Trong hai phần sau đây chúng ta sẽ xem xét chi tiết một số bộ lọc làm nét dựa trên đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai.Trước khi xem xét cụ thể những vấn đềnày chúng ta cùng xét đến một số tính chất của đạo hàm trong ngữ cảnh số hóa.Đểdễ hiểu, chúng ta tập trung vào đạo hàm một chiều.Trong thực tế, chúng ta tập trung chủ yếu vào việc lấy đạo hàm trong các vùng cấp xám không thay đổi (các phân đoạn phẳng, flat segments), tại những vị trí bắt đầu và kết thúc của các đoạn không liên tục (dốc hay dốc đứng).Các kiểu không liên tục nàycó thể được sử dụng để mô hình cho các điểm nhiễu, đoạn nhiễu, cũng như cạnh nhiễu trong ảnh.
Đạo hàm của một hàm số được định nghĩa dựa vào sai phân (sự khác biệt về cấp xám giữa các điểm ảnh trong lân cận nào đó).Trong ngữ cảnh số hóa, ta có nhiều cách khác nhau để định nghĩa (xấp xỉ) đạo hàm (bậc 1 và bậc 2).Tuy nhiên, các định nghĩa này phải thỏa mãn một số tính chất. Với đạo hàm bậc nhất, định nghĩa phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(1) Bằng không tại những phân đoạn phẳng (vùng có các cấp xám cố định) (2) Khác không tại những điểm đầu và cuối của dốc, và
(3) Khác không tại những điểm nằm trên dốc.
Tương tự như vậy bất kỳ định nghĩa đạo hàm bậc hai nào cũng phải thỏa mãn: (1) Bằng không tại những vùng phẳng,
(2) Khác không tại những vị trí bắt đầu và (3) Khác không dọc theo các đoạn dốc.
Một định nghĩa cơ bản đối với hàm cấp 1 của hàm một chiều f(x) là sai phân:
Chúng ta đạo hàm từng phần ở đây để thuận tiện hơn khi chuyển qua xét hàm 2 biến của ảnh f(x, y).Lúc đó, chúng ta sẽ sử dụng các đạo hàm từng phần dọc theo hai trục x và y. Tương tự, chúng ta định nghĩa đạo hàm cấp 2 là sai phân:
Dễ dàng kiểm chứng được rằng hai định nghĩa đạo hàm này thỏa mãn các điều kiện đề ra.
Hình 3.38(a) minh họa một ảnh đơn giản chứa các đối tượng thuần nhất, một
đường thẳng và một điểm đơn. Hình 3.38(b) biểu diễn các cấp xám của một đoạn thẳng cắt ngang ảnh, đi qua điểm nhiễu. Chúng ta sẽ sử dụng biểu diễn này để xem xét đạo các tính chất của hàm bậc nhất và bậc hai mà chúng ta vừa định nghĩa ở trên. Hình 3.38(c) là biểu diễn đơn giản hóa của biểu diễn ở hình (b) với số lượng số đủ để phân tích đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai trên điểm nhiễu, đoạn thẳng và cạnh của đối tượng. Trong biểu diễn trên, sự chuyển trạng thái trên đường dốc (xuống) qua 4 điểm ảnh, nhiễu là một điểm đơn, độ rộng của đoạn thẳng có độ dày 3 (điểm ảnh).Số các cấp xám trong ảnh trên là 8.
Từ hình trên ta có được một số nhận xét so sánh giữa đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai:
1. Đạo hàm bậc nhất cho kết quả biên dày hơn.
2. Đạo hàm bậc hai đáp ứng mạnh hơn đối với chi tiết mịn, chẳng hạn như đoạn thẳng mỏng, điểm cô lập.
4. Đạo hàm bậc hai cho kết quả đáp ứng kép nơi có sự nhảy thay đổi cấp xám.
Chúng ta cũng chú ý rằng, đạo hàm bậc hai đáp ứng mạnh đối với đoạn thẳng hơn dốc đứng, điểm ảnh hơn đoạn thẳng.
Đạo hàm bậc hai thường phù hợp hơn so với đạo hàm bậc nhất đối với việc tăng cường ảnh bởi vì khả năng của đạo hàm bậc hai tăng cường chi tiết mịn tốt hơn.
a b c
Hình 3.38. Ví dụ về đạo hàm bậc nhất và bậc hai một chiều trên ảnh (a) Một ảnh
đơn giản (b) Biểu diễn của một đoạn cắt ngang tại vị trí trung tâm của ảnh (c) Biểu diễn rõ hơn của đoạn ảnh này cùng với các đạo hàm bậc 1 và bậc 2