Phát hiện và giải quyết vấn đề trong đào sâu bài toán, tổng quát

10. Cấu trúc của luận văn

2.1.1. Phát hiện và giải quyết vấn đề trong đào sâu bài toán, tổng quát

bài toán

Như đã trình bày ở trên, cốt lõi của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là tạo ra tình huống có vấn đề.

Ví dụ 1. Tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp. Chẳng hạn xuất phát từ bài toán thực tế vào đầu năm học lớp 10 giáo viên chủ nhiệm muốn thành lập một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập và 1 lớp phó lao động. Giả sử chỉ chọn những học sinh tự ứng cử. Yêu cầu học sinh tính số cách để thành lập một ban cán sự lớp trong các trường hợp:

a, Có đúng 3 học sinh An, Hoa, Dũng ứng cử b, Có 4 học sinh An, Hoa, Dũng, Khánh ứng cử

c, Có 5 học sinh An, Hoa, Dũng, Khánh, Linh ứng cử

Rõ ràng học sinh có thể tính được số cách thành lập một ban cán sự lớp bằng cách liệt kê các cách thỏa mãn yêu cầu bài toán, song có thể học sinh sẽ liệt kê thiếu trường hợp. Nếu tăng số học sinh ứng cử thì học sinh sẽ gặp khó khăn nếu muốn liệt kê hết vì có nhiều cách. Coi các bạn tự ứng cử là các phần tử. Coi các chức vụ lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó lao động là 3 vị trí. Từ bài toán trên tổng quát hóa thành bài toán: Tính số cách để sắp xếp n phần tử vào n vị trí, sắp xếp n phần tử vào k vị trí (0 < k < n). Đây là tình huống có vấn đề vì học sinh chưa biết cách tính, gợi nhu cầu nhận thức ở học sinh và học sinh có niềm tin ở khả năng giải quyết vấn đề vì rõ ràng học sinh có thể giải quyết được bài toán trong trường hợp n = 3, n = 4 hoặc n = 5 và k = 3.

24

Đa số các bài tập trong sách giáo khoa hay sách bài tập tương đối đơn giản. Nhưng từ những bài toán này giáo viên có thể cho học sinh đào sâu bài toán bằng cách thêm bớt giả thiết hoặc kết luận để có những bài toán mới hay tổng quát hóa dạng toán vừa giải. Tức là đặt học sinh vào các tình huống có vấn đề, gợi nhu cầu chinh phục yêu cầu mới của bài toán từ đó giúp học sinh nâng cao năng lực học tập của bản thân.

Ví dụ 2 (bài 2, trang 54, sách giáo khoa): Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?

Giải: Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng ab. Do a là số chẵn và a0 nên a2,4,6,8tức là a có 4 cách chọn. Do b là số chẵn nên b0,2,4,6,8

tức là b có 5 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4.5 = 20 (số).

Phát hiện 1:Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn và khác nhau ?

Từ lời giải bài toán trên học sinh dễ dàng suy ra nếu thêm yêu cầu hai chữ số a, b phải khác nhau thì a vẫn có 4 cách chọn nhưng b chỉ còn 4 cách chọn vì

ba. Do vậy chỉ có 4.4 = 16 số thỏa mãn bài toán.

Phát hiện 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số mà cả m chữ số của nó đều chẵn?(m là số nguyên dương lớn hơn 2)

Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của ví dụ 2, chữ số đầu tiên vẫn có 4 cách chọn, còn m – 1 chữ số còn lại mỗi chữ số đều có 5 cách chọn. Do đó số các số có thể thành lập được là 4.5m-1 số.

Phát hiện 3:Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều lẻ? Từ đó hãy phát biểu bài toán tổng quát và đưa ra hướng giải.

Do cả hai chữ số đều lẻ nên cả a và b đều có 5 cách chọn , từ đó lập được 52

số thỏa mãn bài toán. Bài toán tổng quát: “Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số mà cả m chữ số của nó đều lẻ (m là số nguyên dương lớn hơn 2)”. Mỗi chữ số đều có 5 cách chọn nên số các số cần tìm là 5m

25

Phát hiện 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà trong hai chữ số của nó có một số chẵn, một số lẻ?

Với yêu cầu này thì xảy ra 2 trường hợp:

+ TH1: a chẵn và b lẻ. Do a là số chẵn và a0 nên a2,4,6,8tức là a có 4 cách chọn. Do b là số lẻ nên b1,3,5,7,9tức là b có 5 cách chọn. Theo quy tắc nhân có 4.5 = 20 số.

