10. Cấu trúc của luận văn
1.1. Phương pháp dạy học tích cực là gì?
P(x)dx = (1+x) 0 0 0 0 n k k dx C x dxn k 1 1 1 n+1 1 (1+x) 2 1 0 1 1 1 2 ... 1 n+1 0 1 1 2 3 1 0 0 k k n n C xn n Cn Cn Cn Cn k n n k .
62 Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Đại học khối B 2003
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
2 3 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 ... 2 3 1 n n S Cn Cn Cn Cn n
- Phân tích: Mỗi số hạng trong tổng có chứa đại lượng 1
1
k Cn
k . Từ cách làm
ví dụ 1 ta suy ra ta cũng xét đa thức (1+x)n
rồi lấy tích phân hai vế với cận đi từ a đến b, tức là: 1 1 1 n (1+x) 1 1 0 0 0 b k k k b b n k k n x k n b a k dx C x dxn Cn Cn k k a a k k a k . So sánh
với các số hạng trong tổng S suy ra b = 2 và a = 1. - Giải:
Xét đa thức P(x) = (1+x)n. Áp dụng công thức nhị thức Niutơn ta có
n P(x) = (1+x) 0 n k k C xn k .
Lấy tích phân hai các vế với cận đi từ 1 đến 2 ta được
2 2 n 2 P(x)dx = (1+x) 0 1 1 1 n k k dx C x dxn k 2 2 1 n+1 (1+x) n+1 0 1 1 1 1 1 2 3 1 3 2 0 2 1 1 2 1 2 ... 2 1 1 2 3 1 k k n C xn k k n n n n Cn Cn Cn Cn n n Vậy 3 1 2 1 1 n n S n . b) Một số lưu ý + Phương pháp:
63
- Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp
- Chọn a, b, x, từ đó suy ra điều phải chứng minh + Chú ý
- Một số bài toán có thể lấy tích phân hai lần
- Dấu hiệu nhận biết dùng tích phân là trong các số hạng có chứa đại lượng 1 1 k Cn k hoặc 1 1 k Cn n k
- Nếu tổng chỉ chứa các số hạng ứng với k lẻ hoặc k chẵn thì phải tính hai tổng có liên quan rồi trừ vế hoặc cộng các vế tương ứng
c) Bài tập tương tự
Bài 1: Đại học khối A 2007
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có
2 1 1 1 1 3 1 5 1 2 1 2 ... 2 2 2 2 2 4 6 2 2 1 n n C C C C n n n n n n
Bài 2: Đại học Cảnh sát nhân dân, khối A, 2000 Tính tích phân 1 (1 2) (n +) 0 n I x x dx Z Từ đó chứng minh rằng 1 0 1 1 1 2 1 3 ... ( 1) 1 2 4 6 8 2( 1) 2( 1) n n Cn Cn Cn Cn Cn n n Bài 3: Tính các tổng sau: 1 1 1 0 2 1 3 2 1 2 .2 .2 ... ( 1) .2 1 2 3 n 1 n n S Cn Cn Cn Cn n 4 1 26 3 1 0 1 2 2 ... . 2 3 1 n n S Cn Cn Cn Cn n
64
Kết luận chƣơng 2
Trong chương 2, tác giả đã trình bày việc vận dụng 4 phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy toán tổ hợp, đó là:
1. Vận dụng phƣơng pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề
Các thầy cô giáo có thể vận dụng phương pháp dạy học này trong dạy học bài tập toán tổ hợp thông qua tìm nhiều lời giải cho cùng một bài toán, đào sâu, mở rộng hay tổng quát hóa bài toán. Trong phần này tác giả đã nêu một số ví dụ chính là đào sâu và tổng quát hóa một số bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
Bên cạnh đó, các thầy cô cũng có thể rèn luyện cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tìm sai lầm trong lời giải cho trước. Thông qua kĩ năng này, kiến thức toán tổ hợp của học sinh được củng cố và nâng cao hơn. Học sinh sau khi phát hiện ra sai lầm thì phải tìm cách đưa ra lời giải đúng. Thậm chí thầy cô giáo có thể yêu cầu học sinh ở mức độ cao hơn là từ một bài toán cho trước học sinh hãy tạo ra các lời giải sai để đố bạn bên cạnh. Từ đó bản thân học sinh sẽ tránh được nhiều nhầm lẫn trong làm bài.
2. Vận dụng phƣơng pháp dạy học tự học
Từ yêu cầu của thực tiễn, học sinh cần phải học nhiều song giáo viên không thể dạy được tất cả nên việc vận dụng phương pháp tự học là cần thiết. Trong phần này tác giả đề cập đến 2 cách dạy học tự học là: dạy cho học sinh biết cách tự đọc thông qua hệ thống câu hỏi trong một số ví dụ; dạy học tự học thông qua thiết kế phiếu học tập cho học sinh mà tác giả có đưa ra một số phiếu học tập trong giờ học lý thuyết và bài tập để các thầy cô tham khảo.
