10. Cấu trúc của luận văn
2.1.2.Phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tìm sai lầm trong lời giả
cho trƣớc và đƣa ra lời giải đúng
Khi giải các bài toán tổ hợp nhiều học sinh thường lúng túng không biết vận dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân, không biết vận dụng các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp, thậm chí đáp số bài làm của mình khác đáp số của bạn nhưng các em cũng không biết ai đúng ai sai và sai ở đâu. Vì vậy việc luyện học sinh phát hiện ra sai lầm trong lời giải cho trước và đưa ra lời giải đúng sẽ giúp học sinh củng cố thêm kĩ năng giải toán tổ hợp nói riêng và nâng cao năng lực học tập nói chung. Sau đây là một vài ví dụ với mục đích như thế.
Ví dụ 1: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Lời giải sai: Gọi số cần tìm là xabc. Vì x là số chẵn nên c có 3 cách chọn ( c = 0, 2, 4). Do a0 và ac nên a có 4 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a, c thì b có 4 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có 3.4.4 = 48 số thỏa mãn bài toán.
Sai lầm: Trong trường hợp c = 0 thì a có 5 cách chọn (a = 1, 2, 3, 4, 5) còn trong trường hợp c= 2 hoặc c= 4 thì a có 4 cách chọn. Nên phải xét haitrường hợp nếu c=0 và c 2,4
Lời giải đúng: Gọi số cần tìm là xabc. Vì x là số chẵn nên c có 3 cách chọn ( c = 0, 2, 4).
- Nếu c = 0 thì a0nên ac, do đó a có 5 cách chọn và b có 4 cách chọn. Trong trường hợp này có 1.5.4 = 20 số.
- Nếu c= 2 hoặc c = 4 thì a0 và ac nên a có 4 cách chọn và b có 4 cách chọn. Trong trường hợp này có 2.4.4 = 32 số.
31
Theo quy tắc cộng ta có 20 + 32 = 52 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và có mặt chữ số 1.
Lời giải sai: Gọi số cần tìm là xabcd. Do có mặt chữ số 1 nên có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 1. Do a0 nên a có 4 cách chọn. Mỗi cách chọn hai số cho hai vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 2 của 3 số còn lại. Số các số cần tìm là: 4.4. 2
3
A = 72 số.
Sai lầm: Trong trường hợp a1thì a có 3 cách chọn và số vị trí còn lại là 2 vị trí còn trong trường hợp a = 1 thì số vị trí còn lại là 3 chứ không phải là 2 như trong lời giải trên.
Lời giải đúng: Gọi số cần tìm là xabcd. Do có mặt chữ số 1 nên có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 1.
- Nếu a = 1 thì mỗi cách chọn bộ ba số b, c, d là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử 0, 2, 3, 4. Trong trường hợp này có 1. 3
4
A = 24 số.
- Nếu a1thì do a0nên a có 3 cách chọn, số 1 có thể được xếp vào một trong 3 vị trí của b, c hoặc d. Mỗi cách chọn 2 trong 3 số còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại là một chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử. Trong trường hợp này có 3.3. 2
3
A = 54 số.
Theo quy tắc cộng có 24 + 54 = 78 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 cặp nhảy từ một nhóm gồm 10 bạn nam và 6 bạn nữ biết mỗi cặp nhảy gồm 1 nam và 1 nữ.
