10. Cấu trúc của luận văn
2.2.2.Tự học thông qua phiếu học tập
Thông thường đề bài và lời giải của toán tổ hợp đều dùng nhiều lập luận bằng lời nên dạy học tự học thông qua phiếu học tập giúp giáo viên tiết kiệm được thời gian, đồng thời buộc học sinh phải chủ động và tích cực trong học tập. Phiếu học tập với các câu hỏi từ dễ đến khó phù hợp với các đối tượng học sinh. Học sinh khá giỏi có thể trả lời hết các câu hỏi, học sinh yếu và trung bình sẽ trả lời được một số câu hỏi, tạo niềm tin và hứng thú học tập cho học sinh. Sau đây là một số ví dụ về phiếu học tập.
Phiếu học tập số 1: Dành cho học sinh sau khi học bài 1: “Hai quy tắc đếm” Câu 1: Điền vào chỗ trống (….) cho đúng:
a, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều phương án thì số cách thực hiện công việc đó là …………. của các kết quả của mỗi phương án. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
b, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau thì số cách thực hiện công việc đó là ……… của các kết quả của mỗi công đoạn. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
Câu 2: Trong cuộc thi “Đấu trường 100”, người chơi có thể chọn cho mình 1 câu hỏi dễ hoặc khó. Biết có 48 câu hỏi loại dễ và 32 câu hỏi loại khó. Hỏi người chơi có bao nhiêu cách chọn cho mình 1 câu hỏi?
Câu 3: Bạn A có 4 áo sơ mi và 3 quần. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn 1 bộ quần áo?
37
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a, Có 5 chữ số
b, Có 5 chữ số khác nhau
c, Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Câu 5: Hãy sáng tác các bài tập tương tự các bài tập mẫu trên hoặc bài tập mới và trình bày cách giải sao cho trong lời giải áp dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân hoặc áp dụng cả hai quy tắc
Với phiếu học tập trên giáo viên mong đợi học sinh trung bình có thể phân biệt được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân và áp dụng được vào các bài tập cơ bản. Với câu hỏi thứ 4 giáo viên muốn củng cố cách dùng 2 quy tắc này bởi muốn giải quyết được câu 4c) thì học sinh phải vận dụng cả hai quy tắc. Câu 5 giáo viên muốn học sinh tự sáng tạo bài toán và tự đưa ra lời giải để phát huy được năng lực học tập ở mỗi học sinh.
Phiếu học tập số 2: Dành cho học sinh khi học bài 2: “Hoán vi, chỉnh hợp và tổ hợp”
Câu 1: Điền vào chỗ trống (….) cho đúng
a, Cho tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kì của tập A rồi cho vào một nhóm thì ta được một ……….. của tập A.
b, Cho tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kì của tập A rồi sắp xếp k
phần tử này theo một thứ tự nào đó thì ta được một……….. của tập A.
c, Cho tập A có n phần tử, sắp xếp n phần tử này vào n vị trí theo một thứ tự nào đó ta được một ………. của tập A.
Câu 2: Để tạo ra một tổ hợp chập k của n phần tử ta phải thực hiện mấy thao tác?
Để tạo ra một chỉnh hợp chập k của n phần tử ta phải thực hiện mấy thao tác? Kể tên các thao tác đó.
38 Câu 3: Xét bài toán: “Một lớp có 40 học sinh.
a, Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 40 học sinh này biết lớp học có 10 bàn và mỗi bàn ngồi đúng 4 người?
b, Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào ban cán sự lớp?
c, Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào ban cán sự lớp với các chức vụ: lớp trưởng, lớp phó lao động, lớp phó học tập?”
Em hãy cho biết:
- Để giải câu a) dùng kiến thức nào? Tại sao?
- Ở câu hỏi nào dùng tổ hợp? câu hỏi nào dùng chỉnh hợp? - Hãy nêu cách em phân biệt khi dùng tổ hợp và chỉnh hợp - Áp dụng kiến thức vừa có hãy giải bài toán trên
Trong phiếu học tập trên giáo viên muốn học sinh hiểu định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp theo nghĩa diễn giải để học sinh dễ hình dung. Câu hỏi 3 đưa ra nhằm cho học sinh tập cách phân tích bài toán và tự mình tìm hướng giải và cũng là để học sinh biết phân biệt được sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp.
Khi dạy bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể thiết kế phiếu học tập nhằm đưa ra các bài tập mẫu để học sinh giải. Qua đó yêu cầu học sinh sáng tác bài tập tương tự hoặc bài tập mới và trình bày lời giải cho bài tập của mình. Ví dụ như phiếu học tập sau:
Phiếu học tập số 3
Trong mỗi bài toán dưới đây, em hãy đưa ra lời giải, hãy sáng tạo các bài tập mới tương tự bài toán đã cho, có thể đào sâu, nâng cao hay mở rộng bài toán….và đưa ra lời giải cho những bài toán đó: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được: a, Bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?