+ TH2: a lẻ, b chẵn nên cả a và b mỗi chữ số đều có 5 cách chọn (a1,3,5,7,9,b0,2,4,6,8) nên trường hợp này có 5.5= 25 số

Theo quy tắc cộng có tất cả 20 + 25 = 45 số

Phát hiện 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số mà các chữ số của nó chẵn lẻ xen kẽ?(m là số nguyên dương lớn hơn 2)

Bài toán này là bài toán tổng quát của phát hiện 4, tương tự bài toán trên ta có hai trường hợp:

+ TH1: Chữ số đầu tiên là số chẵn thì có 4.5m-1

số thỏa mãn bài toán + TH2: Chữ số đầu tiên là số lẻ thì có 5m

số thỏa mãn bài toán Do đó số các số có thể lập được là 4.5m-1

+ 5m (số)

Ví dụ 3 (bài 2.1, trang 62, sách bài tập): Dãy ( , ,..., )

1 2 10

x x x trong đó mỗi kí

tự x

ichỉ nhận giá trị 0 hoặc 1được gọi là dãy nhị phân 10 bit? a, Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit?

b, Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất 3 kí tự 0 và ít nhất 3 kí tự 1?

Giải:

a, Mỗi giá trị xi có 2 cách chọn 0 hoặc 1 nên có 210

dãy nhị phân 10 bit. b, Gọi k là số kí tự 0. Khi đó 10 – k là số kí tự 1. Điều kiện k3 và 10 k 3 tương đương với 3 k 7. Có

10k

26 kí tự 1. Vậy số dãy cần tìm là: 7 10 3 k C k  .

Phát hiện 1: Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất m kí tự 0 (m là số tự nhiên thỏa mãn 0 m 10)?

Từ cách giải ví dụ trên học sinh sẽ suy ra nếu k là số kí tự 0 thì m k 10. Do đó số dãy cần tìm là 10 10 k C k m  . Tương tự cũng có 10 10 k C k m  dãy nhị phân 10 bit có ít nhất m kí tự 1.

Phát hiện 2: Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất m kí tự 0 và ít nhất n kí tự 1? (m, n là các số tự nhiên thỏa mãn m n 10)

Đây là bài toán tổng quát của ví dụ 3. Nếu gọi k là số kí tự 0 thì từ giả thiết suy ra m k  10 n. Có

10k

C dãy nhị phân 10 bit có k kí tự 0 và 10 – k . Vậy số dãy cần tìm là 10 10 n kC k m    .

Ví dụ 4(bài 2.2, trang 62, sách bài tập): Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

Giải: Gọi số cần tìm có dạng abcba. Vì a0 nên a có 9 cách chọn, b và c mỗi số có 10 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là: 9.102

Tổng quát hóa bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? (m là số tự nhiên lẻ, lớn hơn 1)

Từ cách giải ví dụ trên học sinh suy luận ra chỉ cần chọn 1 2

m chữ số đứng đầu tiên, chữ số đầu tiên khác 0 nên có 9 cách chọn. 1

2

m

- 1 chữ số tiếp theo mỗi số có 10 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là 1 1

2

9.10

27

Ví dụ 5 (bài 4, trang 54, sách giáo khoa): Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a, Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)? b, Có 4 chữ số khác nhau

Giải: Gọi số cần tìm là abcd

a, Do các chữ số không nhất thiết khác nhau nên mỗi chữ số a, b, c, d có 4 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là 44

số.

b, Do các chữ số khác nhau nên a có 4 cách chọn. ba nên b chỉ còn 3 cách chọn. ca và cbnên c chỉ còn 2 cách chọn, cuối cùng d chỉ còn 1 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là: 4.3.2.1= 24 số.

Phát hiện 1: Nếu trong 4 chữ số đề bài cho có xuất hiện chữ số 0 thì kết quả bài toán thay đổi như thế nào?

Nếu trong 4 chữ số giả thiết cho có mặt chữ số 0 thì ở câu a) phải bổ sung thêm điều kiện a0nên a chỉ còn 3 cách chọn, b, c, d mỗi số có 4 cách chọn nên số các số thỏa mãn là 3.43

= 192 số. Tương tự như vậy ở câu b) a cũng có 3 cách chọn, b, c, d tương ứng có 3, 2, 1 cách chọn nên số các số cần tìm là 3.3.2.1=18 số.

Phát hiện 2: Mỗi số cần tìm ở câu b) là một hoán vị của 4 phần tử. Số các số cần tìm là 4! = 24 số.

