3 ph−ơng pháp lặp song song giả RKN hai b−ớc
4.4.1 So sánh với ph−ơng pháp song song
Chúng tôi đ−a ra ở đây kết quả số thu đ−ợc từ ph−ơng pháp PIRKN ở trên, một trong những ph−ơng pháp RKN song song hiển tốt nhất có thể tiếp cận đ−ợc nh− đã đề cập trong [8, 38], và ph−ơng pháp CPIRKN ở trên. Chúng ta sẽ xét ph−ơng pháp PIRKN gián tiếp đã đề cập trong [38] và ph−ơng pháp PIRKN trực tiếp trong [8].
Chúng tôi chọn 3 bài toán thử nh− đã nói ở trên.
Bài toán không dừng tuyến tính
Kết quả số trong bảng 4.3 đã chỉ ra rằng ph−ơng pháp CPIRKN hiệu quả hơn so với ph−ơng pháp PIRKN trực tiếp và gián tiếp cùng cấp. Với bài toán tuyến tính này, mọi ph−ơng pháp CPIRKN chỉ cần một lần lặp trên mỗi b−ớc. L−u ý rằng do sai số làm tròn ta không hi vọng 15 chữ số đều chính xác
Bảng 4.3: Giá trịN CD/Nseq cho bài toán (testprob1) vớip khác nhau Ph−ơng pháp PC p Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp C 80 160 320 640 1280 Ind.PIRKN 4 4.0/239 5.3/480 6.5/960 7.7/1920 8.9/3840 10−1 Dir.PIRKN 4 5.2/239 6.4/479 7.6/960 8.8/1920 10.0/3840 10−1 CPIRKN34 4 5.6/161 6.9/321 8.1/641 9.3/1281 10.5/2561 10−1 CPIRKN44 4 5.8/161 7.0/321 8.2/641 9.4/1281 10.6/2561 10−1 Ind.PIRKN 6 7.4/360 9.2/721 11.0/1441 12.8/2881 14.6/5769 10−3 Dir.PIRKN 6 8.0/354 9.9/710 11.7/1420 13.5/2839 15.3/5678 10−3 CPIRKN56 6 9.8/173 11.7/322 13.8/642 10−3 CPIRKN66 6 10.2/162 11.9/322 13.9/642 10−3
Bài toán Fehlberg phi tuyến
Ta sử dụng các ph−ơng pháp PC cấp p khác nhau đã đ−ợc nói tới ở trên, kết quả số thể hiện trong bảng 4.4. Những kết quả này đã chỉ ra Bảng 4.4: Giá trị N CD/Nseq cho bài toán(testprob2) nhận đ−ợc với p khác nhau
Ph−ơng pháp PC p Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp C 200 400 800 1600 3200 Ind.PIRKN 4 1.7/728 2.8/1457 4.0/2915 5.2/5829 6.5/11658 102 Dir.PIRKN 4 2.4/722 3.6/1445 4.8/2889 6.0/5778 7.2/11555 102 CPIRKN34 4 3.3/523 4.6/1007 5.8/1942 7.0/3713 8.2/7033 102 CPIRKN44 4 3.3/473 4.5/866 5.7/1601 6.9/3201 8.1/6401 102 Ind.PIRKN 6 4.0/900 5.8/1812 7.6/3625 9.4/7247 11.2/14496 103 Dir.PIRKN 6 5.0/896 6.8/1807 8.6/3615 10.4/7230 12.2/14458 103 CPIRKN56 6 6.5/526 8.3/999 10.1/1941 11.9/3763 13.7/7254 103 CPIRKN66 6 6.7/468 8.5/878 10.3/1611 12.1/3202 13.9/6402 103
rằng ph−ơng pháp CPIRKN v−ợt xa so với các ph−ơng pháp PIRKN trực tiếp và gián tiếp cùng cấp. Với bài toán này số lần lặp m cần có trên mỗi b−ớc của mọi ph−ơng pháp dự báo-hiệu chỉnh là 1 hoặc 2
Ph−ơng trình chuyển động Newton
Xem [37, p. 245], [28], [35]. Với ε = 0.3 kết quả số của bài toán đ−ợc chỉ trong bảng 4.5
