Phép trung bình ảnh

Xét ảnh có nhiễu với thành phần nhiễu g(x, y) với thành phần nhiễu η(x, y) nằm lẫn vào trong ảnh gốc f(x, y) như sau:

g(x, y) = f (x, y)+ η(x,y) (3.4-2)

trong đó, giả sử rằng tại mỗi cặp tọa độ (x, y) nhiễu là không tương quan và có giá trị trung bình bằng 0. Chúng ta sẽ giảm nhiễu cho ảnh bằng cách thêm vào tập các ảnh nhiễu khác {gi(x,y)}, sau đó tính trung bình của các ảnh nhiễu này. Nếu nhiễu thỏa mãn hai ràng buộc trên thì ta có thể chứng minh được rằng nếu ảnh (x, y)là ảnh trung bình của K ảnh nhiễu khác nhau.

(3.4-3) thì ta sẽ có:

(3.4-4) trong đó là giá trị kỳ vọng của còn và

là phương sai của và tại tất cả tọa độ (x, y). Độ lệch chuẩn tại các điểm trung bình là:

(3.4-5)

Từ hai biểu thức (3.4-5) và (3.4-6) ta thấy rằng K càng lớn thì thì nhiễucủa các giá trị điểm ảnh tại mỗi vị trí (x, y) càng giảm. Vàdonên sẽ tiệm cận đến f(x, y) khi số ảnh nhiễu đượcsử dụng trong quá trình trung bình ảnh tăng lên. Hình 3.20 là một ví dụ về trungbình ảnh.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Hình 3.30. (a) Ảnh của cặp ngân hà NGC 3314 (b) Ảnh sau khi thêm nhiễu Gauss

với giá trị trung bình là 0 và một độ lệch chuẩn của 64 cấp độ xám (c-f) Các kết quả của việc trung bình hóa các ảnh nhiễu với K = 8, 16 và 128 (Nguồn: NASA)

3.5Khái niệm cơ bản của lọc không gian

Như đã đề cập trong phần 3.1, một số toán tử lân cận làm việc với các giá trị của các điểm ảnh trong lân cận đó và tương ứng với giá trị của ảnh con mà nó có số chiều giống số chiều của lân cận. Ảnh con đó được gọi là bộ lọc, mặt nạ, nhân, mẫu, hoặc cửa sổ, hai thuật ngữ đầu tiên thường được sử dụng nhất. Các giá trị trong bộ lọc ảnh con ám chỉ đến các hệ số hơn là nói đến các điểm ảnh.

Khái niệm về bộ lọc có nguồn gốc từ phép biến đổi Fourier trong xử lý tín hiệu số còn được gọi là miền tần số.Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận các toán tử lọc thực thi trực tiếp trên các điểm ảnh của ảnh. Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ lọc không gian để chỉ sự khác nhau với xử lý bằng phương pháp truyền thống, đó là

lọc miền tần số

Cơ chế của lọc không gian được minh họa trong hình 3.17. Quá trình xử lý đơn giản là quá trình di chuyển mặt nạ lọc từng điểm một trong ảnh. Tại mỗi điểm (x, y), đáp ứng của bộ lọc tại điểm đó được tính bằng cách sử dụng mối quan hệ đã xác định trước.Đối với bộ lọc không gian tuyến tính, đáp ứng được cho bởi tổng của các tích của hệ các hệ số bộ lọc với điểm ảnh tương ứng trong vùng đề cập bởi mặt nạ bộ lọc. Đối với mặt nạ 3 x 3 như trong hình 3.17, kết quả, h, của bộ lọc tuyến tính với mặt nạ bộ lọc tại điểm (x, y)trong ảnh là:

R=w(-1,-1)f(x-1,y-1) + w(-1,0)f(x-1,y) + …

+ w(0,0)f(x,y)+…+w(1,0)f(x+1,y)+w(1,1)f(x+1,y+1)(3.5-1)

Đây là tổng của các tích của hệ số mặt nạ với điểm ảnh tương ứng dưới mặt nạ.Chú ý rằng, thông thường hệ số w(0, 0) trùng khớp với giá trị f(x, y) của ảnh, nghĩa là mặt nạ có tâm tại điểm (x, y)trong khi tính toán. Đối với mặt nạ kích thước m x n, chúng ta giả sử rằng m = 2a + 1 và n = 2b+1, trong đó a và b là những số nguyên không âm. Nghĩa là chúng ta thao tác trên những mặt nạ có kích thước lẻ, với kích thước nhỏ nhất là 3 x 3 (không loại trừ kích thước mặt nạ sử dụng là 1 x 1).

Nói chung, bộ lọc tuyến tính của ảnh f có kích thước M x N với mặt nạ lọc có kích thước n được cho bởi công thức sau:

g(x,y) = (3.5-2)

trong đó a=(m - 1)/2 và b=(n-1)/2. Để có được ảnh lọc thì chúng ta phải áp dụng trên toàn ảnh, tức là i= 0, 1, 2, ...,M và j= 0, 1, 2, ..., N. Trong trường hợp này, chúng ta đảm bảo được rằng mặt nạ sẽ xử lý hết tất cả các điểm ảnh trong ảnh. Dễ dàng kiểm tra lại với giá trị m = n = 3, lúc đó biểu thức rút gọn lại như ví dụ trên. Công thức (3.4-6) còn được gọi là tích chậpcủa mặt nạ với ảnh và mặt nạ bộ lọc nhiều lúc cũng còng được gọi là mặt nạ chậphay là nhân chập. Chúng ta cũng có thể ký hiệu đáp ứng Rcủa ảnh tại điểm (x, y)với mặt nạ chập có kích thuớc m x n theo công thức: R= (3.5-3) = w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9

Bộ lọc không gian phi tuyến cũng tác động lên các lân cận và cơ chế trượt mặt nạ qua ảnh tương tự như đề cập ở trên. Nói chung, toán tử lọc được dựa vào điều kiện các giá trị của điểm ảnh trong lân cận, và rõ ràng không sử dụng các hệ số theo kiểu tổng của các tích như mô tả trong công thức (3.5-1) và (3.5-2).