Trích bài giảng: Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh, trình bày tại chương trình Gặp gỡ toán

học 2010do Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010.

số như vậy. Vì ^√p+1²>p nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai cặp số

(x,y)6= (x⁰,y⁰)sao chox+Ny≡x⁰+Ny⁰(modp).Từ đây suy ra

x−x⁰≡N(y⁰−y) (modp), dẫn tới

(x−x⁰)²≡N²(y⁰−y)²(modp). Bây giờ, nhớ lại rằngN²≡ −1(modp),ta suy ra

(x−x⁰)²≡ −(y⁰−y)²(modp), hay

(x−x⁰)²+ (y⁰−y)²≡0(modp).

Cuối cùng, chú ý rằng0<(x−x⁰)²+ (y⁰−y)²<2pta suy ra điều phải chứng minh. Ngoài kỹ thuật kinh điển với chuồng và thỏ, ta có thể sử dụng một biến thể của nguyên lý Dirichlet như sau:

Tính chất. Nếu A, B là các tập hợp thoả mãn điều kiện |A|+|B|>|A∪B| thì

A∩B6=0.

Sau đây là một áp dụng của tính chất này.

Ví dụ 12.4. Chứng minh rằng nếuplà số nguyên tố dạng4k+3thì tồn tại các số nguyênx,ysao chox²+y²+1chia hết chop.

Chứng minh. Đặtri=i²modp với i=1,2, . . . , ^p−1

2 ^{vàsi=−1−i}

2modp,

i=1,2, . . . , ^p−1

2 ^{thì dễ dàng chứng minh được rằngri đôi một phân biệt vàsiđôi} một phân biệt. Hơn nữa,rivàsi đều thuộc{1,2, . . . , p−₁}.

ĐặtA=ⁿr₁, . . . ,rp−1 2 o ,B=ⁿs₁, . . . ,sp−1 2 o thì|A|=|B|= ^p−1 2 ^và |A∪B| ≤p−1. Xảy ra hai trường hợp.

Trường hợp 1.Nếu|A∪B|<p−1thì theo tính chất nên trên, ta cóA∩B6=_∅,tức là tồn tạii, jsao chori=sj,tương đương vớii²≡ −₁−j²(modp),hayi²+j²+1 chia hết chop.

Trường hợp 2.Nếu|A∪B|=p−₁thìA∩B=_∅và như vậy, các sốr₁,r₂, . . . ,rp−1 2

,

s₁,s₂, . . . ,sp−1

2 đôi một phân biệt và ta có

r₁+r₂+· · ·+rp−1 2

+s₁+s₂+· · ·+sp−1 2

Điều này mâu thuẫn vì theo định nghĩa củar_ivàsi,ta có r₁+r₂+· · ·+rp−1 2 +s₁+s₂+· · ·+sp−1 2 ≡ ≡₁2+2²+· · ·+ p−₁ 2 2 + (−₁−₁2) +· · ·+ −₁− p−₁ 2 2! ≡ −^p−1 2 ^(modp).

Vậy trường hợp 2 không xảy ra, và như thế ta rơi vào trường hợp 1. Ta có điều phải chứng minh.

Ghi chú.Lý luậnA∨BvàB⇒Ađược gọi làTam đoạn luận rời.

Bài tập

1. Xét dãy số Fibonacci xác định bởi F₁=F₂=1,Fn+1 =Fn+Fn−1 với mọi

n≥2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngm>1,tồn tại vô số số hạng của dãy số chia hết chom.

2. Từ khoảng(2²ⁿ,2³ⁿ)chọn ra2²ⁿ⁻¹+1số lẻ. Chứng minh rằng trong các số được chọn, tồn tại hai số mà bình phương mỗi số không chia hết cho số còn lại.

3. Chứng minh rằng

(a) Không tồn tại số nguyên dươngnsao cho10ⁿ+1chia hết cho2003. (b) Tồn tại các số nguyên dươngm,nsao cho10^m+10ⁿ+1chia hết cho 2003.

4. Dãy số nguyên dươnga₁,a₂, . . . ,an, . . .thoả mãn điều kiện 1≤an+1−an≤2001

với mọin=1,2,3, . . . Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số p,q sao cho

q>pvàaqchia hết choap.

(Vietnam TST 2001)