+ Góc nội tiếp là góc có ñỉnh nằm trên ñường tròn và hai cạnh cắt ñường tròn ñó Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
+ Sốño góc nội tiếp bằng nửa sốño cung bị chắn + Trong một ñường tròn :
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau - Mọi góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn ñều là góc vuông
- Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng một góc vuông) có số ño bằng nửa số ño của góc ở tâm cùng chắn một cung
Bài tập mẫu
Cho nửa ñường tròn ( )O ,ñường kính AB. Trên nửa ñường tròn lấy hai ñiểm C và D (D∈»AC)
sao cho COD• = 900. Các tia AD và BC cắt nhau tại P, AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng a. Tam giác ACP và tam giác BDP là các tam giác cân;
b. PH vuông góc với AB
Giải
Góc •ACB là góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn tâm O ñường kính AB nên •ACB= 900, suy ra
• 0
90
ACP= (hai góc kề bù). Do ñó hai tam giác ACP vuông tại C Ta có • 1 • 2 CAD= COD(Góc nội tiếp chắn nửa góc ở tâm cùng chắn cung CD» ). Mà • 0 90
COD= nên CAD• = 450
Tam giác vuông ACP có • 0
45
CAP= nên nó à
tam giác vuông cân tại C
+ Chứng minh tương tự tam giác BDP vuông cân tại D
b. Theo chứng minh trên ta có • 0
90
ACB= , suy ra AC⊥ BP, • 0
90
BDA= , suy ra BD⊥ AP
Trong tam giác APB, hai ñường cao AC và DB cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác, do
ñó PH⊥ AB
Bài tập luyện tập
Bài tập 12: Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn ( )O . Đường cao AH cắt ñường tròn
a. CM… = CN»
b. AC là tia phân giác của góc MAN
Bài tập 13: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn ( )O . Tia phân giác của góc B cắt ñường tròn tại M. Đường thẳng qua M song song với AB cắt ñường tròn tại M N và catứ cạnh BC tại I
a. So sánh hai góc MCN và BNC
a. Chứng minh rằng IM= IB và IN= IC
Bài tập 14: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn ( )O và trựa tâm H nằm trong tam giác. Tia AH cắt BC tại I, cắt ñường tròn ( )O tại E. Chứng minh rằng :
a. BC là tia phân giác của góc •HBE
b. H và E ñối xứng với nhau qua BC
Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn, ñường phân giác của góc Acắt ñường tròn tại P, ñường cao AH cắt cạnh BC tại H. Chứng minh rằng
a. OP song song với AH
b. AP là tia phân giác của góc OAH•
Bài tập 16: Cho ñường tròn ( )O hai dây AB và CD catư nhau tại I. Chứng minh rằng: IA IB. = IC ID.
(Xét hai trường hợp: Điểm I nằm trong ñường tròn ( )O và ñiểm I nằm ngoài ñường tròn ( )O )
Bài tập 17: Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn tâm O bán kính R, ñường cao AH
(H∈BC). Tia AO cắt ñường tròn tại D. Chứng minh rằng
a. ∆ABH ∆ADC
b. R AB AC. AH
=
Bài tập 18: Cho tam giác ABC (AB< AC) nội tiếp ñường tròn ( )O , ñường cao AH (H∈BC), AH cắt ñường tròn tại D, AO cắt ñường tròn tạiE
a. So sánh hai góc BAH• và OAC•
b. Tứ giác BCED là hìnhgì? Tại sao?
Bài tập 19: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn ( )O có trực tâm H nằm trong tam giác. Tia AO cắt ñường tròn tại D
a. Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao?
b. Gọi I là trung ñiểm của BC. Chứng minh rằng ba ñiểm H,I,D thẳng hàng c. Chứng minh rằng 1
2
OI= AH
Bài tập 20: Cho hai ñường tròn ( )O1 và ( )O2 cắt nhau tại A và B (O1 và O2 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Qua A kẻ hai cát tuyến CD và EF ( C và E ∈ ( )O1 , D và F ∈ ( )O2 ). Từ B kẻ BH
⊥ CD, kẻ BK ⊥ EF. Biết rằng CAB• = •BAF
a. Chứng minh rằng ∆BHC= ∆BKE
b. So sánh CD và EF
Bài tập 21: Cho tam giác ñều ABC nội tiếp ñường tròn ( )O . Gọi M là một ñiểm trên cung nhỏ »
BCTrên tia MA lấy ñiểm D sao cho MD = MB a. Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMC b. Tam giác MBMD là tam giác gì? Tại sao?
c. So sánh hai tam giác ADB và CMB d. Chứng minh rằng MA= MB+ MC
a. Biết BC = 4cm, ñường cao AH = 1,2cm b. Biết rằng BC = 4cm ; •ACB= 400