Đạo hàm bậc nhất trong xử lý ảnh được thực hiện bằng cách sử dụng độ lớn của gradient. Với hàm f(x, y), gradient của f tại tọa độ (x, y) được định nghĩa là một vectơ cột hai chiều:
Độ lớn của véc tơ được cho bởi:
(3.7-13)
Các thành phần của vectơ gradient là các toán tử tuyến tính, nhưng độ lớn của vectơ này là không tuyến tính vì toán tử lấy căn bậc hai là không tuyến tính. Mặt khác đạo hàm từng phần trong công thức (3.7-12) không bất biến với phép quay, nhưng độ lớn của vectơ gradient thì lại bất biến với phép quay.Mặc dầu không hoàn toàn chính xác nhưng người ta thường nói gradient để nói đến độ lớn của vectơ gradient. Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ này và sẽ nói rõ là vectơ hay độ lớn của vectơ trong những trường hợp cụ thể (khi mà rất dễ xảy ra sự lẫn lộn giữa hai khái niệm).
Thông thường chúng ta xấp xỉ độ lớn của gradient bằng giá trị tuyệt đối thay vì căn bậc hai của các bình phương như sau:
(3.7-14)
Công thức này đơn giản và dễ tính toán hơn so với công thức trước đó, nhưng tính chất bất biến nói chung bị mất đi. Chúng ta sử dụng ký hiệu trong hình 3.44(a) để ký hiệu cho các điểm ảnh trong vùng 3 × 3. Ví dụ, điểm tâm của mặt nạ, z5,
tương ứng với điểm ảnh f(x, y), điểm z1của mặt nạ tương ứng với điểm ảnh
f(x-1, y-), ... Như đã chỉ ra trong phần 3.5.1, xấp xỉ đơn giản nhất đối với đạo hàmbậc nhất là Gx = (z8 -z5) và Gy = (z6 - z5). Hai định nghĩa khác được cung cấp bởiRoberts [1965] là:
Gx = (z9 - z5) và Gy = (z8 - z6) (3.7-15) Nếu chúng ta quyết định sử dụng công thức (3.7-13), thì gradient được tính như sau:
(3.7-16)
(3.7-15) vào công thức (3.7-14) ta sẽ có xấp xỉ gradient như sau:
(3.7-17)
Công thức này có thể được thực hiện với hai mặt nạ trong hình 3.44 (b) và (c)
(a) (b) (c) (d) (e)
Hình 3.44. Các mặt nạ gradient (a) Ký hiệu của vùng ảnh kích thước 3 ×
3 (b-e) Các mặt nạ để tính gradient tại điểm ảnh z5. Tổng các hệ số của mỗi mặt nạ đều bằng 0.
Các mặt nạ có kích thước chẵn thì sẽ khó thực hiện tính toán hơn.Mặc nạ lọc có kích thước nhỏ nhất thường được sử dụng có kích thước là 3 × 3. Một xấp xỉ sử dụng giá trị tuyệt đối tại điểm z5 với kích thước mặt nạ là 3 × 3 là:
(3.7-18)
Sự khác nhau giữa dòng thứ ba và thứ nhất của vùng ảnh 3 × 3 xấp xỉ đạo hàm theo hướng x và sự khác biệt gữa cột thứ ba và cột thứ nhất xấp xỉ đạo hàm theo hướng y. Hai mặt nạ trong hình 3.44(d) và (e) được gọi là các toán tử Sobel, được sửdụng để cài đặt công thức (3.7-18). Chú ý rằng, tổng các hệ số trong bốn mặt nạ ởhình 3.44đều bằng 0, nghĩa là đáp ứng của ảnh sẽ cho giá trị 0 trên vùng có cấp xám không thay đổi.
Trong ví dụ ở hình 3.45(a) ta thấy có hai khuyết điểm trên biên ở góc 4 giờ và
5 giờ.Hình 3.45(b) chỉ ra gradient đạt được bằng cách áp dụng công thức (3.7-14) với hai toán tử Sobel trong hình 3.44(d) và (e).Chúng ta thấy rằng, vùng méo ở biên nhìn thấy rõ hơn trong hình 3.45(b) này.
(a) (b)
Hình 3.45.Ví dụ về toán tử Sobel (a) Ảnh gốc (b) Gradient Sobel
(Nguồn: Pete Sites. Tổng công ty Perceptics)