,a3 },
dom (B) = { b ] , t n . b3 } và các ánh xạ oq, 1< i < 2 đ ư ợ c xác định như sau :
OC1 a 1 a2 a3 a 1 1 1 0 a2 1 1 0 *3 0 0 1 «2 bt ^2 t»3 1 0 0 t>2 0 1 1 b3 0 1 1 Nhận thấy:
- Vơi các aj đđ thì V R e REL(Ư) ta cố thể thay mọi bđi aj s mọi b3 bứi b2 và sau đố bỏ đi nhứng bộ trùng nhau thì T r không thay đổi.
- Khi xét quan hệ p gồm tất cả các bộ cố thể trên u và sau đố thay trong p mọi a2 bới 2i\ , mọi 03 bới \>2 sẽ nhận đ ư ợ c quan hệ Q = { ( ai , bi ) , ( ai , b2) , ( a3, bi ) , ( a3, b2) } vơi
T q = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) }.
Xét I = { f } vời f = (A A B) V (A A (-iB)) V « S A ) A (-.B)). Nhận thấy rằng B£ = { (1,1),(1,0), (0,0) }. Ta sẽ chỉ ra rằng :
V R e Q đều cổ Tr yt Bỵ (*).
Thật vậy, vời bất kỳ R e REL(U) gồm không quá hai bộ hoặc R là chính quan hệ Q thì rố ràng khẳng định (*) là đúng. N h ữ n g quan hệ con của Q gồm đũng ba bộ chỉ là những quan hệ sau :
R l ( A B) R2(A B) KStA B) R4(A B) a l ai b l *1 bl ai bl a3 b l a3 t>l *1 a l *3 t>2 a3 t>2 a3 t>2 b l Ta cđ Tr i = { (1,1), (0,0), (0,1), (1,0)} Tr2 = { (1,1), (0,1), (0,0), (1,0)} Trb = í (1.1), (1,0), (0,0), (0,1)} TR4 = í (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}
Như vậy TR! = T r2 = T r3 = T r 4 * Bỵ. Trong trường hợp này (*) cũng đứng.
Tử (*) và định lý 2.4 chi/ng tỏ không tồn tại quan hệ Armstrong đối vơi tập E các PTBDTQ đã cho. Mệnh đề đã được chi/ng minh xong.D (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đ ịn h n g h ĩa 2.7.
a. Quan hệ p được gọi là thu gọn nếu vơi mọi bộ u,v € p luôn tồn tại bộ t e i' sao cho a(u,t) * cc(v,t).
b. Quan hệ p được gọi là dạng thu gọn của' quan hệ R nếu thỏa mãn các điều kiện :
. p ç R (ti/c là mỗi bộ trong p cũng là một bộ trong R )
. p là quan hệ thu gọn. • Tp = Tr.
Như vậy dạng thu gọn của một quan hệ thu gọn chính L bản thân quan hệ đổ.
II.3.2. M ộ t vài t r ư ở n g h ợ p riêng.
Vời Q là một tập hửu hạn nào đd ta kỹ hiệu I QI là số phần tư của Q. Khi Q là một quan hệ thỉ I Q ] chinh là số bộ của quan hệ Q. v ì quan hệ Armstrong không phải luôn luôn tồn tại đối vơi tập I các PTBDTQ , do đổ ta xét một số trư ờ n g hợp riêng.
Đ ịn h n g h ĩa 2,8. Nối rằng miền trị dj của thuộc tính A[