Toán tử đạo hàm bậc hai (Laplace)

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng đạo hàm bậc hai - hai chiều

để tăng cường ảnh.Cách tiếp cận cơ bản là sử dụng định nghĩa đạo hàm bậc hai (áp dụng cho ảnh số) để xây dựng mặt nạ lọc tương ứng.Chúng ta quan tâm đến các bộlọc đẳng hướng (isotropic filters), là các bộ lọc có đáp ứng độc lập với hướng của các vùng không liên tục trong ảnh.Nói cách khác, bộ lọc đẳng hướng là bất biến quay, nghĩa là nếu quay ảnh trước khi lọc cho ra kết quả như khi lọc trước sau đó mới quay ảnh.

(a) (b) (c) (d)

Hình 3.39. Các bộ lọc làm nét Laplace (a) Bộ lọc ứng với toán tử Laplace (b)

Bộ lọc ứng với mở rộng của toán tử Laplace theo các lân cận chéo (c-d) Hai bộ lọc khác ứng với toán tử Laplace.

Toán tử đạo hàm đẳng hướng đơn giản nhất là toán tử Laplace, mà, với ảnh f(x, y), được định nghĩa như sau:

(3.7-1)

Ta thấy rằng toán tử Laplace là toán tử tuyến tính. Tuy nhiên, để có thể áp dụng toán tử Laplace trong xử lý ảnh số, ta phải viết lại công thức này ở miền rời rạc.Có nhiều cách khác nhau định nghĩa toán tử Laplace rời rạc bằng cách sử dụng lân cận, nhưng bất kể định nghĩa nào cũng phải thỏa mãn các tính chất của đạo hàm bậc hai như đã được đề cập trong phần 3.7.1.Định nghĩa của đạo hàm bậc hai rời rạc trong phần này được rất nhiều trong thực tế. Ta viết lại định nghĩa đạo hàm bậc hai từng phần theo hai hướng x và y như sau:

(3.7-2) (3.7-3)

Áp dụng vào công thức (3.7-1), ta có:

(3.7-4)

Công thức này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng mặt nạ như đã chỉ ra trong hình 3.39(a), nó cho kết quả đẳng hướng với các phép quay 900. Hai đường

chéo có thể được sát nhập lại với nhau theo định nghĩa của toán tử Laplacian bằng

cách thêm hai đại lượng vào công thức (3.7-4), mỗi một đại lượng cho một đường

chéo. Hình 3.39(b) là mặt nạ ứng với trường hợp ta xét thêm hai đường chéo.Mặt nạnày cho kết quả bất biến với các phép quay 450.Hai mặt nạ chỉ ra trong hình 3.39 (c-d) cũng là những mặt nạ thường dùng trong thực tế. Chúng dựa trên định nghĩa của toán tử Laplace theo hướng âm.

Bởi vì toán tử Laplace là toán tử đạo hàm nên nó làm nổi bật các vùng không liên tục của cấp xám, đồng thời làm yếu đi các vùng phẳng. Điều này dẫn đến ảnh kết quả sau khi áp dụng toán tử Laplace sẽ không giữ lại được các chi tiết ban đầu của ảnh. Do đó, để khôi phục các chi tiết của ảnh gốc, người ta thường cộng ảnh kết quả với ảnh gốc để cho ra ảnh rõ nét (là ảnh vẫn giữ nguyên những chi tiết ban đầu nhưng các cạnh được làm nổi bật lên). Nếu toán tử Laplace có hệ số tâm là âm thì chúng ta sẽ lấy ảnh gốc trừ đi ảnh kết quả sau khi áp dụng toán tử Laplace thay vì cộng. Vì vậy công thức sau biểu thị một cách tổng quát cách áp dụng toán tửLaplace trong tăng cường ảnh:

a b c d

Hình 3.40. Ví dụ về lọc Laplace làm nét (a) Ảnh cực bắc của mặt trăng (b) Ảnh

đãđược lọc Laplace (c) Ảnh Laplace sau khi thay đổi tỷ lệ (d) Ảnh sau khi được làmnét sử dụng biểu thức 3.7-5 (Nguồn: NASA)

Hình 3.40(a) là ảnh bắc cực của mặt trăng.Hình 3.40(b) là kết quả của phép lọc ảnh này bởi mặt nạ Laplace trong hình 3.39(b).Vì ảnh Laplace chứa cả giá trị âm và giá trị dương nên để hiển thị người ta phải thay đổi tỷ lệ để làm sao giá trị cấp

độ xám thấp nhất trong ảnh là 0 (chứ không phải một số âm).Hình 3.40(c) chính là

hình 3.40(b) sau khi thay đổi tỷ lệ về cấp độ xám (chỉ để mục đích hiển thị).Chú ý rằng chi tiết nỗi bật của ảnh là các cạnh và các vùng không liên tục về cấp xám. Nền của ảnh chuyển từ đen (trong hình 3.40(b)) sang xám vì thao tác tỷ lệ hóa. Hình 3.40(d) là kết quả đạt được sau khi sử dụng công thức (3.7-5) để lọc ảnh. Chi tiết trong ảnh này rõ ràng sáng sủa và rõ nét hơn so với ảnh gốc. Các chi tiết trên ảnh được nhìn thấy rõ hơn, độ tương phản cao hơn.