Lời giải sai:
Số cách chọn 3 bạn nam từ 10 bạn là 3 10 A Số cách chọn 3 bạn nữ từ 6 bạn là 3 6 A Vậy số cách chọn 3 cặp nhảy là: 3 10 A . 3 6 A = 86400
32
Sai lầm: Khi chọn như trên sẽ có những lần lặp lại như sau: Giả sử có 3 bạn nam là (A, B, C) và 3 bạn nữ là (a, b, c) thì khi hoán vị (A, B, C) và (a, b, c) thành (A, C, B) và (a, c, b) thì ắt sẽ trùng với cách sắp 3 cặp ban đầu là
(Aa, Bb, Cc) Lời giải đúng: Số cách chọn 3 bạn nam từ 10 bạn là 3 10 C Số cách chọn 3 bạn nữ từ 6 bạn là 3 6 C
Ứng với mỗi cách chọn như trên thì có 3! cách sắp cho 3 bạn nam nhảy với 3 bạn nữ. Số các cặp nhảy cần tìm là 3
10 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C . 3
6
C .3!= 14400 cách
Ví dụ 4: Một tòa nhà có 4 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào một cửa và ra một cửa khác?
Lời giải sai: Mỗi cách vào 1 cửa và ra 1 cửa là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử nên có 2 6
4
C cách.
Sai lầm: Lời giải trên đã quên rằng vào cửa A ra cửa B và vào cửa B ra cửa A là hai cách khác nhau.
Lời giải đúng: Mỗi cách vào 1 cửa và ra 1 cửa là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử nên có 2 12
4
A cách.
Ví dụ 5: Giải phương trình 3A Cx 2 14x
x x
Lời giải sai: Phương trình tương đương với
! ! ( 1) 14 ( 1)( 2) 14 ( 3)! 2!( 2)! 2 5 2 2 5 25 0 5 2 x x x x x x x x x x x x x x
Vậy phương trình có hai nghiệm là x =5 và 5
2
33
Sai lầm: Với loại toán trên trước khi giải ta phải tìm điều kiện cho ẩn. Lời giải trên đã quên tìm điều kiện x3,xN. Với điều kiện này ta dễ dàng kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
2.2. Vận dụng phƣơng pháp dạy học tự học
Cốt lõi của phương pháp học là phương pháp tự học. Học sinh có nâng cao được năng lực học tập hay không phụ thuộc nhiều vào học sinh có tự học hay không. Ở trên lớp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự học bằng cách rèn luyện cho học sinh phương pháp tự đọc (những tri thức chưa biết) hoặc tự học với phiếu học tập để học sinh tự ôn lại bài, tự luyện tập hoặc ở mức độ cao hơn là tự đào sâu bài toán, tổng quát hóa bài toán hay sáng tác bài toán mới và đề xuất cách giải.
2.2.1. Tự học thông qua hƣớng dẫn học sinh tự đọc
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh tự đọc bài 1 “Hai quy tắc đếm cơ bản”
Vào tiết học, giáo viên có thể yêu cầu học sinh đọc nội dung phần 1 “Quy tắc cộng” trong sách giáo khoa và trả lời câu hỏi sau:
- Phát biểu quy tắc cộng? Phân tích ví dụ 1 để thấy được vì sao lại áp dụng quy tắc cộng.
- Quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án được phát biểu như thế nào? Tương tự hãy phân tích ví dụ 2
- Mỗi học sinh hãy lấy 1 ví dụ và đưa ra lời giải để minh họa cho quy tắc cộng hoặc quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án
- Vận dụng kiến thức vừa có hãy giải hoạt động 2 trang 52 - Yêu cầu học sinh sáng tác các ví dụ tương tự
Khi học sinh trả lời câu hỏi thứ nhất và thứ hai, giáo viên có thể trình chiếu trên màn hình nội dung quy tắc cộng và quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án. Sau đó yêu cầu học sinh lên bảng trình bày ví dụ mà học sinh đề xuất ở câu hỏi thứ ba. Cho học sinh dưới lớp phân tích và nhận xét. Giáo viên kết luận và yêu cầu học sinh ghi lại những câu trả lời đúng của các
34 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
câu hỏi trên vào vở. Giáo viên yêu cầu học sinh đọc chú ý trong sách giáo khoa và trả lời câu hỏi: “Quy tắc cộng còn có thể phát biểu dưới dạng nào? Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn nhưng giao nhau thì giải quyết như thế nào?”. Giáo viên chỉ nêu vấn đề và gợi ý câu trả lời có trong bài đọc thêm “Quy tắc cộng mở rộng” sách giáo khoa trang 55. Mục đích là gợi cho học sinh sự tò mò, muốn khám phá tìm câu trả lời, mà muốn vậy chỉ có thể tự đọc bài đọc thêm này.