Ví dụ 6 (bài 10, trang 63, sách giáo khoa): Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

Giải: Gọi số cần tìm là abcdef . Vì số này chia hết cho 5 nên f = 0 hoặc f = 5 tức là f có 2 cách chọn. a0 nên a có 9 cách chọn, b, c, d, e mỗi số có 10 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là 2.9.104

= 180000 số.

Phát hiện 1: Tổng quát hóa bài toán”Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số và chia hết cho 5 (m là số tự nhiên lớn hơn 1)?”

28

Từ cách giải bài toán trên suy ra chữ số đầu tiên khác 0 nên có 9 cách chọn, chữ số cuối cùng có 2 cách chọn bằng 0 hoặc bằng 5, m – 2 chữ số đứng giữa mỗi chữ số có 10 cách chọn. Vậy số các số cần tìm là 9.2.10m-2

số.

Phát hiện 2: Nếu bài toán yêu cầu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 thì kết quả thay đổi như thế nào?

Nếu 6 chữ số này đôi một khác nhau thì f vẫn có 2 khả năng:

+ Nếu f = 0 thì a có 9 cách chọn vì a0và a f thì a vẫn chỉ khác chữ số 0, mỗi cách chọn bộ các số (b,c,d,e) là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử (0,1,2,...,9 \ 0,  a ). Số các số cần tìm là 1.9. 4

8

A = 15120 số.

+ Nếu f = 5 thì a có 8 cách chọn a0và a f thì a khác 2 chữ số là 0 và 5, mỗi cách chọn bộ các số (b,c,d,e) là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử (0,1,2,...,9 \ 0,  a ). Số các số cần tìm là 1.8. 4

8

A = 13440 số.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 15120 + 13440 = 28560 số.

Ví dụ 7 (bài 15, trang 64, sách giáo khoa): Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em đó phải có ít nhất 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Để chọn ra 5 em trong đó phải có ít nhất 1 em nữ, có các khả năng sau: + Có 1 em nữ và 4 em nam: có 1. 4 140 2 8 C C  cách chọn + Có 2 em nữ và 3 em nam: có 2 3. 56 2 8 C C  cách chọn Vậy số cách chọn là 140 + 56 = 196 cách chọn.

Phát hiện 1: Có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau: Nếu chọn 5 em bất kì thì số cách chọn là 5

10

C . Trong số các cách chọn này có hai trường hợp xảy ra là 5 em được chọn đều là nam và trong 5 em được chọn có nữ. Có

29

5 8

C cách chọn mà cả 5 em đều là nam. Vậy số cách chọn 5 em mà có ít nhất 1 em nữ là 5

10

C - 5

8

C =196 cách chọn.

Phát hiện 2: Nếu thay đổi yêu cầu bài toán là trong 5 em được chọn có nhiều nhất 1 em nữ thì kết quả bài toán là tổng các kết quả của 2 khả năng: 5 em được chọn đều là nam và trong 5 em được chọn có 1 em nữ, 4 em nam:

5 8

C + 1. 4 2 8

C C = 196 cách.

Ví dụ 8(bài 20, trang 67, sách giáo khoa): Tính hệ số của x9 trong khai triển ( 2 – x )19

Giải: Theo công thức nhị thức Niutơn ta có:

2 19 19 .( ) .219 19 . 19 0 0 k k k k x C x x a k k k          trong đó 19 ( 1) .2 19k k k a C k    Vậy hệ số của x9 là 9

a tương ứng với k = 9 suy ra 9 ( 1) .29 19 9 2 .10 9

9 19 19

a C     C

Tổng quát hóa bài toán: “Tìm hệ số của xm

trong khai triển (a + b)n ,trong đó a, b là các biểu thức chứa x”

Từ cách giải bài toán trên ta có thể xây dựng các bước làm cho dạng toán này như sau:

- Bước 1: Viết khai triển nhị thức Niutơn và biến đổi về dạng 0 n k x a k k  - Bước 2: Hệ số của xm chính là am, từ đó thay k bằng m vào hệ số a

kvà kết luận.

Thông qua một số ví dụ trên giáo viên có thể đào sâu bài toán theo các hướng khác nhau để tập cho học sinh khi làm một bài toán nên suy nghĩ tìm nhiều hơn một cách giải (nếu có thể), từ bài toán ban đầu thêm bớt giả thiết để được các bài toán mới và đưa ra hướng giải, hay tổng quát bài toán vừa giải.

30

Tất cả các việc làm đó sẽ giúp học sinh học tập chủ động và sáng tạo hơn, hiệu quả học tập cũng dần được cải thiện.