Đơn giản hóa

(a)

(b)

(c) (d)

Hình 3.41. Ví dụ về bộ lọc Laplace tổ hợp (a) Hai bộ lọc Laplace tổ hợp (b) Ảnh

gốc (c-d) Kết quả của việc áp dụng hai bộ lọc trên ảnh gốc(Nguồn:Michael Shaffer, Sở Khoa học Địa chất, Đại học Oregon, Eugene)

Trong ví dụ trên, chúng ta thực hiện công thức (3.7-5) bằng cách trước hết tính toán ảnh được lọc bằng toán tử Laplace, sau đó trừ nó đi từ ảnh gốc. Công thức (3.7-5) có thể được viết lại như sau:

= (3.7-6)

Mặt nạ không sắc nét và bộ lọc tăng cường-nâng cao

Một quy trình dùng trong nhiều năm trong ngành công nghiệp xuất bản để làm sắc nét hình ảnh gồm trừ một phiên bản mờ của một hình ảnh từ các hình ảnh. Quá trình này, được gọi là mặt nạ không sắc nét, được thể hiện như sau:

(3.7-7) Trong đó biểu thị hình ảnh sắc nét thu được bởi mặt nạ không sắc nét, và f (x, y) là một phiên bản mờ của f(x, y). Nguồn gốc của mặt nạ không sắc nét là trong bóng tối phòng nhiếp ảnh, mà nó bao gồm kẹp cùng một âm bản mờ đến một phim dương bản tương ứng và sau đó phát triển sự kết hợp này tạo ra một hình ảnh sắc nét.

Tổng quát nhẹ hơn mặt nạ không sắc nét được gọi là lọc nâng cao- tăng cường. Một nâng cao- tăng cường lọc hình ảnh, fhb(x, y), được xác định tại bất kỳ điểm (x, y) như sau:

(3.7-8)

a b

Hình 3.42. Kỹ thuật lọc nâng cao-tăng cường có thể được thực hiện với hoặc là một

trong những mặt nạ, với A ≥ 1.

Trong đó A ≥ 1và, như trước đây, là một phiên bản mờ của f. Phương trình này có thể được viết như sau:

(3.7-9)

Bằng cách sử dụng phương trình (3.7-7), chúng ta có được: (3.7-10)

là biểu hiện cho tính toán một hình ảnh lọc nâng cao-tăng cường.

Phương trình (3.7-10) được áp dụng nói chung và không nói rõ cách thức thu được hình ảnh sắc nét. Nếu chúng ta chọn để sử dụng Laplacian, sau đó ta biết rằng fs(x, y) có thể thu được bằng cách sử dụng phương trình (3.7-5). Trong trường hợp này, phương trình. (3.7-10) trở thành:

nếu hệ số trung tâm của mặt lạ Laplacian là âm (3.7-11) nếu hệ số trung tâm của mặt lạ Laplacian là dương

Lọc nâng cao-tăng cường có thể được thực hiện với một vượt qua bằng cách sử dụng hai mặt nạ chỉ ra trong hình. 3.42. Lưu ý rằng, khi A = 1, lọc nâng cao-tăng cường trở thành "tiêu chuẩn" mài Laplacian. Như giá trị của A tăng quá 1, sự đóng góp của quá trình mài trở nên ít hơn và ít quan trọng. Cuối cùng, nếu A là đủ lớn, hình ảnh nâng cao-tăng cường sẽ được xấp xỉ bằng hình ảnh ban đầu nhân với một hằng số.

Một trong những ứng dụng chính của lọc tăng cường là khi hình ảnh đầu vào tối hơn mong muốn. Bằng cách thay đổi hệ số tăng cường, nhìn chung có thể có được một hình ảnh tổng thể tăng trong mức xám trung bình của hình ảnh, từ đó giúp làm sáng kết quả cuối cùng. Hình 3.43 thể hiện như một ứng dụng.Phần (a) của hình này là một phiên bản tối của hình ảnh trong hình 3.41(c).Hình 3.43(b) cho thấy phép tính Laplacian bằng cách sử dụng mặt nạ trong hình 3.42(b), với A = 0. Hình 3.43(c) đã thu được bằng cách sử dụng mặt nạ trong hình 3.42(b) với A = 1. Theo dự kiến, các hình ảnh đã được làm sắc nét, nhưng nó vẫn còn tối như ban đầu. Cuối cùng, hình 3.43(d) cho thấy kết quả của việc sử dụng A = 1,7. Đây là kết quả chấp nhận được nhiều hơn, trong đó mức độ màu xám trung bình đã tăng lên, do đó làm cho hình ảnh sáng hơn và tự nhiên hơn.

a b cd

Hình 3.43.(a) Tương tự như hình 3.41 (c), nhưng tối hơn. (a) Laplacian của (a) phép tính với mặt nạ trong hình 3.42 (b) sử dụng A = 0. (c) Laplacian nâng cao hình ảnh bằng cách sử dụng mặt nạ trong hình 3.42 (b) với A = 1. (d) Tương tự như (c), nhưng sử dụng A = 1.7