Từ cấu trúc của ph−ơng pháp TRKN ta thấy các hệ số hoàn toàn đ−ợc xác định bởi véc tơ trùng khớp c, cho nên ta chọn c sao cho thu đ−ợc một số tính chất có ích nào đó.
Một cách tự nhiên là chọn c sao cho cấp chính xác p càng cao càng tốt. Chẳng hạn chọn các thành phần của clà nghiệm của đa thức Legendre. Nh−ng đáng tiếc là cách chọn này đã vi phạm điều kiện zero ổn định. Cách chọn thứ hai là cực tiểu hoá phần sai số chính của công thức xác định Vn,
tức là cực tiểu hoá ||Cs−k|| đ−ợc xác định nh− sau: Cs−k = Cs+1(cs−k) = (Cs+1(c1), ...Cs+1(cs−k)) trong đó Cs+1(cà) = 1 (s+ 1)! s+1 i=1 (cà + 1−ci), à = 1...s−k Ta có định lí:
Định lí 1.4.6 Nếu tập hợp các toạ độ của véc tơ c chứa tập hợp các toạ độ của véc tơ cs−k+ es−k thì q=s+1, tức là
||U(ns−k)(tn+1)−Vn||∞ = O(hs+2)
và ph−ơng pháp TRKN t−ơng ứng sẽ zero ổn định
Zero-ổn định của các ph−ơng pháp TRKN
Zero-ổn định (zero-stability) là một tính chất mà tất cả các ph−ơng pháp số để giải hệ ph−ơng trình vi phân đều phải thoả mãn (xem [5, trang 63-64]). Lớp các ph−ơng pháp TRKN không hiển nhiên zero-ổn định nh− các ph−ơng pháp RK và RKN. Vì vậy chúng ta cần phải xét tới điều kiện zero-ổn định của chúng (tức là điều kiện để cho quá trình tính toán bằng các ph−ơng pháp TRKN có thể ổn định), điều kiện ổn định của lớp các ph−ơng pháp TRKN đ−ợc phát biểu trong bổ đề sau (xem [1]):
Bổ đề 1.4.2 [1, Bổ đề 3.3] Ph−ơng pháp TRKN sẽ zero ổn định nếu ma trận Bs−k,s−k không có giá trị riêng nằm ngoài hình tròn đơn vị, các giá
trị riêng nằm trên đ−ờng tròn đơn vị không có bội lớn hơn 2.
Nội dung bổ đề 1.4.2 trên cũng chính là gợi ý cho việc lựa chọn các tham số của ph−ơng pháp. Vì việc lựa chọn các tham số của ph−ơng pháp (t−ơng đ−ơng với việc lựa chọn véc tơ c) phải với mục đích thu đ−ợc một số tính chất có lợi cho ph−ơng pháp nh− cấp chính xác cao, quá trình tính toán ổn định... Ta có định lí sau (xem [1]):
Định lí 1.4.7 [1, Định lí 3.2] Nếu tập hợp các toạ độ của vectơc chứa tập hợp các toạ độ của vectơ cs−k +es−k thì q = s+ 1 tức là:
Usn−k(tn+1)−Vn = O(hs+2),
và ph−ơng pháp TRKN t−ơng ứng sẽ zero-ổn định.