Giáo viên tiếp tục yêu cầu học sinh đọc phần 2 “Quy tắc nhân” và sau khi đọc xong trả lời các câu hỏi:
- Phát biểu quy tắc nhân? Phân tích ví dụ 3 để thấy được vì sao lại áp dụng quy tắc nhân. (Để hoàn thành công việc phải thực hiện mấy công đoạn? Mỗi công đoạn có bao nhiêu cách thực hiện?)
- Áp dụng quy tắc nhân giải bài toán trong hoạt động 3
- Phát biểu quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn? Phân tích ví dụ 4 (Để xây dựng được một biển số xe máy thì phải thực hiện mấy công đoạn? Mỗi công đoạn có mấy cách thực hiện?)
- Mỗi học sinh hãy lấy một ví dụ minh họa cho quy tắc nhân hoặc quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn và đưa ra lời giải cho ví dụ đó.
Yêu cầu với mỗi câu hỏi học sinh tự ghi lại các câu trả lời vào vở. Sau khi học xong 2 quy tắc giáo viên yêu cầu học sinh phân biệt trong trường hợp nào dùng quy tắc cộng, trong trường hợp nào dùng quy tắc nhân. Yêu cầu học sinh phân tích và đề xuất cách giải cho ví dụ sau để phân biệt cách dùng hai quy tắc đếm trên: “Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số trong đó: a) ba chữ số này không nhất thiết khác nhau
b) ba chữ số này khác nhau”
Phân tích: Gọi số cần tìm là abc . Để tạo được một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu thì phải thực hiện 3 công đoạn: chọn a, chọn b, chọn c.
35
cách chọn, b có 5 cách chọn, c chẵn nên c có 3 cách chọn bằng 0, 2 hoặc 4. Sau đó áp dụng quy tắc nhân.
+ Ở câu b) các chữ số khác nhau nên a0và ac. Nếu c = 0 thì a có 4 cách chọn (a1,2,3,4), còn nếu c = 2 hoặc c = 4 thì a chỉ còn 3 cách chọn (a1,2,3,4 \ c ). Do vậy có 2 phương án để giải quyết công việc trên: Phương án 1 là c = 0 và phương án 2 là c 2,4 . Kết quả của bài toán là tổng các kết quả ở mỗi phương án (áp dụng quy tắc cộng). Trong từng phương án lại thực hiện 3 công đoạn: chọn a, chọn b, chọn c với lưu ý chữ số nào có nhiều điều kiện hơn thì ưu tiên chọn trước (áp dụng quy tắc nhân).
Giáo viên có thể cho học sinh luyện tập thêm một số bài tập nhằm củng cố cách dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân. Hoặc yêu cầu học sinh sáng tác bài toán giải quyết bằng cả 2 quy tắc trên.
Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc phần hoán vị trong bài 2 “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp”.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự đọc phần hoán vị trong sách giáo khoa trang 56. Trong khi học sinh đọc giáo viên có thể trình chiếu nội dung này trên màn hình. Sau khi học sinh đọc xong giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau: - Hoán vị là gì? Nêu một số hoán vị của tập hợp A = { 1, 2, 3}
- Viết 8 hoán vị của tập hợp B = { a, b, c,d }
- Nếu tập hợp A có n phần tử thì có tất cả bao nhiêu hoán vị? Hãy nêu cách chứng minh.