39
b, Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? c, Bao nhiêu tập con gồm 3 phần lấy từ các chữ số trên?
Bài 2: Một tổ có 8 em nam và 7 em nữ. Cần chọn ra 6 em của tổ để đi dự hội diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 em được chọn
a, Có ít nhất 3 em nữ?
b, Có ít nhất 2 em nữ và ít nhất 2 em nam?
Với phiếu học tập trên giáo viên mong muốn học sinh tự làm được các công việc sau:
- Đề xuất được ít nhất là một cách giải cho mỗi ý câu hỏi.
- Đào sâu bài toán bằng cách tìm các cách giải khác (nếu có thể).
- Thay đổi yêu cầu của bài toán để được các bài toán có liên quan hoặc sáng tác bài tập mới.
Đối với học sinh khá giỏi giáo viên mong muốn học sinh:
- Phát biểu bài toán tổng quát để hình thành dạng bài tập: “Chọn m phần tử từ hai tập A và B sao cho có ít nhất x phần tử của tập A hoặc có ít nhất x phần tử của tập A và ít nhất y phần tử của tập B” và rút ra cách làm.
- Thay cụm từ “ít nhất” trong bài 2 bằng cụm từ “đúng” hoặc “nhiều nhất” sao cho phù hợp và đề xuất cách giải.
2.3. Vận dụng phƣơng pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phƣơng pháp Project)
2.3.1. Giao và hƣớng dẫn học sinh làm bài tập lớn theo chủ đề
- Hình thức: nhóm học sinh (chia lớp thành các nhóm học sinh, mỗi nhóm tự bầu 1 nhóm trưởng để phân công công việc và làm nhiệm vụ thu thập, công bố sản phẩm sau này và 1 thư kí để ghi lại những nội dung cần thiết).
- Nhiệm vụ: Học sinh làm dự án tìm hiểu, nghiên cứu, thống kê một số dạng toán tổ hợp thường gặp trong chương trình, đưa ra lời giải, xây dựng các bước làm và sáng tác bài tập tương tự.
40 - Tiến trình thực hiện dự án gồm 5 giai đoạn:
1) Chọn đề tài và xác định mục đích của dự án: giáo viên và học sinh cùng đề xuất. 2) Xây dựng kế hoạch thực hiện: Học sinh dưới sự hướng dẫn của giáo viên xây dựng đề cương cho việc thực hiện dự án. Học sinh cần xây dựng công việc cần làm, thời gian dự kiến và phân công công việc trong nhóm.
3) Thực hiện dự án: Các thành viên thực hiện công việc theo kế hoạch đã đề ra. 4) Thu thập kết quả và công bố sản phẩm: kết quả có thể viết dưới dạng thu hoạch, báo cáo.
5) Đánh giá dự án: Giáo viên và học sinh đánh giá quá trình thực hiện và kết quả cũng như kinh nghiệm đạt được. Rút kinh nghiệm cho việc thực hiện các dự án tiếp theo.
Trong đó giai đoạn 1 và 2 được thực hiện trên lớp, giai đoạn 3 học sinh tự làm việc ở nhà theo nhóm đã được phân công, giai đoạn 4 và 5 thực hiện trên lớp sau khi các nhóm học sinh đã có sản phẩm để công bố.
Ví dụ 1: Sau khi học xong bài 2 “Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” giáo viên có thể cho học sinh thực hiện dự án “Một số dạng toán tổ hợp áp dụng hai quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông”. Mục tiêu là học sinh tự tổng kết được các phần lý thuyết có liên quan, thống kê được các dạng toán tương ứng, đề xuất các bước giải và đưa ra một số bài tập tương tự. Sản phẩm của mỗi nhóm được đánh máy và in thành một bộ tài liệu, có thể trình bày thêm trên powerpoit để công bố sản phẩm của nhóm trước tập thể lớp, thuận lợi cho giáo viên và các nhóm khác đánh giá sản phẩm và rút kinh nghiệm.
Các bước tiến hành bài dạy: Giáo viên yêu cầu thư kí của mỗi nhóm học sinh ghi lại các vấn đề mà giáo viên và học sinh đặt ra trong buổi học để phục vụ cho việc xây dựng dự án sau này.
- Bắt đầu giới thiệu dự án bằng cách đặt câu hỏi “Khi làm toán tổ hợp em gặp những khó khăn gì?” Giáo viên để cho học sinh chia sẻ ý kiến của mình.
