VD1: CMR: với n ∈N* thì 1 + 3 + 5 +...+ 2n - 1 = n2 (1) Giải: -Bước 1: với n = 1, VT = 1, VP = 1 =>(1) đúng.
-Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là: 1 + 3 + 5 +...+ 2k - 1 = k2 (giả thiết quy nạp). Ta phải CM (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 3 + 5 +...+ 2k +1 +[2(k+1)-1] = (k+1)2 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta cĩ: 1 + 3 + 5 +...+ 2k -1 +[2(k+1)-1] =
-GV: Dùng giả thiết quy nạp
-GV: Nêu HĐ2 -HS: áp dụng làm
-GV: với n = 1, VT = ?, VP = ?
-GV: Nêu giả thiết quy nạp?
-GV: Dùng giả thiết quy nạp
k2 + [2(k+1)-1] = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 (đpcm) Vậy: (1) đúng với n ∈N*. HĐ2: CMR: với n ∈N* thì 1 + 2 + 3 +...+ n = ( 1) 2 n n+ (2) Giải: -Bước 1: với n = 1, VT = 1, VP = 1 =>(2) đúng.
-Bước 2: Giả sử (2) đúng với n = k ≥ 1, tức là: 1 + 2 + 3 +...+ k = ( 1)
2
k k+
(giả thiết quy nạp). Ta phải CM (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2 + 3 +…+ k + (k + 1) = ( 1)( 2) 2
k+ k+ Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta cĩ: 1 + 2 + 3 +...+ k + (k + 1) = ( 1) 2 k k+ + (k + 1) = ( 1) 2( 1) 2 k k+ + k+ = ( 1)( 2) 2 k+ k+ (đpcm) Vậy: (2) đúng với n ∈N*. Hoạt động3: -GV: Nêu VD2 -HS: áp dụng làm -GV: với n = 1, VT = ?, VP = ? -GV: Nêu giả thiết quy nạp?
-GV: Dùng giả thiết quy nạp
-GV: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ta làm thế nào? -HS: Trả lời VD2: CMR: với n ∈N* thì n3 – n chia hết cho 3 (3) Giải: -Bước 1: Với n = 1=>03 – 0 = 0 M3 (đúng) -Bước 2: Giả sử (3) đúng với n = k ≥ 1, tức là: k3 - k M3. Ta phải CM (3) cũng đúng với n = k + 1, tức là: (k+1)3 - (k+1) M3
Thật vậy, ta cĩ:
(k+1)3 - (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k -1 = k3 - k + 3k2 + 3k = (k3 - k) + 3(k2 + k) M3 Theo giả thiết quy nạp k3 - k M3;
hơn nữa: 3(k2 + k) M3
Vậy n3 - n chia hết cho 3 với n ∈N*
*Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là
đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là 1 số tự nhiên) thì:
-Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
-Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với n = k ≥ p và phải chứng minh nĩ cũng đúng với n = k + 1.
IV. Củng cố và hướng dẫn tự học ở nhà:
Nắm chắc phương pháp quy nạp tốn học. Xem lại các VD đã chữa.
Giải các bài tập SGK trang 82+83.
Tiết: 40;41