Sau khi trả lời câu hỏi thứ nhất và thứ hai giáo viên nhấn mạnh cho học sinh một hoán vị của n phần tử của tập hợp A thực chất là xếp n phần tử này vào n vị trí (số phần tử sắp xếp bằng số vị trí). Từ gợi ý này học sinh dễ dàng chứng minh được câu hỏi thứ ba bằng cách phân công việc cần làm thành n công đoạn liên tiếp nhau. Công đoạn 1 là chọn 1 phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai,…, công đoạn thứ n là
36
xếp phần tử cuối cùng vào vị trí thứ n. Từ đó học sinh tìm được công thức tính số hoán vị của n phần tử của tập A. Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vừa có làm hoạt động 2 trang 57. Yêu cầu mỗi học sinh tự sáng tác ít nhất một bài toán mà vận dụng hoán vị để giải. Tất nhiên trong quá trình trả lời các câu hỏi học sinh tự ghi các câu trả lời vào vở sau khi giáo viên đã nhận xét và kết luận.
2.2.2. Tự học thông qua phiếu học tập
Thông thường đề bài và lời giải của toán tổ hợp đều dùng nhiều lập luận bằng lời nên dạy học tự học thông qua phiếu học tập giúp giáo viên tiết kiệm được thời gian, đồng thời buộc học sinh phải chủ động và tích cực trong học tập. Phiếu học tập với các câu hỏi từ dễ đến khó phù hợp với các đối tượng học sinh. Học sinh khá giỏi có thể trả lời hết các câu hỏi, học sinh yếu và trung bình sẽ trả lời được một số câu hỏi, tạo niềm tin và hứng thú học tập cho học sinh. Sau đây là một số ví dụ về phiếu học tập.
Phiếu học tập số 1: Dành cho học sinh sau khi học bài 1: “Hai quy tắc đếm” Câu 1: Điền vào chỗ trống (….) cho đúng:
a, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều phương án thì số cách thực hiện công việc đó là …………. của các kết quả của mỗi phương án. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
b, Một công việc được hoàn thành bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau thì số cách thực hiện công việc đó là ……… của các kết quả của mỗi công đoạn. Dạng bài tập này áp dụng quy tắc …………..
Câu 2: Trong cuộc thi “Đấu trường 100”, người chơi có thể chọn cho mình 1 câu hỏi dễ hoặc khó. Biết có 48 câu hỏi loại dễ và 32 câu hỏi loại khó. Hỏi người chơi có bao nhiêu cách chọn cho mình 1 câu hỏi?
Câu 3: Bạn A có 4 áo sơ mi và 3 quần. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn 1 bộ quần áo?
37
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a, Có 5 chữ số
b, Có 5 chữ số khác nhau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c, Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Câu 5: Hãy sáng tác các bài tập tương tự các bài tập mẫu trên hoặc bài tập mới và trình bày cách giải sao cho trong lời giải áp dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân hoặc áp dụng cả hai quy tắc
Với phiếu học tập trên giáo viên mong đợi học sinh trung bình có thể phân biệt được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân và áp dụng được vào các bài tập cơ bản. Với câu hỏi thứ 4 giáo viên muốn củng cố cách dùng 2 quy tắc này bởi muốn giải quyết được câu 4c) thì học sinh phải vận dụng cả hai quy tắc. Câu 5 giáo viên muốn học sinh tự sáng tạo bài toán và tự đưa ra lời giải để phát huy được năng lực học tập ở mỗi học sinh.
Phiếu học tập số 2: Dành cho học sinh khi học bài 2: “Hoán vi, chỉnh hợp và tổ hợp”
Câu 1: Điền vào chỗ trống (….) cho đúng
a, Cho tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kì của tập A rồi cho vào một nhóm thì ta được một ……….. của tập A.
b, Cho tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kì của tập A rồi sắp xếp k
phần tử này theo một thứ tự nào đó thì ta được một……….. của tập A.
c, Cho tập A có n phần tử, sắp xếp n phần tử này vào n vị trí theo một thứ tự nào đó ta được một ………. của tập A.
Câu 2: Để tạo ra một tổ hợp chập k của n phần tử ta phải thực hiện mấy thao