3. Vận dụng phƣơng pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phƣơng pháp Project)
Trong nội dung này tác giả vận dụng 2 phương pháp trên vào việc hướng dẫn cho học sinh tập nghiên cứu khoa học thông qua giao cho học sinh
65
làm bài tập lớn theo nhóm. Từ đó học sinh có cơ hội chia sẻ kiến thức mình có được với các thành viên khác, đồng thời sau một quá trình học tập học sinh thu được sản phẩm hoc tập của chính mình sẽ tạo cho học sinh niềm vui và động lực để học tập tốt hơn. Ngoài ra tác giả còn xây dựng dự án “Một số dạng toán tính tổng thường gặp trong các đề thi đại học” trong đó đề cập đến 4 dạng toán tính tổng tổ hợp cơ bản.
Tác giả hi vọng các nội dung này sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho các thầy cô giáo và các em học sinh phổ thông.
66
Chƣơng 3 : THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm
Việc thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm chứng hiệu quả của việc vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực đã nêu trong đề tài, nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh.
Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm gồm có:
+) Biên soạn các giáo án, hệ thống bài tập về nhà và phiếu học tập của học sinh.
+) Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết .
+) Đánh giá kết quả thực nghiệm theo hai phương diện: định tính và định lượng.
3.2. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm
- Đối tượng thực nghiệm là dạy học phần tổ hợp của sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 Nâng cao.
- Chúng tôi chọn trường THPT Nguyễn Đức Cảnh, thành phố Hải Phòng làm địa bàn tiến hành thực nghiệm. Trong đó, lớp 11B3 được chọn làm lớp thực nghiệm và lớp 11B2 được chọn làm lớp đối chứng.
3.3. Kế hoạch thực nghiệm
3.3.1. Thời gian thực nghiệm
Từ ngày 4 tháng 10 đến ngày 29 tháng 10 năm 2010.
3.3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.3.2.1.Nội dung thực nghiệm
Dạy học 2 tiết phần tổ hợp: tiết 21, tiết 25 theo phân phối chương trình của sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và 1 tiết tự chọn để hướng dẫn học sinh làm dự án.
67
BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN (Tiết 21)
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức
Học sinh hiểu được:
- Nội dung quy tắc cộng, quy tắc nhân. - Sự khác nhau giữa hai quy tắc này.
2. Về kĩ năng
- Học sinh biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hoặc kết hợp cả hai quy tắc vào các bài toán có liên quan.
- Học sinh phân biệt được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân.
3. Về thái độ
- Tự giác, tích cực trong học tập.
- Biết tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgíc và hệ thống.
II. Phƣơng pháp dạy học.
Giáo viên sử dụng phương pháp dạy học tự học, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
III. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
* Chuẩn bị của giáo viên.
- Giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập phù hợp với nhiều đối tượng, thiết kế sẵn các tình huống dạy học để dạy phân hóa học sinh, dự kiến những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi làm bài tập về nhà.
* Chuẩn bị của học sinh.
- Học sinh chuẩn bị đầy đủ bài tập ở nhà, viết rõ những thắc mắc để thầy cô giải đáp trên lớp.
68
IV. Ý đồ giảng dạy
- Giáo viên rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học thông qua tự đọc và trả lời các câu hỏi giáo viên đưa ra trước hoặc sau khi học sinh đọc. Thông qua tự đọc và trả lời câu hỏi học sinh nắm được nội dung bài học.
- Giáo viên cho học sinh tự học với phiếu học tập nhằm kiểm tra mức độ nhớ, hiểu và vận dụng các kiến thức vừa đọc được vào các tình huống cụ thể
- Giáo viên giúp học sinh phân biệt khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân.
V. Tiến trình bài dạy
1. Hoạt động 1: Chiếm lĩnh nội dung quy tắc cộng và vận dụng (20 phút) Nội dung ghi bảng
( trình chiếu)
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Bài 1. Hai quy tăc đếm cơ bản
Bài toán mở đầu: Mỗi người sử dụng mạng máy tính đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu gồm 6 kí tự, mỗi kí tự hoặc là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hãy viết một mật khẩu. Có thể liệt kê hết các mật khẩu không? Hỏi có thể lập được
- Trình chiếu bài toán mở đầu nhằm đặt học sinh vào tình huống có vấn đề
- Gọi 1 số học sinh trả lời câu hỏi 1 và 2
- Gợi ý học sinh tự đọc bài hôm nay sẽ có câu trả lời cho câu hỏi 3
- Xem xét bài toán mở đầu và đưa ra các câu trả lời
- Mỗi học sinh tự đưa ra một mật khẩu, liệt kê một số mật khẩu khác - Học sinh gặp khó khăn với câu hỏi 3
69 bao nhiêu mật khẩu?