Bảng 4.5: Giá trịN CD/Nseq cho bài toán (testprob3) vớip khác nhau Ph−ơng pháp PC p Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp C 100 200 400 800 1600 Ind.PIRKN 4 2.9/229 3.7/600 4.9/1200 6.1/2400 7.3/4800 101 Dir.PIRKN 4 2.8/229 4.9/600 6.2/1200 7.4/2400 8.6/4800 101 CPIRKN34 4 4.6/201 5.8/401 6.9/801 8.1/1601 9.3/3201 101 CPIRKN44 4 3.3/201 4.5/401 5.7/801 6.9/1601 8.1/3201 101 Ind.PIRKN 6 5.0/400 6.8/400 8.6/1600 10.4/3200 12.2/6400 10−1 Dir.PIRKN 6 5.8/400 7.5/800 9.3/1600 11.1/3200 12.9/6400 10−1 CPIRKN56 6 7.8/227 9.2/440 10.8/831 12.7/1602 14.5/3202 10−1 CPIRKN66 6 6.4/210 8.2/402 10.0/802 11.7/1602 13.6/3202 10−1
4.4.2 So sánh với các ph−ơng pháp tuần tự
Trong mục trên chúng ta đã so sánh ph−ơng pháp CPIRKN với các ph−ơng pháp song song indirPIRKN và dirPIRKN. Trong mục này, chúng tôi sẽ so sánh ph−ơng pháp CPIRKN với vài ph−ơng pháp tuần tự tốt nhất hiện có. Chúng tôi giới hạn trong việc so sánh CPIRKN56 và CPIRKN66 với hai ph−ơng pháp tuần tự ODEX2 và DORIN. Kết quả so sánh trong bảng 4.6 cho thấy ph−ơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải chỉ xấp xỉ bằng 1/5 so với ph−ơng pháp DOPRIN. Trong khi CPIRKN có b−ớc l−ới cố định còn DOBRIN đ−ợc trang bị l−ới biến b−ớc.
4.5 Kết luận
Trong ch−ơng này, chúng tôi xây dựng một lớp ph−ơng pháp song song mới dự báo-hiệu chỉnh gọi là ph−ơng pháp dự báo-hiệu chỉnh lặp
Bảng 4.6: So sánh ph−ơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN và ODEX2 giải bài toán (testprob2)
Ph−ơng pháp Nstp N CD Nseq ODEX2 (Hairer93) 49 2.7 746 53 4.8 1122 43 6.5 1493 47 8.8 2039 81 10.9 2907 DOPRIN (Hairer93) 79 3.8 633 353 8.3 2825 1208 12.3 9665 4466 16.3 35729 CPIRKN56 (trong ch−ơng này) 200 6.5 526
400 8.3 999 800 10.1 1941 1600 11.9 3763 3200 13.7 7254 CPIRKN66 (trong ch−ơng này) 200 6.7 468
400 8.5 878 800 10.3 1611 1600 12.1 3202 3200 13.9 6402
song song liên tục dạng Runge-Kutta-Nystro..m ( ph−ơng pháp CPIRKN ) dựa trên ph−ơng pháp hiệu chỉnh RKN với công thức đầu ra liên tục. Kết quả của việc chạy ba bài toán thử đã chỉ ra rằng ph−ơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải tiết kiệm hơn 5 lần so với các ph−ơng pháp tuần tự truyền thống nh− ODEX2, DOPRIN và tiết kiệm 2 lần so với các ph−ơng pháp song song từng đ−ợc công bố trong các tài liệu.
Kết luận
1. Luận án đã đề xuất, xây dựng và nghiên cứu 3 thuật toán mới, lặp song song dạng Runge-Kutta-Nystro..m giải trực tiếp hệ ph−ơng trình vi phân cấp hai dạng (1) trên máy tính song song. Cả ba ph−ơng pháp đều mang bản chất dự báo-hiệu chỉnh. Cách tiếp cận chung là: phát biểu ph−ơng pháp, tính toán các ma trận và véc tơ hệ số, nghiên cứu tính hội tụ, tính ổn định, tính toán thử nghiệm. Các ph−ơng pháp có −u điểm chung là tiết kiệm số lần tính hàm vế phải, ngoài ra, mỗi ph−ơng pháp có −u điểm riêng, đó là:
a) Ph−ơng pháp PIRKNA đ−ợc xây dựng bằng cách thay trong ph−ơng pháp PIRKN công thức dự báo hai b−ớc kiểu Lagrange bằng công thức dự báo hai b−ớc kiểu Adams, cho nên ph−ơng pháp PIRKNA có khối l−ợng tính toán bằng 2/3 so với PIRKN và IPIRKN. Với véc tơ c là Gauss-Legendre, ph−ơng pháp PIRKNA đạt đ−ợc siêu hội tụ (p = 2s).