41
Trong quá trình thảo luận, từ những khó khăn mà học sinh gặp phải, giáo viên cho học sinh đề xuất các biện pháp khắc phục. Giáo viên nhấn mạnh rằng chúng ta hoàn toàn có thể tháo gỡ những khó khăn đó trong và sau khi thực hiện dự án sau này.
- Giáo viên lần lượt nêu tiếp các câu hỏi:
+ Quy tắc cộng là gì? Quy tắc nhân là gì? Khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân?
+ Nêu một số bài tập em biết dùng quy tắc cộng. + Nêu một số bài tập em biết dùng quy tắc nhân. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Nêu một số bài tập em biết dùng kết hợp cả 2 quy tắc đếm. + Hãy dự kiến đưa ra các bước giải.
+ Hãy sáng tác các bài tập tương tự.
Với mỗi câu hỏi giáo viên cho học sinh thảo luận và thống nhất theo nhóm. Giáo viên nêu các câu hỏi tương tự cho các dạng toán áp dụng hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp. Sau đó giáo viên yêu cầu mỗi nhóm học sinh thực hiện dự án “Một số dạng toán tổ hợp áp dụng hai quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông”. Trong dự án đó học sinh phải tổng kết được các phần lý thuyết tổ hợp đã được học, thống kê được một số dạng bài tập vận dụng các kiến thức có liên quan, đề xuất các bước giải các dạng bài tập tương ứng, sáng tác bài tập mới, thời gian thực hiện dự án là 1 tuần, tiết học này tuần sau các nhóm phải công bố sản phẩm của nhóm mình và nộp 1 bản đánh máy cho giáo viên. Sau khi giáo viên nêu các yêu cầu của dự án, các nhóm dựa vào bản ghi chép của thư kí cùng nhau thảo luận và xây dựng đề cương. Nhóm trưởng phân công công việc cho các thành viên và thời gian thực hiện. Đúng lịch các nhóm trình bày sản phẩm của nhóm mình. Giáo viên và học sinh cùng nhau nhận xét đánh giá, rút kinh nghiệm, giáo viên thu sản phẩm, giáo viên và học sinh các nhóm cho điểm các nhóm chéo nhau và kết thúc dự án. Dưới đây là sản phẩm của một nhóm học sinh:
42
“ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
TRƢỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH LỚP 11B3
DỰ ÁN
“MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP ÁP DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH LỚP 11
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”
Giáo viên hướng dẫn: Phạm Thị Thanh Nhóm học sinh thực hiện: Lê Ngọc Hiếu Trương Tuấn Linh Hoàng Bách Diệp Nguyễn Thị Huyền Phạm Quang Độ Nguyễn Đức Hoàng HẢI PHÒNG 10 – 2010
43
I. Kiến thức cần nhớ
1, Quy tắc cộng
- Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n + m cách.
- Quy tắc cộng mở rộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án , ,....,
1 2 A A A k. Có n1cách thực hiện phương án 1 A , 2 n cách thực hiện phương án 2 A , … và n kcách thực hiện phương án A
k. Khi đó cộng việc được thực hiện được bởi
.... 1 2 n n n k cách. 2, Quy tắc nhân
- Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
- Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn , ,....,
1 2 A A A k. Công đoạn 1 A có thể thực hiện theo 1 n cách, công đoạn 2 A có thể thực hiện theo 2 n cách,….., công đoạn A kcó thể thực hiện theo n
kcách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
. ... 1 2
n n n
kcách.
3, Hoán vị
a, Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử (n1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A ).
44
b, Số các hoán vị
Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là Pn n! n n( 1)(n2)....1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4, Chỉnh hợp
a, Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Khi lấy ra k phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
b, Số các chỉnh hợp Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là ! ( )! n k An n k 5, Tổ hợp
a, Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 k n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).
b, Số các tổ hợp Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( 0 k n) là ! !( )! n k Cn k n k
II, Một số dạng toán tổ hợp thƣờng gặp trong chƣơng trình lớp 11 THPT
1, Bài tập áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
1.1 Bài tập áp dụng quy tắc cộng
*) Bài tập mẫu
Bài 1 (SGK tr.54): Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn để mua áo?
45
Giải: Để mua một áo sơ mi bạn có 2 phương án thực hiện là chọn cỡ áo 39 hoặc cỡ áo 40.
+ Nếu chọn một áo cỡ 39: có 5 sự lựa chọn (do có 5 màu khác nhau) + Nếu chọn một áo cỡ 40: có 4 sự lựa chọn (do có 4 màu khác nhau) Vậy bạn có tất cả 5 + 4 = 9 sự lựa chọn.
Bài 3a (SGK tr.54): Một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Giải:
Học sinh được chọn có thể là học sinh nam hoặc học sinh nữ.