1. Quy tắc cộng
a, Quy tắc cộng:
- Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n + m cách
- Quy tắc cộng mở rộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án
, ,...., 1 2 A A A k. Có n1cách thực hiện phương án 1 A , 2 n cách thực hiện phương án 2 A ,…, và n kcách thực hiện phương án A k. Khi đó cộng việc được thực hiện
được bởi .... 1 2 n n n k cách.
- Yêu cầu học sinh đọc phần 1. Quy tắc cộng và trả lời các câu hỏi sau: + Phát biểu quy tắc cộng? công việc ở ví dụ 1 có thể thực hiện theo mấy phương án? Số cách thực hiện ở mỗi phương án?
+ Quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án được phát biểu như thế nào?
Phân tích ví dụ 2
+ Mỗi học sinh hãy lấy 1 ví dụ và đưa ra lời giải để minh họa cho quy tắc cộng
+ Gọi 2 học sinh lên bảng trình bày ví dụ hoặc trình chiếu bài mẫu của học sinh để các học
- Học sinh đọc phần 1. Quy tắc cộng và dự kiến các câu trả lời + Phát biểu quy tắc cộng + Công việc ở ví dụ 1 có thể thực hiện theo 2 phương án. + Phát biểu quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án
+ Phân tích ví dụ 2 với các câu hỏi như ví dụ 1 + Lấy ví dụ minh họa cho quy tắc cộng
+ Trình bài ví dụ của mình vào vở
70 b. Ví dụ
c. Chú ý
sinh khác nhận xét góp ý.
- Yêu cầu học sinh đọc chú ý và đặt ra tình huống nếu A và B giao nhau thì sao?
- Đọc và ghi nhớ chú ý. Tình huống giáo viên đặt ra tìm câu trả lời ở bài đọc thêm
2. Hoạt động 2: Chiếm lĩnh nội dung quy tắc nhân và vận dụng (15 phút) Nội dung ghi bảng
( trình chiếu)
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
2. Quy tắc nhân
a, Quy tắc nhân
- Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
- Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn
, ,...., 1 2
A A A
k. Công đoạn
- Yêu cầu học sinh đọc phần 2. Quy tắc nhân -Sau khi học sinh đọc xong lần lượt đặt các câu hỏi sau để học sinh trả lời
+ Phát biểu quy tắc nhân? công việc ở ví dụ 3 thực hiện theo mấy công đoạn liên tiếp? Số cách thực hiện ở mỗi công đoạn ?
+ Quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn được phát biểu như thế nào?
Phân tích ví dụ 4
- Đọc nội dung phần 2 - Đọc xong trả lời các câu hỏi của giáo viên + Phát biểu quy tắc nhân
+ Công việc ở ví dụ 3 thực hiện bởi 2 công đoạn liên tiếp,…
+ Phát biểu quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn
71 1 A có thể thực hiện theo 1 n cách, công đoạn 2 A có thể thực hiện theo 2 n cách,….., công đoạn A kcó thể thực hiện theo n
k cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
. ... 1 2
n n n
kcách.
+ Mỗi học sinh hãy lấy 1 ví dụ và đưa ra lời giải để minh họa cho quy tắc nhân + Gọi 2 học sinh lên bảng trình bày ví dụ hoặc trình chiếu bài mẫu của học sinh để các học sinh khác nhận xét góp ý.
- Yêu cầu học sinh phân biệt cách dùng 2 quy tắc đếm này
- Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vừa có hãy giải bài toán mở đầu
+ Lấy ví dụ minh họa cho quy tắc nhân
+ Trình bài ví dụ của mình vào vở
+ Nhận xét, chỉnh sửa nếu có sai sót
- Dùng quy tắc cộng khi công việc có thể giải quyết bằng nhiều phương án. Dùng quy tắc nhân khi công việc giải quyết được khi thực hiện các công đoạn liên tiếp
- Giải quyết vấn đề đặt ra ở bài toán mở đầu
72
3. Củng cố và giao nhiệm vụ về nhà (10 phút)
a, Học sinh làm việc với phiếu học tập Câu 1: Điền vào chỗ trống (….) cho đúng:
a, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều phương án thì số cách thực hiện công việc đó là …………. của các kết quả của mỗi phương án. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
b, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau thì số cách thực hiện công việc đó là ……… của các kết quả của mỗi công đoạn. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
Câu 2: Trong cuộc thi “Đấu trường 100”, người chơi có thể chọn cho mình 1 câu hỏi dễ hoặc khó. Biết có 48 câu hỏi loại dễ và 32 câu hỏi loại khó. Hỏi người chơi có bao nhiêu cách chọn cho mình 1 câu hỏi?
Câu 3: Bạn A có 4 áo sơ mi và 3 quần. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn 1