b) Ph−ơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh giả Runge-Kutta- Nystro..m hai b−ớc (ph−ơng pháp IPIPTRKN) có đặc tính ổn định tốt và không cần nhiều bộ xử lí song song. Chúng đ−ợc áp dụng tốt trong tr−ờng hợp máy tính có ít bộ xử lí làm việc đồng thời.
c) Ph−ơng pháp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RKN với công thức đầu ra liên tục (ph−ơng pháp CPIRKN) cho phép tính toán giá trị nghiệm tại điểm bất kì trong mỗi b−ớc mà không cần chia lại l−ới và không cần tính toán lại hàm về phải. Những thí dụ giải số đã thể hiện tính hiệu quả của ph−ơng pháp CPIRKN.
2. Đề tài đã mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
a) Trong thời gian thực hiện luận án này, máy tính song song ở n−ớc ta ch−a nhiều, do đó việc chạy các bài toán thử trên máy tính song song còn gặp nhiều khó khăn, do đó việc triển khai chạy trên máy tính song sẽ là công việc tiếp theo của chúng tôi .
b) ý t−ởng và kĩ thuật nghiên cứu giải bài toán (1) hoàn toàn có thể áp dụng vào việc nghiên cứu giải hệ ph−ơng trình vi phân cấp cao (y(n)(t) = f(t, y(t)), n > 2). Ph−ơng trình vi phân cấp cao xuất hiện trong một số bài toán cơ học. Chúng tôi đã triển khai ý t−ởng này và đã thu đ−ợc một số kết quả ban đầu.
c) Trong luận án này chúng tôi chỉ xét bài toán có dạng y(t) = f(t,y(t)), y(t0) = y0, y(t0) =y0. Việc giải bài toán tổng quát hơn
y(t) = f(t,y(t),y(t)), y(t0) =y0, y(t0) = y0 sẽ đ−ợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian tới.
các công trình đã công bố liên quan đến luận án
Để hoàn thành luận án, chúng tôi sử dụng những công trình khoa học sau đây, do chúng tôi công bố.
1. Nguyễn Văn Minh (2000), ” Ph−ơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams”, Tạp chí Khoa học và Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31.
2. Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Improved Parallel- iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 32(2008), 1-18.
3. Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Continuous parallel- iterated RKN-type PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics, (57), 1097-1107.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Công (1995), Các ph−ơng pháp song song dạng Runge-Kutta- Nystro..m, Luận án Tiến sĩ khoa học Toán lí.
[2] Nguyễn Thị Hồng Minh (2001),Một số thuật toán song song giải số hệ ph−ơng trình vi phân trên siêu máy tính, Luận án Tiến sĩ Toán học.
[3] Nguyễn Văn Minh(2000), ” Ph−ơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams”,Tạp chí Khoa học và Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31.
[4] Nguyễn Văn Minh, ” Ph−ơng pháp Runge-Kutta-Nystro..m cho hệ ph−ơng trình vi phân cấp 3”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ. Đại học Thái Nguyên, ( Đã nhận đăng 12/ 2006).
[5] K. Burrage (1995),Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford.
[6] J.C. Butcher (1987), The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equa- tions, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York.
[7] N.H. Cong (1993), ”An improvement for parallel-iterated Runge-Kutta- Nystro..m methods”,Acta Math. Viet. (18), 295-308.
[8] N.H. Cong (1993), ” Note on the performance of direct and indirect Runge- Kutta-Nystro..m methods”, J. Comput. Appl. Math.(45), 347-355.
[9] N.H. Cong (1995), ” Direct collocation-based two-step Runge-Kutta-Nystro..m methods ”, SEA Bull. Math.(19), 49-58.
[10] N.H. Cong (1996), ” Explicit symmetric Runge-Kutta-Nystro..m methods for parallel computers”, Computers Math. Applic. (31),111-122.
[11] N.H. Cong (1996), ” Explicit parallel two-step Runge-Kutta-Nystro..m meth- ods”, Computers Math. Applic.(32), 119-130.
[12] N.H. Cong (1998), ” RKN-type parallel block PC methods with Lagrange-type predictors”, Computers Math. Applic.(35), 45-57.
[13] N.H. Cong, K. Strehmel and R. Weiner (1999), ” Runge-Kutta-Nystro..m-type parallel block predictor-corrector methods”,Advances in Computational Math- ematics, (10), 115-133.
[14] N.H. Cong, K. Strehmel and R. Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers”, Computers Math. Ap- plic. (38), 17-30.
[15] N.H. Cong , ” Explicit pseudo two-step RKN methods with stepsize control”, accepted for publication in Appl. Numer. Math.
[16] N.H. Cong (1999), ” Half-implicit pseudo two-step RKN methods ”, SEA Bull. Math. (23), 585-597.
[17] N.H. Cong, K. Strehmel and R. Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers ”, Computers Math. Ap- plic. (38), 17-30.
[18] N.H. Cong (1999), ”New high-order Runge-Kutta methods and applications to paralell integrations”, Viet. J. Math. (32), 353-359
[19] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2000), ” Parallel block PC methods with RKN-type correctors and Adams-type predictors”, Intern. J. Comput. Math.(74), 509-527.
[20] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2001), ” Fast convergence PIRKN-type PC methods with Adams-type predictors”, Intern. J. Comput. Math. (77), 373-387.
[21] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2002), ”Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Comput. Math. App.(44) , 143-155.
[22] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Improved Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Math- ematics, Vol. 32(2008), 1-18.
[23] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Continuous parallel-iterated RKN- type PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics,(57), 1097-1107.
[24] E. Fehlberg (1972), ”Klassische Runge-Kutta-Nystro..m Formeln mit Schrittweiten-Kontrolle fu..r Differentialgleichungen x = f(t, x)”, Comput- ing (10), 305-315.
[25] E. Fehlberg (1981), ” Eine Runge-Kutta-Nystro..m Formel 9-ter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle fu..r Differentialgleichungenx = f(t, x)”,Z. Angew. Math. Mech. (61), 477-485.
[26] E. Fehlberg, S. Filippi und J. Gra..f(1986), ” Eine Runge-Kutta-Nystro..m Formelpaar der Ordnung 10(11) fu..r Differentialgleichungen y = f(t, y)”,
Z. Angew. Math. Mech.(66), 265-270.
[27] S. Filippi und J. Gra..f(1985), ” Ein Runge-Kutta-Nystro..m Formelpaar der Ord- nung 11(12) fu..r Differentialgleichungen der Form y = f(t, y)”, Comput- ing(34), 271-282.
[28] S. Filippi and J. Gra..f(1986), ” New Runge-Kutta-Nystro..m formula-pairs of order 8(7), 9(8), 10(9) and 11(10) for differential equations of the form y =
f(t, y)”, J. Comput. Appl. Math.(14), 361-370.
[29] E. Hairer (1977), ” Methodes de Nystro..m pour léquations differentielle
y(t) = f(t, y)”,Numer. Math. (27), 283-300.
[30] E. Hairer (1979), ” Unconditionally stable methods for second order differential equations”, Numer. Math.(32), 373-379.
[31] E. Hairer (1982), ” A one-step method of order 10 fory(t) = f(t, y)”,IMA J. Numer. Anal. (2), 83-94.
[32] E. Hairer, S.P. Norsett and G. Wanner (1993), Solving Ordinary Differen- tial Equations, I. Nonstiff Problems, second revised edition, Springer-Verlag, Berlin.
[33] P.J. van der Houwen, B.P. Sommeijer and N.H. Cong (1991), ” Stability of collocation-based Runge-Kutta-Nystro..m methods”, BIT(31), 469-481.
[34] P.J. van der Houwen, B.P. Sommeijer (1990), ” Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control”,J. Comput. Appl. Math(29), 111- 127.
[35] T.E. Hull, W.H. Enright, B.M. Fellen and A.E. Sedgwick (1972), ”Comparing numerical methods for ordinary differential equations”,SIAM J. Numer. Anal.
(9), 603-637.
[36] J. D. Lambert(1991), Numerical methods for ordinary differential sys- tems, John Wiley & sons. Chishester-New York-Brisbane-Toronto-Singapor. [37] L.F. Shampine and M.K. Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Dif-
ferential Equations, The Initial Value Problems, W.H. Freeman and Company, San Francisco.
[38] B.P. Sommeijer (1993), ”Explicit, high-order Runge-Kutta-Nystro..m methods for parallel computers”, Appl. Numer. Math.(13), 221-240.
Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter.
A watermark is added at the end of each output PDF file.
To remove the watermark, you need to purchase the software from